Comment montrer que les cartes locales définissent une structure différentielle sur les variétés de Grassmann ?

Les variétés de Grassmann $G(m, \mathbb{R}^n)$ sont des objets fondamentaux en géométrie différentielle, représentant l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $m$ de $\mathbb{R}^n$. Pour leur attribuer une structure de variété différentiable, il faut construire un atlas différentiable, c’est-à-dire une famille de cartes locales compatibles les unes avec les autres.

Pour démontrer que ces cartes définissent une structure différentiable, il faut montrer que les changements de cartes sur les intersections des domaines — par exemple $X_{13} \circ X_{23}^{ -1}$ sur $U_{13} \cap U_{23}$ — sont des difféomorphismes de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$. Cela se fait explicitement en considérant un élément $P \in U_{13} \cap U_{23}$, en utilisant sa représentation canonique dans les deux systèmes de coordonnées, et en exprimant les changements de variables. Dans le cas cité, les coordonnées locales se transforment par des expressions rationnelles en les entrées de la matrice canonique, ce qui garantit la différentiabilité si les dénominateurs ne s'annulent pas, condition assurée par l’appartenance à $U_{13} \cap U_{23}$.

Un cas particulier notable est celui des espaces projectifs réels $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$, définis comme $G(1, \mathbb{R}^{n+1})$. Leur structure différentielle est définie à l’aide de $n+1$ cartes locales, où chaque carte correspond à un choix de coordonnée homogène non nulle. Par exemple, une carte sur $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ peut être définie par l’ensemble des lignes de $\mathbb{R}^3$ passant par l’origine et dont la troisième coordonnée est non nulle.

La théorie s’étend au-delà du cas réel : les variétés de Grassmann peuvent également être définies sur $\mathbb{C}^n$ ou sur $\mathbb{Q}^n$, ce qui donne naissance aux analogues complexes et quaternioniques des espaces projectifs et des variétés de Grassmann.

Pourquoi toutes les formes différentielles ne sont-elles pas exactes ?

Sur une variété différentielle, une forme différentielle est dite fermée si sa différentielle extérieure est nulle, c’est-à-dire que $d\omega = 0$. Elle est dite exacte s’il existe une autre forme $\alpha$ telle que $\omega = d\alpha$. Par définition, toute forme exacte est automatiquement fermée, mais la réciproque est loin d’être toujours vraie. C’est cette nuance subtile qui révèle la richesse topologique des variétés, notamment à travers l’étude de l’homologie et de la cohomologie de De Rham.

De manière analogue, dans $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$, on considère la 2-forme $\omega = \frac{x\,dy \wedge dz + y\,dz \wedge dx + z\,dx \wedge dy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$, qui est fermée mais non exacte. L'intégrale de cette forme sur la sphère unité $S^2$ donne $-4\pi$, ce qui implique, une fois encore, l’impossibilité d’exprimer $\omega$ comme la différentielle extérieure d’une 1-forme définie globalement sur tout $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$. Ici encore, la topologie du domaine joue un rôle crucial : le point retiré affecte la connexité de la variété, introduisant une obstruction à l’exactitude.

Comment déterminer et comprendre les champs de vecteurs invariants à gauche et l’exponentielle dans les groupes de Lie ?

Dans l'étude des groupes de Lie, la notion de champ de vecteurs invariant à gauche joue un rôle central. Considérons un groupe de Lie $G$ et un point $g \in G$ avec des coordonnées locales $(x,y,z)$. Le plan tangent en un point donné de $G$ est engendré par les dérivées partielles $\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$ et $\frac{\partial}{\partial z}$. Pour déterminer les champs de vecteurs invariants à gauche sur le fibré tangent $TG$, on applique la translation à gauche $h^*$ sur un vecteur tangent au neutre $e$, selon la formule $X(h) = h^*(X(e))$.

et il est facile de vérifier que ces opérateurs forment une algèbre de Lie.

L'étude des dérivées de Lie permet de comprendre la variation d'une fonction scalaire ou d'un champ de vecteurs sous le flot engendré par un champ de vecteurs $X$. Pour une fonction scalaire $f : M \to \mathbb{R}$, la dérivée de Lie $L_X(f)$ est simplement $X(f)$, tandis que pour un champ de vecteurs $Y$, la dérivée de Lie $L_X(Y)$ correspond au crochet de Lie $[X,Y]$.

Pour les groupes linéaires, lorsque $L$ est représenté par une matrice $A$, l'exponentielle de groupe se réduit à l'exponentielle matricielle

une généralisation de la série de Taylor de la fonction exponentielle classique.

Plusieurs propriétés importantes guident le calcul et l'interprétation de l'exponentielle matricielle. Si deux matrices $A$ et $B$ commutent, alors

Cela découle de la similitude avec le comportement commutatif des nombres réels dans les développements en série. Par ailleurs, certaines classes de matrices possèdent des caractéristiques particulières, telles que les matrices orthogonales $O$ satisfaisant $O O^T = I$, ou les matrices unitaires $U$ telles que $U U^\dagger = I$, où $\dagger$ désigne la transposée conjuguée.

Le calcul pratique de l'exponentielle matricielle s'appuie sur le théorème de Cayley-Hamilton, qui stipule que toute fonction régulière $f$ appliquée à une matrice $A$ peut s'exprimer comme un polynôme $r(A)$ de degré au plus $n-1$ si $A$ est une matrice $n \times n$. Ce polynôme est déterminé par la valeur de la fonction $f$ sur les valeurs propres $\lambda_i$ de $A$.

Par ailleurs, les algèbres de Lie classiques telles que $\mathfrak{so}(3)$, $\mathfrak{su}(3)$ et l'algèbre de Lie du groupe de Lorentz $SO(3,1)$ possèdent des représentations matricielles bien établies. Par exemple, $\mathfrak{so}(3)$ peut être représentée par les matrices de Pauli $J_1, J_2, J_3$, satisfaisant les relations de commutation

De même, $\mathfrak{su}(3)$ est engendrée par les huit matrices de Gell-Mann $\lambda_i$, qui vérifient des relations de commutation plus complexes impliquant les constantes antisymétriques $f_{mnk}$.

Au-delà des calculs algébriques, il est essentiel de comprendre que la connexion profonde entre l'algèbre de Lie et le groupe de Lie via l'application exponentielle permet d'étudier les transformations continues et leurs générateurs infinitésimaux. La maîtrise de ces concepts ouvre la voie à une compréhension approfondie de la symétrie dans les systèmes physiques et géométriques, en particulier dans les domaines de la mécanique quantique, de la relativité et des théories des champs.

Les champs de vecteurs invariants, la structure de l'algèbre de Lie et l'exponentielle matricielle fournissent ainsi un langage universel pour décrire et manipuler les symétries continues, avec des applications s'étendant de la théorie des groupes abstraits à la physique théorique.

Comment calcule-t-on la courbure et la torsion d’une courbe paramétrée, et que révèlent-elles sur sa géométrie ?

De même, la torsion se définit via le déterminant de la matrice formée par les vecteurs x′, x′′, et x′′′, divisé par le carré de la norme du produit vectoriel entre x′ et x′′ :

Ces formules sont universelles et ne dépendent pas du choix du paramètre, ce qui confère à κ et τ une nature intrinsèque, propre à la courbe elle-même. Leur calcul repose sur les propriétés fondamentales des vecteurs dérivés et sur l’usage du produit vectoriel, dont la nullité traduit une colinéarité, ce qui est un point essentiel pour comprendre la géométrie locale de la courbe.

L’étude des plans associés à une courbe en un point, notamment le plan normal (orthogonal à la tangente), le plan osculateur (formé par la tangente et la normale principale), et le plan réctifiant (défini par la normale principale et la binormale), permet de mieux appréhender la structure locale de la courbe. Ces plans varient avec la position sur la courbe et renseignent sur sa forme et son orientation dans l’espace.

Un cas particulièrement intéressant est celui des hélices. Une hélice est caractérisée par une tangente qui forme un angle constant avec une direction fixe dans l’espace. La caractérisation complète de ces courbes se fait grâce au théorème de Lancret, qui affirme que la courbe est une hélice si et seulement si le rapport τ/κ est constant. Ce résultat relie de manière élégante la torsion et la courbure, montrant qu’elles ne varient pas indépendamment dans ce cas précis.

Les courbes planes, quant à elles, sont définies par la relation naturelle entre la courbure κ et la longueur d’arc s, leur torsion étant nulle. La géométrie locale d’une courbe plane est alors donnée par l’évolution de l’angle θ que forme la tangente avec un axe de référence, lié directement à la courbure par la relation $\frac{dθ}{ds} = κ$.

Au-delà des formules, il importe de comprendre que la courbure et la torsion ne sont pas de simples quantités techniques, mais des invariants géométriques qui décrivent l’essence même de la forme d’une courbe dans l’espace. Leur étude permet non seulement de classer les courbes, mais aussi d’en déduire des propriétés globales et de prévoir leur comportement local.

Il est également essentiel de saisir que la paramétrisation d’une courbe est un choix qui peut simplifier ou complexifier le calcul des grandeurs géométriques. La paramétrisation par la longueur d’arc est particulièrement naturelle, car elle rend la norme de la dérivée première égale à un, simplifiant ainsi les expressions de κ et τ. Toutefois, les formules générales, indépendantes de cette paramétrisation, garantissent la robustesse des définitions.

Enfin, la compréhension profonde de la courbure et de la torsion demande d’intégrer les relations entre les vecteurs tangents, normaux et binormaux, et de reconnaître que ces grandeurs traduisent la dynamique de la courbe dans l’espace. Leur étude ouvre la voie à une vision synthétique et rigoureuse de la géométrie des courbes, fondamentale pour toute étude plus avancée en géométrie différentielle et ses applications.