Lorsqu'un champ électrique E0E_0 est appliqué perpendiculairement à la surface d'un substrat, le potentiel normalisé ψ\psi dans les milieux 1 à 3 se manifeste selon les contributions des multipôles. Les différentes expressions obtenues pour le potentiel sont les suivantes, prenant en compte les polynômes de Legendre associés P0j(t)P_0^j(t) et d'autres coefficients multipolaires A1jA_1^j, A2jA_2^j, et A3jA_3^j.

Le potentiel dans le milieu 1, par exemple, est donné par la série infinie :

ψ1=∑j=1∞rtr−(j+1)P00(t)A1j+Vj(r,t)A1j′\psi_1 = \sum_{j=1}^{\infty} r^{t} r^{ -(j+1)} P_0^0 (t) A_{1j} + V_j(r, t) A'_{1j}

Cela représente le potentiel créé par la sphère et sa réponse au champ électrique appliqué. Les coefficients multipolaires A1jA_{1j}, A2jA_{2j}, et A3jA_{3j} sont calculés en fonction des propriétés diélectriques des milieux dans lesquels la sphère est immergée, notamment la différence entre les constantes diélectriques ε1\varepsilon_1, ε2\varepsilon_2, et ε3\varepsilon_3, représentant respectivement le milieu ambiant, la sphère, et le substrat.

Le calcul des polarizabilités à partir de ces coefficients se fait via l’expression :

αz=−4πε1R3A11\alpha_z = -4 \pi \varepsilon_1 R^3 A_{11}

L’efficacité de diffusion Qsca,zQ_{\text{sca},z} et l’efficacité d'absorption Qabs,zQ_{\text{abs},z} sont obtenues à partir de la polarizabilité αz\alpha_z, respectivement :

Qsca,z=k46π∣αz∣2,Qabs,z=k Im(αz)Q_{\text{sca},z} = \frac{k^4}{6\pi} |\alpha_z|^2, \quad Q_{\text{abs},z} = k \, \text{Im}(\alpha_z)

Ici, kk représente le nombre d'onde de la lumière incidente.

Lorsqu'un champ électrique E0E_0 est appliqué parallèlement à la surface du substrat, le potentiel se modifie légèrement par rapport au cas précédent. Les termes sont ajustés pour tenir compte de l'orientation du champ par rapport à la surface de la sphère, et une série d'expressions similaires pour les coefficients B1jB_{1j}, B2jB_{2j}, et B3jB_{3j} est formulée. La polarizabilité parallèle α∥\alpha_{\parallel} et les rendements associés de diffusion et d'absorption Qsca,∥Q_{\text{sca}, \parallel} et Qabs,∥Q_{\text{abs}, \parallel} sont calculés de manière similaire à l'approche perpendiculaire.

Les équations résultantes pour les deux configurations de champ (perpendiculaire et parallèle) permettent une modélisation précise de la réponse optique d'une sphère immobilisée sur un substrat conducteur, prenant en compte les effets de surface et d'interaction entre la sphère et le substrat.

En utilisant des techniques numériques, ces calculs peuvent être exécutés en résolvant un système d'équations simultanées pour déterminer les coefficients inconnus, ce qui est réalisé dans un programme utilisant des bibliothèques comme Numpy, Scipy, et Matplotlib pour la visualisation des résultats. Par exemple, dans le programme donné, les matrices de coefficients sont résolues à l'aide de la fonction linalg.solve et les résultats sont visualisés pour observer la dépendance de l'efficacité de diffusion et d'absorption en fonction de la longueur d'onde.

Lorsque les sphères sont placées au-dessus d'un substrat métallique, comme l'or, des décalages importants dans les pics de diffusion et d'absorption se produisent, contrairement à un substrat diélectrique tel que le verre. Cela résulte de l'interaction forte entre les métaux et les champs électriques, provoquant des effets de surface qui modifient la réponse optique des sphères.

Il est essentiel de comprendre que ces résultats peuvent varier considérablement en fonction des propriétés des matériaux utilisés pour la sphère et le substrat. Par exemple, l’utilisation d’un substrat métallique, qui peut induire des effets de plasmon, modifie considérablement les caractéristiques de la diffusion et de l'absorption par rapport à un substrat diélectrique, où ces effets sont absents. Cette variation des comportements optiques peut être utilisée pour des applications spécifiques dans les domaines de la plasmonique, de la détection optique, et du traitement de surfaces, où la manipulation de ces réponses est cruciale.

Il est également important de noter que la précision des calculs dépend du nombre de termes multipolaires pris en compte dans les séries infinies et de la solution numérique utilisée pour résoudre les systèmes d’équations linéaires. Plus le nombre de coefficients inconnus est élevé, plus la solution devient précise, mais cela nécessite des ressources de calcul supplémentaires. Dans la pratique, un compromis est souvent trouvé entre la précision et l'efficacité de la computation.

Quelle méthode utiliser pour éviter l'instabilité dans l'analyse des réseaux à ondes couplées ?

Lors de l'application des méthodes d'analyse des réseaux à ondes couplées, il est fréquent de rencontrer des problèmes d’instabilité liés à la divergence des matrices inverses. En particulier, l’utilisation de la matrice partielle S peut conduire à des résultats erronés lorsque les éléments de certaines matrices, comme Tdd et Tuu, possèdent des valeurs absolues très petites. Dans ce cas, les matrices inverses de ces éléments deviennent instables et divergent. Pour contourner cette instabilité, une méthode alternative peut être adoptée. En combinant les équations obtenues précédemment, on peut parvenir à des résultats stables sans que la matrice inverse ne provoque de divergence, même en présence de valeurs extrêmement petites dans les matrices.

En premier lieu, les relations entre les différentes couches du réseau sont données par les équations qui relient les champs et les vecteurs de coefficients. Par exemple, pour la couche ll, on obtient des relations telles que u(l)=R0⋅l⋅L⋅(l)⋅ud+Rl⋅du⋅u(l)+Tl⋅L⋅dd⋅du(l) = R0 \cdot l \cdot L \cdot (l) \cdot ud + Rl \cdot du \cdot u(l) + Tl \cdot L \cdot dd \cdot d, où R0R0, RlRl, et TlTl sont les matrices de transmission, de réflexion et de couplage, respectivement. Ces équations permettent de réorganiser les champs dans les différentes couches tout en évitant les divergences.

L’une des clés de cette approche réside dans l’utilisation d’un vecteur de coefficients modifié, noté d~\tilde{d}, dans l’interface supérieure de chaque couche. Ce vecteur permet de stabiliser les calculs en évitant les instabilités associées à la croissance exponentielle des champs évanescents. Lorsque la matrice est symétrique, des relations entre les différents champs peuvent être établies, notamment entre u(l)u(l) et d~\tilde{d}, ce qui permet d’obtenir un calcul stable pour le champ dans chaque couche.

Ainsi, même si le champ d(l)d(l) peut présenter une croissance exponentielle dans certaines conditions, l’utilisation de d~\tilde{d} à l’interface supérieure de chaque couche évite cette instabilité et permet de calculer le champ de manière fiable. Les relations entre les champs dans différentes couches, telles que u(l+1)u(l+1) et d(l+1)d(l+1), peuvent être définies en termes de matrices de transformation et de réflexion, permettant de traverser l’ensemble du réseau de manière stable.

Une autre méthode pour éviter les instabilités consiste à calculer récursivement la matrice SS à partir de l’interface incidente. Cela permet de déterminer les champs dans la région du réseau en utilisant une approche matricielle stable. Les équations récursives pour les matrices TT et RR entre différentes couches permettent d’obtenir des relations plus complexes, mais également plus robustes, qui assurent la stabilité du calcul.

Dans le cas d'un réseau bidimensionnel (2D), la situation devient encore plus complexe, car les composantes des champs électriques et magnétiques dans les directions xx et yy sont couplées. Contrairement à un réseau unidimensionnel, où les champs sont traités indépendamment pour chaque direction de diffraction, un réseau 2D implique des couplages entre les polarités. Dans cette configuration, les coefficients qui représentent la lumière diffractée doivent être exprimés sous forme de tenseurs du second ordre, ce qui complique considérablement les calculs.

Pour gérer ce problème, les éléments de ces tenseurs sont réorganisés en un seul vecteur, ce qui simplifie les calculs tout en conservant la complexité des interactions entre les différentes directions de diffraction. Cependant, cette réorganisation implique un calcul computationnel plus intense que pour un réseau 1D, en raison de la nécessité de prendre en compte les effets de diffraction dans les deux directions xx et yy.

Il est essentiel de comprendre que la résolution des réseaux à ondes couplées, qu'ils soient 1D ou 2D, nécessite de prêter attention aux effets de diffraction et de prendre en compte les divers vecteurs de propagation dans chaque direction. La méthode RCWA repose sur l'assemblage précis des matrices de propagation pour chaque couche du réseau, avec des considérations particulières pour les réseaux bidimensionnels. Cela implique un traitement plus approfondi des interactions entre les ondes diffractées dans les différentes directions, ce qui rend l’analyse plus complexe mais également plus réaliste.

Enfin, la prise en compte des effets de diffraction dans les réseaux bidimensionnels est essentielle pour garantir des résultats fiables. Les équations décrivant la propagation dans ces réseaux doivent être adaptées pour tenir compte de la complexité géométrique, en particulier dans des structures avec des periods distincts dans les directions xx et yy. Cela nécessite une formulation mathématique plus complexe, et le recours à des outils numériques performants devient indispensable pour résoudre ces problèmes de manière précise.

Comment fonctionne la méthode RCWA pour l'analyse des réseaux de diffraction ?

La méthode RCWA (Rigorous Coupled-Wave Analysis) repose sur des principes fondamentaux pour résoudre les équations de Maxwell dans des structures périodiques, comme les réseaux de diffraction. L'un des éléments clés du modèle est la fonction Rcwa1d, qui prend en compte plusieurs paramètres essentiels pour le calcul des phénomènes de diffraction. Ces paramètres incluent la polarisation de la lumière incidente, la longueur d'onde dans le vide, le nombre d'onde dans le plan, la période du réseau et la structure de ce dernier.

La polarisation, spécifiée par 's' ou 'p', joue un rôle crucial dans l'analyse, car elle détermine l'orientation de l'onde par rapport au réseau. La longueur d'onde, notée lambda0, est donnée en micromètres et doit être choisie en fonction des caractéristiques de la lumière incidente. Le nombre d'onde dans le plan, kx0, est également un paramètre déterminant pour la diffraction. La période du réseau, en micromètres, fixe la distance entre les éléments répétés du réseau, ce qui affecte directement les ordres de diffraction et leur efficacité. Enfin, la structure du réseau, décrite par la variable "layer", donne les informations nécessaires sur les différents matériaux et leur agencement dans la structure du réseau. Chaque couche est définie par un triplet, où d_l représente l'épaisseur de la couche, n_li est l'indice de réfraction complexe du milieu, et w_li est la proportion de cette couche dans le réseau.

Une fois tous ces paramètres définis, la fonction calcule les ordres de diffraction pour des différentes longueurs d'onde. Dans un exemple typique de réseau, où la période Λ est de 1 µm, les épaisseurs des couches d1 et d2 sont égales à 0.25 µm, et les indices de réfraction des matériaux utilisés sont de 1.5 pour la couche "ns" et de 1.0 pour la couche "nc", il devient possible de modéliser le comportement de la lumière incidente. Par exemple, si la lumière est polarisée TM (p) et frappe le réseau sous un angle de 30°, les résultats de transmission et de réflexion peuvent être obtenus pour différentes longueurs d'onde.

Cependant, il est important de noter qu'un problème peut survenir lorsque les nombres d'onde dans le plan de la lumière incidente et diffractée coïncident avec le vecteur du réseau, ce qui rend la matrice de calcul singulière. Dans ce cas, une petite variation de la longueur d'onde incidente est souvent utilisée pour contourner cette singularité.

Outre la méthode RCWA, une autre approche courante pour analyser les champs électromagnétiques dans des structures complexes est la méthode FDTD (Finite Difference Time Domain). Contrairement à la RCWA, qui résout les équations de Maxwell en régime stationnaire, la méthode FDTD permet d'analyser l'évolution temporelle des champs électromagnétiques. Cette méthode, introduite par Yee, repose sur une discrétisation des champs électriques et magnétiques sur une grille spécifique, connue sous le nom de grille Yee. Les calculs sont effectués sur chaque point de la grille, permettant de suivre l'évolution des champs dans le temps et d'obtenir des réponses dynamiques aux excitations appliquées.

L'une des grandes forces de la méthode FDTD est sa flexibilité géométrique, car elle ne dépend pas de la forme des objets modélisés. Elle permet ainsi de simuler des structures complexes de manière relativement simple, avec des algorithmes parallèles et une programmation aisée. Toutefois, cette méthode nécessite une grande capacité de mémoire et un temps de calcul important, ce qui peut en limiter l'efficacité dans certains cas.

Dans le cadre de la modélisation FDTD, les lois d'Ampère et de Faraday de l'électromagnétisme sont utilisées pour décrire l'évolution des champs dans l'espace et le temps. Ces équations sont discrétisées par des différences centrales, permettant de calculer les composantes des champs électriques et magnétiques à chaque instant. Par exemple, dans une simulation en une dimension, la composante du champ électrique Ex est calculée à partir de valeurs précédentes des champs électriques et magnétiques voisins, tandis que les autres composantes sont calculées de manière similaire. Cette approche est répétée à chaque pas de temps pour simuler l'évolution complète du champ.

Enfin, l'une des principales distinctions entre RCWA et FDTD réside dans leur domaine d'application : RCWA est principalement utilisé pour des structures périodiques, telles que les réseaux de diffraction, où une analyse détaillée des ordres de diffraction est nécessaire, tandis que FDTD est plus adapté aux simulations dynamiques de champs électromagnétiques dans des géométries complexes.

Il est essentiel de comprendre que, bien que ces deux méthodes soient puissantes, elles ont leurs limites et doivent être choisies en fonction des besoins spécifiques du projet. RCWA est idéal pour les structures régulières et périodiques, tandis que FDTD est plus approprié pour des problèmes impliquant des géométries complexes et des phénomènes transitoires. La compréhension de ces approches et de leurs différences est fondamentale pour choisir la méthode la plus adaptée à un problème donné, en prenant en compte la précision requise, les ressources informatiques disponibles et le type de simulation souhaité.

Comment les coefficients de réflexion et de transmission dépendent-ils de la polarisation de la lumière et de l'indice de réfraction des milieux ?

L'indice de réfraction nn d'un matériau est une grandeur fondamentale qui décrit la vitesse de propagation de la lumière dans ce milieu par rapport à sa vitesse dans le vide. Il est lié à la permittivité relative ε\varepsilon du milieu par la relation n=εn = \sqrt{\varepsilon}, où ε\varepsilon est la constante diélectrique du matériau. Cette relation souligne l'importance de la permittivité dans la description des phénomènes optiques dans les milieux non libres. Le calcul des coefficients de réflexion et de transmission d'une lumière incidente sur une interface entre deux milieux est ainsi intimement lié à ces propriétés.