Les décisions de mesure dans le cadre de l’étalonnage et de la calibration des instruments, ainsi que celles fondées sur des limites spécifiques (telles que les valeurs LSL et USL), sont souvent prises de manière binaire : accepté ou rejeté. Ces décisions ne tiennent pas toujours compte de l’incertitude associée à la mesure, ce qui peut entraîner des conclusions erronées si l’incertitude n’est pas évaluée correctement. Cependant, dans le cadre des standards ISO, il est courant d’exiger que l’incertitude de mesure soit inférieure à un certain seuil, souvent défini comme un pourcentage de l’intervalle entre les limites spécifiées. Une règle fréquemment employée dans ces cas est la "règle des 20%", qui stipule que l’incertitude doit être inférieure à un cinquième de l'intervalle entre les limites de tolérance (USL - LSL). Cette règle n’est qu’un exemple parmi d’autres : certains standards recommandent l’utilisation de coefficients (k) allant jusqu’à 2 ou 3, ou encore l’application de distributions de probabilités asymétriques pour évaluer les incertitudes.

Pour illustrer cela, prenons un exemple pratique tiré du standard ISO 1502:1996, qui se réfère à la mesure du diamètre de pas d’un filetage. Si une mesure de 16.4511 mm est obtenue, avec une incertitude de 3.2, et en appliquant un facteur de couverture k = 1.6, l’intervalle de mesure devient 16.4511 ± 0.0051 mm. En considérant les limites de tolérance LSL = 16.376 mm et USL = 16.581 mm, on constate que l’intervalle de mesure se situe confortablement dans cette plage de tolérance, validant ainsi que le diamètre de pas est conforme aux spécifications de l’ISO 1502:1886.

Lorsqu’il s’agit de comparer deux valeurs de mesure, toutes deux accompagnées de leur incertitude, une méthode standardisée consiste à utiliser l’erreur normalisée (E), qui permet de déterminer si les deux résultats sont statistiquement cohérents. Si l’erreur normalisée (E) est inférieure à 1, les mesures sont considérées comme consistantes. À l’inverse, si E est supérieur à 1, cela suggère que l’une des mesures comporte une erreur significative, probablement liée à une mauvaise évaluation de l’incertitude. Cette méthode s’applique également lorsqu’il s’agit de comparer des résultats issus de différents laboratoires ou de différents opérateurs, offrant ainsi une base pour la validation des résultats dans des environnements variés.

Dans le cadre de comparaisons entre plusieurs laboratoires, il est fréquent qu’un laboratoire agisse en tant que laboratoire de référence, souvent un NMI (National Metrology Institute), ou un laboratoire avec une incertitude bien plus faible que celle des autres. Les résultats obtenus par les autres laboratoires sont comparés à ce laboratoire de référence en utilisant l’erreur normalisée, permettant ainsi de détecter d’éventuelles anomalies dans la méthode de mesure d’un participant. Si un laboratoire présente systématiquement des valeurs d’erreur normalisée supérieures à 1, il est probable qu’il y ait un problème dans son processus de mesure ou dans l’évaluation de l’incertitude.

Une méthode complémentaire pour analyser les résultats multiples est le calcul de la moyenne pondérée, où chaque mesure est prise en compte en fonction de son incertitude respective. La moyenne pondérée devient ainsi une valeur de référence, et chaque mesure est comparée à cette moyenne. Si une mesure présente une erreur normalisée significativement plus grande que 1, elle peut être exclue du calcul de la moyenne, permettant de maintenir l’intégrité des résultats. Toutefois, une attention particulière doit être portée à l’évaluation de l’incertitude, car une incertitude sous-estimée peut fausser le résultat de la moyenne pondérée, et ainsi biaiser les conclusions.

L’application de ces principes devient particulièrement pertinente dans les comparaisons inter-laboratoires, telles que celles décrites par les normes ISO 17043:2023. Lors de telles comparaisons, il est impératif que tous les laboratoires utilisent des méthodes et des instruments comparables pour garantir la validité des résultats. De plus, la prise en compte des facteurs communs dans le budget d'incertitude est cruciale. Par exemple, lors de comparaisons intra-laboratoires, où le même étalon est utilisé pour toutes les mesures, l’incertitude liée à cet étalon doit être exclue de l’évaluation de la cohérence des résultats.

Une question fréquemment posée dans ce contexte concerne la conformité d’un instrument de mesure aux spécifications des fabricants, notamment lors des tests d'acceptation des machines à mesurer tridimensionnelles (CMM). Lors de ces tests, l’incertitude de mesure inclut la répétabilité de l'instrument, mais cette répétabilité ne doit pas être comptabilisée deux fois lorsqu’il s'agit de valider la conformité d’un instrument aux spécifications. Ce concept de "l’incertitude du test" permet d’éviter cette double comptabilisation et d’assurer que seule l’incertitude provenant des étalons et des instruments de calibration est incluse dans l'évaluation.

En fin de compte, une approche rigoureuse de l’évaluation de l’incertitude et de la comparaison des résultats est essentielle pour garantir que les décisions de mesure sont prises de manière fiable et valide. Il est crucial de suivre les normes ISO pertinentes, telles que ISO 14253-1:2018 et ISO 14253-5:2015, et de prendre en compte l’ensemble des sources d’incertitude lorsqu'on évalue la cohérence des résultats de mesure. Le respect de ces normes et l’application de méthodes statistiques adaptées permettent de maintenir la qualité et la précision des mesures dans le domaine de la métrologie dimensionnelle.

Comment utiliser la méthode des moindres carrés pour l'évaluation des surfaces et la mesure des objets à l'aide d'instruments optiques ?

La méthode des moindres carrés est largement utilisée dans les sciences de la mesure et la métrologie pour déterminer des valeurs optimales en réduisant l'écart entre les valeurs observées et celles prévues. En ce qui concerne l'évaluation de la planéité des surfaces, cette méthode permet d'ajuster les valeurs mesurées à un modèle théorique, comme une surface plane ou une configuration géométrique spécifique. L'une des applications les plus courantes de cette technique consiste à calculer les hauteurs relatives d'une surface par rapport à un plan des moindres carrés, en tenant compte des variations dans les mesures de la surface à plusieurs points.

Prenons l'exemple d'une plaque de mesure dont on souhaite déterminer la planéité. Le calcul des hauteurs relatives se base sur une série de points de mesure (z(1,1), z(0,1), etc.) obtenus sur la surface de la plaque. L'idée est d'intégrer ces données dans une matrice, comme le montre l'équation (A.53), afin de minimiser l'écart entre les valeurs mesurées et celles attendues. Lorsque des points de mesure manquent ou que la configuration de la plaque n'est pas rectangulaire, l'usage d'une approche itérative devient nécessaire. Cette approche repose sur le principe fondamental des moindres carrés, selon lequel la moyenne des valeurs observées constitue la solution optimale. Par exemple, pour le point (1,1), on pourrait calculer la hauteur relative en fonction des points voisins selon une formule telle que :

z(1,1)=(z(0,1)+m)+(z(2,1)−m)+(z(1,0)+m)3z(1,1) = \frac{(z(0,1) + m) + (z(2,1) - m) + (z(1,0) + m)}{3}

Cette méthode itérative permet d'affiner progressivement les valeurs mesurées jusqu'à ce que la somme des contributions des moindres carrés atteigne un minimum stable, selon l'équation (A.56). Il est important de noter que cette procédure peut devenir complexe si des mesures de rectitude sont prises sans direction de référence commune, comme c'est souvent le cas avec les autocollimateurs ou les interféromètres laser.

Une complication supplémentaire survient lorsqu'il est nécessaire d'effectuer des mesures diagonales, par exemple avec des appareils tels que des autocollimateurs ou des interféromètres laser sur une base. Dans ce cas, des ajustements supplémentaires doivent être apportés pour tenir compte de ces mesures en diagonale, et ces ajustements compliquent les calculs. Ce phénomène est bien documenté dans la littérature, en particulier pour les plaques de surface (Meijer 1981) et les verres optiques calibrés à l'aide d'un setup impliquant un autocollimateur et un prisme penta (Geckeler 2002).

En ce qui concerne les objets de formes plus complexes, comme les blocs de gabarit ou les polygones, la méthode des moindres carrés peut également être utilisée pour mesurer leurs dimensions avec précision. Par exemple, pour la mesure d'un bloc de gabarit par interférométrie, on peut utiliser la fonction Q2(L)Q_2(L) pour ajuster la longueur LL du bloc, comme indiqué dans l'équation (A.5). Dans ce cas, le calcul de la longueur optimale prend en compte les longueurs d'onde du laser, l'indice de réfraction de l'air et d'autres facteurs, et la solution optimale est obtenue en minimisant la fonction Q2Q_2. Cela illustre non seulement la précision requise pour la mesure de la longueur, mais aussi l'importance de déterminer l'ordre d'interférence correct pour éviter les erreurs systémiques dans les calculs.

Les principes de la mesure optique sont également appliqués dans des configurations de mesure de polygones, où l'angle entre les faces est mesuré à l'aide d'autocollimateurs. Un exemple classique est la méthode de calibration d'un polygone à quatre faces à l'aide de deux autocollimateurs, où les angles sont mesurés successivement et les erreurs sont corrigées à l'aide de la méthode des moindres carrés. Ce type de configuration nécessite souvent des ajustements pour tenir compte des incertitudes et des covariances des mesures, comme le montre la matrice de variance-covariance dans l'équation (A.61).

Un autre concept essentiel en métrologie et géodésie est la multilatération, une méthode qui consiste à mesurer les distances à un certain nombre de points fixes pour déterminer la position absolue d'un objet. Cette méthode est utilisée dans des technologies modernes comme le GPS, mais elle reste également fondamentale dans des applications plus spécialisées, telles que la détermination de la position d'un objet dans l'espace ou sur la surface terrestre en utilisant des points de référence dont les coordonnées sont déjà définies. La fonction Q2Q_2 dans ce cas sert à minimiser l'écart entre les coordonnées mesurées et les coordonnées théoriques, ce qui permet d'obtenir une estimation précise de la position de l'objet.

Il est crucial pour le lecteur de comprendre que, bien que ces méthodes de mesure soient puissantes, leur précision dépend fortement de la qualité des instruments utilisés et de la rigueur des calculs. L'importance de la gestion des erreurs et des incertitudes dans les mesures ne doit pas être sous-estimée, car même de petites erreurs peuvent se multiplier lors de l'application de ces méthodes à grande échelle. Le calcul précis des covariances, comme l'illustre la méthode de rosette pour les polygones, est un aspect fondamental pour garantir la fiabilité des résultats. La compréhension et l'application correctes des principes des moindres carrés permettent d'atteindre des niveaux de précision qui seraient autrement inaccessibles.

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