Miten Riesz ja Daniell–Stone teoreemat yhdistävät lineaariset funktionaalit ja todennäköisyysmittarit

$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \psi(X_k) \xrightarrow{n \to \infty} \int \psi \, d\rho$$

Riesz’n ja Daniell–Stonen teoreemat

Riesz'n teoreema esittää keskeisen tuloksen, joka liittää lineaariset funktionaalit funktionavaruuteen. Olkoon $S$ kompakti metritila ja $I$ lineaarinen funktionaali $C(S)$-avaruudessa, joka on ei-negatiivinen siinä mielessä, että jos $f \geq 0$ kaikilla pisteillä $S$, niin $I(f) \geq 0$. Tällöin on olemassa ainutlaatuinen positiivinen Borel-mittari $\mu$ tilassa $S$, joka toteuttaa yhtälön:

Tämä teoreema on tärkeä, koska se liittää lineaariset funktionaalit integraaleihin Borel-mittareita vastaan, ja sitä voidaan käyttää laajasti funktionaali-analyysissa.

Daniell–Stone teoreema vie tätä ajatusta eteenpäin. Se käsittelee erityistapauksia, joissa lineaariset funktionaalit voidaan esittää todennäköisyysmittareilla. Teoreeman mukaan, jos $I$ on lineaarinen funktionaali Stone-vektorilattisessa $L$-avaruudessa ja täyttää tietyt ehdot, kuten:

1. $1 \in L$ ja $I(1) = 1$,

2. $I$ on ei-negatiivinen (eli $f \geq 0$ johtaa $I(f) \geq 0$),

3. Jos $(f_n)$ on nouseva jono, joka lähestyy nollaa pisteittäin, niin $I(f_n)$ lähestyy nollaa,

niin on olemassa ainutlaatuinen todennäköisyysmittari $\mu$ sellaisessa mittaustilassa $(S, \sigma(L))$, että:

Finiittisesti lisättävät joukot

Finiittisesti lisättävien joukkojen käsittely vie meidät seuraavaan tason keskusteluun: miten lineaariset funktionaalit voivat esiintyä mittareiden avulla ilman jatkuvuuden ehtoa, kuten Daniell–Stone teoreemassa. Finiittisesti lisättävä joukko on määritelty joukoksi $\mu$, joka täyttää seuraavat ehdot:

• $\mu(\emptyset) = 0$,

• Jos $A_1, A_2, \dots, A_n$ ovat disjointteja, niin $\mu\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n \mu(A_i)$.

Tämä määritelmä on tärkeä erityisesti silloin, kun emme voi olettaa todennäköisyysmittareiden σ-lisättävyyttä.

Bounded-mittarien ja finitisti-lisättävien mitattavien funktioiden välinen yhteys

Tällöin voidaan määrittää myös Bayesin näkökulma ja mahdollistaa matemaattisesti tarkat, mutta monimutkaiset laskelmat, jotka liittyvät erilaisten mittaustilojen konvergenssiin ja niiden käyttäytymiseen.

Lopuksi, tärkeää on huomioida, että kun työskentelemme finitisti-lisättävien mittarien kanssa, emme enää voi käyttää samoja sääntöjä, jotka pätevät σ-lisättävien todennäköisyysmittarien tapauksessa. Tämä tuo esiin mittausteorian hienouksia ja laajentaa käsityksiä siitä, miten satunnaismuuttujien integraalit voivat käyttäytyä.

Miten superhedžing-taktiikkaa sovelletaan amerikkalaisiin ja eurooppalaisiin johdannaisiin?

Varmistettaksemme, että optimaalinen suojaus voidaan luoda, meidän on tarkasteltava yksityiskohtia, kuten sitä, miten hinnanmuodostusprosessit ja suojautumisstrategiat voivat erota amerikkalaisissa ja eurooppalaisissa johdannaisissa. Amerikkalaisille optioille myyjän täytyy suojautua kaikilta mahdollisilta käytön aikarajoilta ja strategioilta, mutta ostaja tarvitsee vain yhden optimaalisen pysäytysajan. Tämä keskeinen ero tekee amerikkalaisista optioista erityisen haastavia suojata verrattuna eurooppalaisiin optioihin, joissa ostaja voi tehdä ostopäätöksensä vain eräpäivänä.

Tässä yhteydessä voidaan käyttää teoreettista kehystä, kuten Theoreemaa 7.13, jonka mukaan voidaan rakentaa uusi diskontattu amerikkalainen vaatimus, jonka avulla voimme soveltaa optimaalista suojautumista. Tällöin määritämme muutetun diskontatun amerikkalaisen vaatimuksen $H̃$ ja osoitamme, että sen yläraja Snellin ympäristössä on yhtä suuri kuin alkuperäinen $V_t - U_t$, joka puolestaan vastaa amerikkalaisen optiotodistuksen optimaalista suojausta.

Eurooppalaisten johdannaisten osalta tilanne on yksinkertaisempi, mutta myös tässä on syytä huomioida, että tällaiselle optiolle voidaan määrittää vastaavat superhedžing-strategiat, jotka takaa myyjän varmuuden optioiden oikean hinnoittelun ja suojauksen. Erityisesti eurooppalaisille optioille pätee, että ne voidaan pitää amerikkalaisina, mutta niiden suojaaminen tapahtuu erilaisten ennakoivien prosessien kautta. Jos esimerkiksi myyjä haluaa suojautua kaikilta markkinahäiriöiltä, hän voi käyttää strategiaa, joka sisältää ennakoivan kaupankäynnin, jossa osto- ja myyntihinnat tasapainottavat mahdolliset menetykset.

Tämän teoreettisen analyysin lisäksi käytännön näkökulmasta on tärkeää, että sekä myyjä että ostaja ymmärtävät, kuinka markkinoiden epävarmuus vaikuttaa hinnoitteluun ja riskinhallintaan. Markkinoiden jatkuvat muutokset, kuten volatiliteetti ja likviditeetti, voivat vaikuttaa suojauksen tehokkuuteen. On myös tärkeää huomata, että suojautuminen ei ole aina täydellistä, ja siksi riskienhallinnan työkalut, kuten d-ulotteiset ennakoivat prosessit, voivat olla hyödyllisiä johdannaisten suojauksessa.

Kun tarkastellaan tätä kokonaisuutta, on olennaista ymmärtää, että superhedžing ei ole vain strategian määrittämistä, vaan se on jatkuva prosessi, joka edellyttää markkinahäiriöiden ja muutosten ennakoimista sekä ennakoivan kaupankäynnin taktiikoiden soveltamista. Vain näin voidaan varmistaa, että johdannaiset suojataan kaikilta mahdollisilta riskeiltä ja että niistä saadaan haluttu tuotto riippumatta markkinoiden liikkeistä.