Z voidaan aina muokata niin, että se on rajattu alhaalta jollain positiivisella ε > 0 ja silti täyttää ehdon (9.22). Tämä voidaan osoittaa seuraavasti: huomataan, että jokainen W ∈ C S t on hallittu jollain ξt ⋅ (Xt − Xt−1) ∈ K S t, jonka negatiivinen osa on integroitavissa. Täten voidaan todeta, että E[W]≤E[ξt⋅(Xt−Xt−1)]≤lim inf⁡E[ξct⋅(Xt−Xt−1)1∣ξ≤c]≤0E[ W ] \leq E[ ξt ⋅ (Xt − Xt−1) ] \leq \liminf E[ ξ^c t ⋅ (Xt − Xt−1)1{|ξ ≤ c} ] \leq 0, missä käytämme Fatoun lemmaa ja oletusta, että P ∈ PS. Jos nyt asetamme Zε:=ε1+(1−ε)ZZε := ε 1 + (1 − ε)Z, niin Zε täyttää edelleen ehdon E[ZεW]≤0E[ Zε W ] \leq 0 kaikilla W ∈ C S t ja tarpeeksi pienellä ε, odotusarvo E[Zε(Ut−Ut−1)]E[ Zε (Ut − Ut−1) ] on edelleen suurempi kuin α. Tällöin Zε täyttää myös ehdon (9.22).

Näin ollen voimme olettaa, että Z, joka täyttää ehdon (9.22), on rajattu alhaalta jollain vakio-ε > 0. Seuraavaksi määritämme Zt−1:=E[Z∣Ft−1]Zt−1 := E[ Z | Ft−1 ] ja dQZdP:=Zt−1\frac{dQ Z}{dP} := Z_{t−1}. Jos oletamme, että Ys ≥ 0 on Fs-mitattavissa, voimme hyödyntää lauseen B.8 tulosta. Tätä käyttäen voimme osoittaa, kuten lauseessa 7.5 on todistettu, että

E[Y∣Fs=≠t,{ss−1]={E[YtZ∣Ft−1]joss=t1muussa tapauksessaE[Y | F^s = \neq t, \{ s_{s−1}] = \left\{ \begin{array}{ll} E[ YtZ | Ft−1 ] \quad \text{jos} \quad s = t \\ 1 \quad \text{muussa tapauksessa} \end{array}
\right.

Kun Zt−1 on rajattu ja oletamme, että P∈PSP ∈ PS, saamme erityisesti, että EQ[∣Xs−Xs−1∣∣Fs−1]<∞E_Q[ |Xs − Xs−1| | Fs−1 ] < ∞ P:llä lähes varmasti kaikille s. Tämä merkitsee myös sitä, että EQ[ξs⋅(Xs−Xs−1)∣Fs−1]=E[ξs⋅(Xs−Xs−1)∣Fs−1]≤0E_Q[ ξs ⋅ (Xs − Xs−1) | Fs−1 ] = E[ ξs ⋅ (Xs − Xs−1) | Fs−1 ] \leq 0 silloin, kun s≠ts \neq t.

Kun tarkastellaan tapausta s=ts = t, olemme nähneet lauseessa 9.9, että perhe EQ[ξt⋅(Xt−Xt−1)∣Ft−1]∣ξ∈S]E_Q[ ξt ⋅ (Xt − Xt−1) | Ft−1 ] | ξ ∈ S ] on nouseva. Tästä seuraa, kuten (9.13) osoittaa, että

EQ[Zt−1 ess supEQ[ξt⋅(Xt−Xt−1)∣Ft−1]]≤sup⁡E[ξt⋅(Xt−Xt−1)Z]≤αE_Q[ Zt−1 \, \text{ess sup} E_Q[ ξt ⋅ (Xt − Xt−1) | Ft−1 ] ] \leq \sup E[ ξt ⋅ (Xt − Xt−1) Z ] \leq \alpha

Koska Zt−1≥εZt−1 \geq ε, tämä antaa meille sen, että EQ[AQt−AQt−1]=EQ[ess supEQ[ξt⋅(Xt−Xt−1)∣Ft−1]]≤εE_Q[ A Q t − A Q t−1 ] = E_Q[ \text{ess sup} E_Q[ ξt ⋅ (Xt − Xt−1) | Ft−1 ] ] \leq ε. Tämän perusteella voidaan todeta, että EQ[AQT]≤α/εE_Q[ A Q T ] \leq α / ε, ja näin ollen saamme Q∈QSQ \in QS.

Viimeisessä vaiheessa osoitamme, että U−AQU − AQ ei voi olla QQ-supermartingaali, mikä johtaa ristiriitaan oletuksen (a) kanssa. Tähän käytämme jälleen lauseen (9.25) tulosta.

EQ[Zt−1EQ[Ut−Ut−1∣Ft−1]]=EQ[Zt−1(Ut−Ut−1)]=E[Z(Ut−Ut−1)]=β>α≥EQ[Zt−1 ess supEQ[ξt⋅(Xt−Xt−1)∣Ft−1]]E_Q[ Zt−1 E_Q[ Ut − Ut−1 | Ft−1 ] ] = E_Q[ Zt−1 (Ut − Ut−1) ] = E[ Z (Ut − Ut−1) ] = β > α ≥ E_Q[ Zt−1 \, \text{ess sup} E_Q[ ξt ⋅ (Xt − Xt−1) | Ft−1 ] ]

Tämä tarkoittaa, että U−AQU − AQ ei voi olla QQ-supermartingaali, ja tämä johtaa ristiriitaan oletuksen (a) kanssa.

Kun tarkastelemme seuraavaa askelta, voimme olettaa, että Z on rajattu ja täyttää kaikki tarvittavat ehdot, jotka mahdollistavat sen, että se voi toimia tehokkaasti riskin hallinnassa. On tärkeää huomata, että mikäli Z ei ole riittävän rajattu, joudumme kohtaamaan ongelmia osakeportfolion hedgaamisessa, koska alemmat rajat voivat johtaa epätoivottuihin tuloksiin. Erityisesti Z:n alarajan ε > 0 määrittäminen on keskeinen askel, sillä se auttaa hallitsemaan riskiä tietyllä tasolla ja varmistaa, että Z pysyy toimivana hedgausstrategiana.

Endtext

Mikä on hinnoittelun konvergenssi mustan-Scholesin hintaan diskreetissä markkinamallissa?

Aikaisemmat tutkimukset diskreetin ajan markkinamallien hinnoittelusta ovat osoittaneet, että vaikka hinnoittelukaavat martingaali-mittarissa voivat olla varsin monimutkaisia, on olemassa toivoa, että nämä kaavat konvergoivat selkeäksi rajaksi, kun väliaikojen määrä kasvaa. Tässä osassa tarkastelemme ehtoja, joiden avulla tällainen konvergenssi voi tapahtua.

Pitäkäämme mielessä, että T ei tässä ole markkinamallin kaupankäyntijaksojen määrä, vaan fyysinen aikaraja. Aikaväli [0, T] jaetaan N tasaväliin, ja ajankohta kTN vastaa markkinajaksoa. Oletamme yksinkertaisuuden vuoksi, että markkinamalli sisältää riskittömän joukkovelkakirjan ja vain yhden riskillisen omaisuuden. N. lähestymistavan mukaan riskillinen omaisuus on merkitty S(N) ja riskitön joukkovelkakirja määritellään vakio-koron rN > −1 mukaan.

Kysymys kuuluu: konvergoivatko osakkeiden hinnoittelut epävarmuustekijöistä riippuvissa lähestymismalleissa, kun N kasvaa äärettömäksi? Jos riskittömien joukkovelkakirjalainojen päättymisarvot konvergoivat, oletamme, että lim (1 + r N rT N N) = e. Tämä ehto voidaan muotoilla myös logaritmisessa muodossa, jolloin rajoitteet muuttuvat lim N r = r T.

Kun tarkastelemme riskillisiä omaisuuksia, oletamme, että alkuperäiset hinnat S(N)0 eivät riipu N:stä, vaan S0 on vakioarvo. Hinnoittelun S(N)k käyrä on satunnaismuuttuja, joka on määritelty todennäköisyysavaruudessa (ΩN, FN, P∗N), jossa P∗N on riskineutraali mittari.

Yksi keskeinen edellytys on, että S(N)k:n tuotto R(N)k on satunnaismuuttuja, joka täyttää ehto −1 < αN ≤ Rk ≤ βN, missä αN ja βN ovat vakioita, jotka konvergoivat nollaksi N:n kasvaessa äärettömäksi. Toinen vaatimus on, että varianssit varN(R(N)k) täyttävät ehtoja, jotka johtavat σ2 > 0, joka on rajoitettu ja positiivinen.

Teoreema 5.54 voidaan pitää moninkertaisena versiona keskeisestä raja-arvolauseesta, ja sen mukaan S(N)k:n jakaumat konvergoivat heikosti log-normaalijakaumaan, jonka parametrit ovat log S0 + rT − 1/2σ2T ja σ√T. Tämä tarkoittaa sitä, että odotusarvo ja hajonta kehittyvät ajan kuluessa siten, että markkinahinnat seuraavat log-normaalijakaumaa, kuten Black–Scholesin hinnanlaskentateoria ehdottaa.

Korollinen 5.57 tuo esiin, että jos f on rajoitettu ja jatkuva funktio, niin C(N)-lähestymismallin hinnat lähestyvät diskontattua odotusarvoa log-normaalijakaumassa. Tällöin syntyy Black–Scholesin hinta, jonka laskemiseksi täytyy huomioida tilastolliset ja todennäköisyysjakaumat, kuten integraali log-normaalijakaumalle ja sen mukautukset osakeoptioiden hinnoitteluun.

Erityisesti Black–Scholesin kaavaa voidaan soveltaa Eurooppalaisten optioiden hinnoittelussa. Esimerkiksi, jos oletamme f(x) = (K − x)+, joka vastaa eurooppalaista myyntioptioita, voidaan hinnoittelukaava derivoida Black–Scholesin kaavasta, joka on muotoa:

υ(x,T)=xΦ(d+(x,T))−e−rTKΦ(d−(x,T))\upsilon(x, T) = x \Phi(d+(x, T)) − e^{ -rT}K \Phi(d−(x, T))

Missä d+d+ ja d−d- ovat logaritmiset jäännökset ja Φ\Phi on standardin normaalijakauman kertymäfunktio. Tämä kaava antaa täsmällisen hinnan Eurooppalaiselle osto- tai myyntioptiolle aikarajan T ja kohde-etuuden hinnan x mukaan.

Tämä johtaa siihen, että vaikka diskreetissä markkinamallissa tapahtuvat muutokset voivat olla monimutkaisempia, konvergoivat ne lopulta jatkuvaan markkinahinnan laskentamalliin, kuten Black–Scholesin kaava ehdottaa. Matematiikka tukee tätä, sillä hajonta, odotusarvot ja riskineutraalit todennäköisyysmittarit saavat koherentin ja luonnollisen lopputuloksen.

Yksi tärkeä huomio on, että keskeinen raja-arvolause ei ole pelkästään teoreettinen malli, vaan se tuo esiin käytännön hyödyllisyyksiä optioiden hinnoittelussa markkinoilla, missä rajoituksia ja oletuksia voidaan joutua tarkastelemaan uudelleen. Tämä lähestymistapa avaa myös mahdollisuuden tarkastella markkinahinnan käyttäytymistä ajan kuluessa ja ennustaa hintakehityksiä epävarmoissa olosuhteissa.

Voiko biomekaaniset poikkeamat ennustaa kipuja ja vammoja?
Miten KMS-alustojen ylläpito ja työntekijöiden koulutus tukevat digitaalista transformaatioita?
Miksi valitsijat tekevät virheitä korkean konfliktin poliitikkojen kanssa?