Oletetaan, että d=1d = 1 ja että on voimassa rajoitetun keskiarvon ja varianssin välinen kauppatase (10.24): 2αt≤κσt22\alpha_t \leq \kappa \sigma^2_t P-a.s. kaikilla tt. Tällöin GTG_T on suljettu lineaarinen alitila L2(P):ssä.

Todistus perustuu Doobin hajotelmaan, jossa X=Y+BX = Y + B, missä YY on P-martingali ja BB ennakoitava prosessi, jolla B0=0B_0 = 0. Tällöin σT2=var(XT−XT−1∣FT−1)=E[(YT−YT−1)∣FT−1]\sigma^2_T = \text{var}(X_T - X_{T-1} | F_{T-1}) = E[(Y_T - Y_{T-1}) | F_{T-1}], ja saamme seuraavan lausekkeen:

E[GT2(ξ2)]=E[(GT−1(ξ)+ξT⋅(XT−XT−1))]=E[(GT−12(ξ)+ξT⋅(BT−BT−12))]+E[(ξT⋅(YT−YT−1))].E[G^2_T(\xi^2)] = E[(G_{T-1}(\xi) + \xi_T \cdot (X_T - X_{T-1}))] = E[(G^2_{T-1}(\xi) + \xi_T \cdot (B_T - B^2_{T-1}))] + E[(\xi_T \cdot (Y_T - Y_{T-1}))].

Tässä yhtälössä ξ∈S\xi \in S ja oletamme, että ξn\xi_n on jono, joka konvergoi L2(P):ssä johonkin satunnaismuuttujaan Ψ\Psi. Tämän avulla osoitamme, että GTG_T on suljettu L2(P):ssä.

Teoreema 10.39 osoittaa, että kun d=1d = 1 ja ehdot (10.24) toteutuvat, eksistoi varianssi-optimaalinen strategia (V0∗,ξ∗)(V_0^*, \xi^*), joka on P-a.s. yksikäsitteinen, poikkeuksena vain, jos ξt∗\xi^*_t muuttuu kohdassa, jossa σt=0\sigma_t = 0.

Varianssi-optimaalinen suojaus

Varianssi-optimaalinen suojausstrategia voidaan löytää projektio-operaattorilla p:L2(P)→GTp: L^2(P) \to G_T, joka on lineaarinen ja minimoi seuraavan funktion:

E[Ψ−p(Ψ)]2=min⁡Z∈GTE[(Ψ−Z)2].E[\Psi - p(\Psi)]^2 = \min_{Z \in G_T} E[(\Psi - Z)^2].

Tällöin, jokaiselle V0∈RV_0 \in \mathbb{R}, on olemassa ξ(V0)∈S\xi(V_0) \in S, joka toteuttaa GT(ξ(V0))=p(H−V0)G_T(\xi(V_0)) = p(H - V_0), missä HH on aloitusvarallisuus ja V0V_0 on alkuperäinen pääoma.

Minimoinnin jälkeen saadaan varianssi-optimaalinen strategia (V0∗,ξ∗)(V_0^*, \xi^*), joka toteuttaa ehdot ja vähentää suojausvirhettä mahdollisimman pieneksi. Tämän strategian ainutlaatuisuus voidaan todistaa induktion avulla.

Lisäksi, jos oletamme, että αt2\alpha^2_t on deterministinen (10.27) ja σt2\sigma_t^2 on vakio, niin (V0∗,ξ∗)(V_0^*, \xi^*)-strategian laskeminen voidaan suorittaa eksplisiittisesti ja se liittyy läheisesti riskin minimoimiseen, kuten seuraavassa kaavassa:

VT=H,ξ=cov(Vt+1,Xt+1−Xt∣Ft)σt2kunσt≠0.V_T = H, \quad \xi = \frac{\text{cov}(V_{t+1}, X_{t+1} - X_t | F_t)}{\sigma^2_t} \quad \text{kun} \quad \sigma_t \neq 0.

Tässä kaavassa huomioidaan myös numeraari- eli osakkeiden tai arvopaperin hinta ξ0\xi_0 ja sen komponentit.

Induktiivinen lähestymistapa

Teoreema 10.40 tuo esille, että ξ∗\xi^*-strategia on optimaalinen, kun V0∗=VTV_0^* = V_T, ja ξt∗\xi_t^* saadaan iteratiivisesti induktion avulla. Kun T=1T = 1, tämä on yksinkertaisempi tapaus, mutta kun T>1T > 1, käytetään projektioita ja osittaisia ratkaisuja, jotka palautuvat edellisiin T−1T-1-vaiheiden ratkaisuihin.

Tämä menetelmä tuottaa optimaalisen strategian ja minimoi varianssin kaikissa ajankohdissa, mikä takaa sen, että suojausvirhe on mahdollisimman pieni.

Huomioitavaa

On tärkeää ymmärtää, että varianssi-optimaalinen suojaus ei aina ole riittävä riskin täydelliseen minimointiin. Tällöin tarvitaan laajempi analyysi, joka ottaa huomioon myös dynaamiset riskimittarit ja niiden muuttuvan arvon ajan myötä. Lisäksi, kun αt≠0\alpha_t \neq 0 kaikilla tt, ξ∗\xi^* saattaa erota lokaalisti riskin minimoivasta strategista ξ^\hat{\xi}, koska martingali-ehto ei ole voimassa.

Pitäisi myös huomioida, että vaikka varianssi-optimaalinen strategia minimoi riskin tietyllä hetkellä, se voi olla altis virheille, jos markkinoilla tapahtuu yllättäviä muutoksia tai jos oletukset eivät täyty käytännössä. Tästä syystä on tärkeää, että riskin minimointi otetaan huomioon useilla aikaväleillä ja että strategioita voidaan mukauttaa dynaamisesti markkinoiden liikkeiden mukaan.

Miten valita optimaalinen hyödyke ja hinnoitella riskejä odotetun hyödyn avulla?

Kun tarkastellaan riskin ja hyötyfunktioiden välistä yhteyttä, voidaan tarkastella, miten riskinkarttajat tai -ottajat määrittelevät maksimiarvot ja niiden hyväksyttävät hintatasot. Esimerkiksi kaksi tunnettua hyödykefunktiota, u1(x) = √x ja u2(x) = log(x), jotka ovat G. Cramerin ja D. Bernoullin esittämiä, tuottavat selkeästi määriteltyjä "varmuusarvoja" (certainty equivalents) mahdollisista epävarmoista tapahtumista. Nämä varmuusarvot ovat 2 + √2 ≈ 2.91 ja 2, ja ne osuvat hintahaarukkaan, jonka ihmiset yleensä ovat valmiita maksamaan.

On kuitenkin tärkeää huomata, että mikäli valittava hyödykefunktio ei ole rajoitettu ylhäältä, voitaisiin tulonjakoon tehdä muutoksia siten, että paradoksi ilmenee jälleen. Esimerkiksi, voimme muuttaa tuloksen 2n muodossa u^(-1)(2n) siten, että summa muuttuu äärettömäksi, mikä voisi johtaa siihen, että varmuusarvojen käsitteet eivät enää päde samalla tavalla. Tällöin ylhäältä rajatun hyödykefunktion valinta poistaa tämän ongelman, mutta voi luoda muita haasteita, kuten syvemmin tarkastellut ongelmat sivuilla 80-84.

Kun käsittelemme mieltymyksiä ja niiden optimaalista maksimaalisuutta, voimme tarkastella yksinkertaista optimointitehtävää. Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka jakauma on μ, ja oletetaan, että X on rajattu alhaalta jollain tietyllä arvolla a, joka sijaitsee S:n sisällä. Mikä olisi paras yhdistelmä Xλ := (1 − λ)X + λc riskialttiin tuloksen X ja varman summan c välillä, mikäli c kuuluu myös S:n sisäosaan? Jos arvioimme Xλ:n odotetun hyödyn perusteella, saamme funktion f(λ) := U(μλ) = ∫ u dμλ = E[u((1 − λ)X + λc)], ja etsimme sen maksimia λ∗ ∈ [0, 1] välillä. Tällöin hyödykefunktion u ollessa tiukasti konveksi, tämä maksimipiste löytyy aina yksikäsitteisesti.

Propositio 2.39: Olkoon u hyödykefunktio. Jos E[X] ≤ c, niin λ∗ = 1. Jos taas c ≥ c(μ), niin λ∗ > 0. Mikäli u on derivoituva, niin λ∗ = 1 ⇐⇒ E[X] ≤ c ja λ∗ = 0 ⇐⇒ c ≥ E[Xu'(X)]. Tämä tarkoittaa, että jos E[X] on pienempi tai yhtä suuri kuin c, halutaan valita täysin varma summa. Jos taas c on suurempi kuin odotettu tulos, voi olla järkevää sijoittaa osa varallisuudesta riskialttiimpiin vaihtoehtoihin.

Esimerkiksi, jos tarkastellaan riskiä ja hyödykefunktiota, voidaan havainnollistaa sijoituspäätöksiä. Oletetaan, että S on riskialtis osake ja sen hinta on π. Jos agentilla on alkuperäinen varallisuus w ja hän haluaa sijoittaa osan tästä riskilliseen omaisuuteen, voidaan käyttää suhteellista sijoitusosuuden λ määrittämiseksi. Edellisen väitteen perusteella ei tapahdu sijoitusta, jos ja vain jos E[S] + r ≤ π. Toisin sanoen, riskialtista omaisuutta täytyy myydä sen odotettua arvon alittavalla hinnalla, jotta riskin karttaja olisi valmis investoimaan siihen.

Toisaalta, jos tarkastellaan vakuutusta, voi olla järkevää ottaa vain osittainen vakuutus satunnaista tappiota Y vastaan, kunhan vakuutusmaksu on pienempi kuin Y:n odotusarvo. Jos vakuutusmaksu ylittää tämän "reilun hinnan" E[Y], voi olla järkevää vakuuttaa vain osa tappiosta. Tämä voi johtua siitä, että vaikka vakuutuksen hinta ylittää reilun hinnan, riskin karttaminen saattaa silti luoda kysyntää vakuutukselle.

Kun tarkastellaan riskipreemion ϱ(μ) laskemista, voidaan käyttää hyödyn funktion Taylorin laajennusta, olettaen että funktio u(x) on riittävän sileä ja tiukasti kasvava. Tämä antaa meille likimääräisen arvion riskipreemion suhteen ja tuo esille, kuinka riskin karttaminen vaikuttaa agentin valmiuteen maksaa riskipreemioita. Riskin karttajalle tämä määritelmä toimii niin, että riskin ja odotetun hyödyn välinen suhde määrittelee, kuinka suuri osa varallisuudesta halutaan suojata tietyltä riskiltä.

Tässä yhteydessä on syytä huomioida Arrow–Prattin riskinkarttamisvakiota, joka kertoo kuinka voimakkaasti tietyn hyödykefunktion riskinkarttaminen kasvaa, kun omaisuuden määrä x kasvaa. Tämä vakio voi olla vakio (CARA-funktio) tai riippuva x:n arvosta (HARA-funktio). Näiden riskinkarttamisfunktioiden avulla voimme ymmärtää, kuinka riskin ottaminen tai karttaminen käyttäytyy tietyissä taloudellisissa olosuhteissa ja kuinka se vaikuttaa taloudellisiin valintoihin ja päätöksentekoon.

Miten Trumpin "korruptiota" kutsuminen voi vaikuttaa hänen imagoonsa?
Miten laskennallinen algebrallinen geometrian lähestymistapa vaikuttaa moderniin matemaattiseen tutkimukseen?
Miten idiomit ja sanonnat vaikuttavat arkipäivän kieleen ja ajatteluun?
Mikä on oikeistopopulistisen politiikan vaara ja sen vaikutukset?
Kuinka hoitaa ruohonleikkuria ja ratkaista yleiset pihaongelmat