¿Cómo se garantiza la estabilidad y robustez en el control por modo deslizante en sistemas de saltos de modo múltiple con estados restringidos?

El control por modo deslizante en tiempo finito (SFTB) aplicado a sistemas de saltos de modo múltiple (MJS) con estados restringidos se fundamenta en una formulación que integra el análisis de estabilidad y la robustez frente a perturbaciones y no linealidades en el sistema. En el intervalo de tiempo completo [0, T], la estabilidad se asegura mediante un proceso en tres etapas, destacando la fase de alcance para t ∈ [0, T*], durante la cual la dinámica cerrada del sistema se representa con las matrices ajustadas Ãi = Ai + Bi Ki y se incorpora un término de control robusto modulado por la función signo.

Se utiliza la condición de Schur para transformar estas desigualdades en condiciones matriciales lineales factibles (LMI), lo que facilita el diseño computacional de los parámetros de control. La esperanza matemática de la función de Lyapunov bajo estas condiciones confirma que la energía del sistema se atenúa, con términos que consideran la magnitud del ruido y el efecto robusto de la ley de control. Esta robustez es particularmente importante, dado que el término robusto de la ley de control depende no solo de constantes conocidas, sino también de la norma del diseño de la matriz Ki, lo que impone restricciones adicionales para garantizar solvencia y estabilidad.

Para superar la dificultad derivada de la dependencia en ‖Ki‖, se introduce una restricción matricial Kᵢᵀ Kᵢ < ζi I, que limita la magnitud del controlador robusto y permite derivar condiciones resolubles para los parámetros del sistema. Estas condiciones aseguran que las ganancias robustas no excedan límites que comprometan la estabilidad y permiten una síntesis efectiva del controlador, conciliando la robustez y la factibilidad computacional.

Además, el análisis incluye un estudio de las desigualdades matriciales y sus valores propios, donde se relacionan las máximas y mínimas eigenvalores para asegurar que las condiciones de estabilidad sean satisfechas, proporcionando un marco sólido para el diseño y la validación del controlador. En particular, la utilización de normas y trazas matriciales ofrece herramientas prácticas para evaluar y limitar la influencia de las ganancias del controlador y las perturbaciones del sistema.

La comprensión de este enfoque requiere una apreciación profunda del equilibrio entre robustez y estabilidad en presencia de incertidumbres y perturbaciones, así como del papel crucial de las restricciones en las ganancias del controlador para garantizar un diseño viable. La formulación detallada de las funciones de Lyapunov, junto con las condiciones matriciales de Schur, ofrece una metodología matemática rigurosa para el análisis y diseño de controladores por modo deslizante en sistemas con dinámicas cambiantes y estados restringidos.

La importancia de este análisis radica en que, más allá de la simple estabilización, se busca un control robusto que actúe en tiempo finito, con garantías formales de convergencia y protección ante perturbaciones. La adecuada selección de los parámetros ηi, ξi, ζi y el diseño de las matrices Pi, Qi y Ki configuran el núcleo del control efectivo, equilibrando la rapidez de convergencia y la minimización del esfuerzo de control.

Además, es esencial reconocer que la no linealidad del sistema y las perturbaciones externas deben ser cuidadosamente modeladas y acotadas, ya que influyen directamente en las condiciones de estabilidad y en la complejidad del diseño del controlador. Las técnicas presentadas permiten una formulación que integra estas características, facilitando una implementación práctica y eficaz en sistemas reales con modos múltiples y restricciones.

¿Cómo garantizar la estabilidad en sistemas con control de modo deslizante basado en componentes?

En el estudio de sistemas dinámicos que involucran modos deslizantes y conmutaciones, la necesidad de asegurar la estabilidad de las trayectorias y la correcta evolución de las superficies deslizantes es esencial. Los sistemas de control de modo deslizante (SMC, por sus siglas en inglés) ofrecen una solución robusta a este tipo de problemas, y en particular, cuando estos sistemas son afectados por cambios en el modo, como ocurre en sistemas con conmutaciones de Markov.

Un aspecto fundamental de este tipo de control es la elección de funciones de Lyapunov adecuadas que permitan analizar la estabilidad y el comportamiento asintótico del sistema. Se ha propuesto una función de Lyapunov $V_1(x(t), i)$, que ayuda a derivar el operador infinitesimal para el análisis de estabilidad. A partir de la ecuación (4.18), esta función permite estudiar cómo la energía del sistema evoluciona en el tiempo y cómo las superficies deslizantes se alcanzan en tiempo finito.

En el segundo caso, cuando el término diagonal $\lambda_i j$ no es conocido, se presentan condiciones adicionales para garantizar la estabilidad. Estas condiciones se derivan considerando la posible variabilidad de $\lambda_i j$ dentro del conjunto de modos posibles y estableciendo límites adecuados para que el sistema siga funcionando correctamente bajo diferentes configuraciones. A través de estas desigualdades, se puede comprobar que la evolución del sistema sigue siendo controlada y el estado finalmente se estabiliza sobre la superficie deslizante.

Además, la teoría desarrollada establece que las trayectorias de estado de los sistemas controlados bajo estas condiciones se moverán hacia la superficie deslizante en tiempo finito, garantizando que el sistema se estabilice rápidamente. Para determinar el tiempo exacto $T^*$ en el cual se alcanza esta superficie, se utiliza la fórmula derivada en la ecuación (4.32), la cual depende de las propiedades de las matrices $G_i$, $B_i$, y la condición inicial del sistema. La elección de los parámetros adecuados, como el valor de $\kappa$, permite ajustar este tiempo para asegurar que el sistema se estabilice antes de un límite predefinido $T$.

¿Cómo se garantiza la estabilidad en tiempo finito mediante matrices de transición en sistemas de salto de Markov y control deslizante híbrido?

El análisis de estabilidad para sistemas de salto de Markov (MJS) sin entrada externa se basa en la construcción y diseño adecuado de matrices de transición (TR) y la utilización de funciones de Lyapunov asociadas a cada modo del sistema. La estrategia emplea parámetros escalares dependientes del modo, ε_i > 0, que ofrecen una mayor flexibilidad frente a la aproximación clásica de un parámetro común ε para todos los modos. Esta diferenciación incrementa la capacidad de encontrar soluciones factibles, ya que cada modo puede ajustarse de manera independiente en las desigualdades de tipo Lyapunov acopladas.

Para la determinación de las matrices TR, la formulación del problema se simplifica al reducir el número de parámetros λ_ij a encontrar, a partir de la condición de suma cero por fila en la matriz λ. Este enfoque evita la necesidad de resolver directamente N^2 variables, disminuyendo la complejidad y facilitando una interpretación más explícita del desempeño de la matriz TR en el sistema híbrido. La introducción de un parámetro de decisión ν como grado de libertad adicional permite realizar una búsqueda bidimensional conjunta para optimizar la factibilidad de las condiciones de estabilidad expresadas en forma de desigualdades matriciales lineales (LMIs).

El diseño efectivo de la matriz TR mediante el teorema correspondiente asegura la estabilidad en tiempo finito (SFTB) del sistema sin entrada externa, demostrando que un TR dado puede no garantizar esta propiedad, mientras que uno diseñado adecuadamente sí. La validación se corrobora a través de simulaciones en sistemas con dos subsistemas, en las que se observa la diferencia crítica entre un TR arbitrario y uno diseñado, el último mostrando convergencia al equilibrio en un tiempo finito preestablecido.

El análisis de la llegada a la superficie de deslizamiento se fundamenta en el uso de una función de Lyapunov definida sobre la función de deslizamiento, cuya derivada infinitesimal muestra un decremento estricto bajo la ley de control propuesta. La capacidad de alcanzar la superficie deslizante en tiempo finito está asegurada mediante condiciones explícitas sobre los parámetros del controlador, las matrices de sistema, y las perturbaciones externas, garantizando que la dinámica no se escape antes de alcanzar el objetivo. Esto da lugar a una robustez intrínseca frente a incertidumbres y perturbaciones limitadas.

Es fundamental destacar que el éxito en el diseño y análisis de estos sistemas híbridos no sólo reside en la formulación matemática y condiciones técnicas, sino también en entender la interpretación física y la relación entre las matrices TR, los modos del sistema y el comportamiento dinámico en tiempo finito. La capacidad de parametrizar y controlar la conmutación entre modos permite ajustar no sólo la estabilidad, sino también el rendimiento del sistema ante perturbaciones y variaciones estructurales. Además, la consideración explícita del tiempo finito en la estabilidad difiere sustancialmente del clásico análisis asintótico, requiriendo técnicas específicas y enfoques cuidadosos para la implementación práctica.

La incorporación de parámetros dependientes del modo y el uso de algoritmos de búsqueda bidimensional para variables de diseño ofrecen una metodología que equilibra flexibilidad y rigor, reduciendo la conservatividad y aumentando la factibilidad de las soluciones. La formulación expuesta sirve como base para posteriores extensiones hacia sistemas forzados y el diseño integrado de controladores y matrices TR, abriendo camino a estrategias híbridas más avanzadas.