¿Por qué el conjunto de ceros de un ideal propio no puede ser vacío?

Dado un ideal propio $I \subsetneq k[x_1, \ldots, x_n]$ , queremos demostrar que su conjunto de ceros $V(I)$ no es vacío. Este es precisamente el contenido del Teorema de Nullstellensatz de Hilbert. Si $I = (0)$ , entonces $V(I) = \mathbb{A}^n$ , que ciertamente no está vacío. Pero si $I \neq (0)$ , entonces hay un polinomio no constante $f \in I$ . Aplicando un cambio de coordenadas lineal adecuado, se puede suponer que $f$ es mónico en $x_1$ . Entonces, por el Lema 1.4.6, la proyección natural $V(I) \to V(I_1)$ , donde $I_1 = I \cap k[x_2, \ldots, x_n]$ , es suprayectiva. Por hipótesis de inducción, ya que $I_1 \subsetneq k[x_2, \ldots, x_n]$ , se tiene que $V(I_1) \neq \varnothing$ , y por ende también $V(I) \neq \varnothing$ .

Este razonamiento puede extenderse mediante un análisis inductivo sobre las proyecciones sucesivas de $V(I)$ a subespacios de dimensión inferior. El Teorema de la Torre de Proyecciones formaliza esta idea: dado un ideal propio $I$ , se consideran los ideales de eliminación $I_j = I \cap k[x_{j+1}, \ldots, x_n]$ . Se define $c$ como el mínimo entero tal que $I_c = (0)$ . Si para todo $j < c$ , $I_j$ contiene un polinomio mónico en $x_{j+1}$ , entonces la proyección $\pi_c : V(I) \to \mathbb{A}^{n-c}$ es suprayectiva y todas sus fibras son finitas, con cardinalidad acotada por el producto de los grados de los polinomios mónicos involucrados.

La importancia del cambio de coordenadas reside en la posibilidad de triangularizar el sistema, lo cual permite aplicar inductivamente el argumento. Si el campo de definición del ideal es infinito, es posible realizar un cambio de coordenadas triangular con coeficientes en dicho campo, preservando así la estructura algebraica del sistema.

Bajo estas condiciones, resulta tentador definir la dimensión de un conjunto algebraico $V(I)$ como $n - c$ , donde $c$ es el entero mínimo para el cual el ideal $I_c$ es nulo. Sin embargo, esta definición preliminar de dimensión y codimensión depende a priori de la elección de coordenadas. El hecho de que esta noción sea en realidad independiente del sistema de coordenadas se justifica en resultados posteriores, como el Corolario 6.1.3.

La estructura algebraico-geométrica se clarifica aún más al introducir la correspondencia entre ideales y subconjuntos algebraicos de $\mathbb{A}^n$ . Para un ideal $J \subset K[x_1, \ldots, x_n]$ , se define su lugar de anulación $V(J)$ , que es el conjunto de todos los puntos donde se anulan todos los polinomios en $J$ . Recíprocamente, para un subconjunto $A \subset \mathbb{A}^n$ , se define su ideal de anulación $I(A)$ , el cual contiene todos los polinomios que se anulan en cada punto de $A$ .

Esta dualidad satisface propiedades básicas que reflejan el comportamiento topológico de los conjuntos algebraicos: $V(0) = \mathbb{A}^n$ , $V(1) = \emptyset$ , $V(I \cdot J) = V(I) \cup V(J)$ , y otras que motivan la definición de la topología de Zariski. En esta topología, los conjuntos algebraicos son los cerrados, y sus complementos forman la base de los abiertos de Zariski.

En este marco, el Teorema de Nullstellensatz en su forma fuerte afirma que para un ideal $J$ , se tiene que $I(V(J)) = \sqrt{J}$ , el radical de $J$ . Es decir, todo polino

¿Por qué la localización no siempre corresponde al anillo coordenado de una variedad? Propiedades locales y teoría de ideales

La localización de un anillo es un proceso algebraico fundamental que permite “acercar” el estudio a un punto o subconjunto específico, facilitando la comprensión de propiedades locales. Sin embargo, no todo anillo obtenido por localización es isomorfo al anillo coordenado de una variedad algebraica. Por ejemplo, la localización $K[x]_{(x)}$ del anillo de polinomios en una variable en el ideal maximal generado por $x$ no corresponde al anillo coordenado de ninguna variedad. Esto refleja una diferencia profunda entre la geometría global y la estructura local, y exige un análisis detallado de las propiedades locales de módulos, ideales y homomorfismos.

Las propiedades de módulos como ser nulo, inyectivo o sobreyectivo se pueden caracterizar a partir de sus localizaciones en ideales primos o maximales. En particular, un módulo $M$ es nulo si y solo si sus localizaciones en todos los ideales maximales son nulas. Esto muestra que la verificación de propiedades en la estructura global puede reducirse a la observación puntual mediante localización. La inyectividad de un homomorfismo $\varphi: M \to N$ se prueba de manera análoga, usando la exactitud de las localizaciones para trasladar la cuestión a módulos localizados, simplificando el análisis.

En cuanto a la teoría de ideales, la extensión y contracción bajo homomorfismos de anillos tienen un papel clave para comprender la relación entre ideales en diferentes contextos algebraicos. Un ideal $a \subset A$ se extiende a $aB \subset B$ mediante la imagen de los elementos bajo el homomorfismo, mientras que un ideal $b \subset B$ se contrae a $\varphi^{ -1}(b) \subset A$ . Estas operaciones permiten estudiar la correspondencia entre ideales, crucial para descomposiciones primarias y para el análisis de la estructura interna del anillo.

Las propiedades de las descomposiciones primarias se conservan bajo contracción, pero la extensión puede ser más compleja. Por ejemplo, la extensión de ideales primos de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}[i]$ puede transformar ideales primos en productos o potencias de otros, lo que refleja fenómenos aritméticos profundos, como los relacionados con la representación de primos como sumas de cuadrados.

La localización simplifica significativamente la teoría de ideales. Al pasar de un anillo $R$ a su localización $R[U^{ -1}]$ , los ideales en $R[U^{ -1}]$ corresponden inyectivamente a ciertos ideales en $R$ , y muchas propiedades estructurales, como ser noetheriano, se conservan. Además, existe una correspondencia bijectiva entre ideales primarios o primos en $R[U^{ -1}]$ y aquellos ideales en $R$ que no intersectan el conjunto multiplicativo $U$ .

Esto es fundamental para el estudio de la descomposición primaria: al localizar en torno a un ideal primo minimal asociado, podemos identificar de forma única los ideales primarios que lo acompañan, simplificando la comprensión de la estructura del ideal original.

La teoría de localización también permite ver ejemplos concretos, como en los anillos de enteros y en anillos de polinomios factoriales, donde las descomposiciones primarias reflejan la factorización en primos o irreducibles. Sin embargo, hay sutilezas, pues la descomposición primaria puede cambiar bajo extensiones de campo. Un ideal primo en $\mathbb{Q}[x_1, x_2]$ , como $(x_1^2 + x_2^2)$ , puede factorizar en $\mathbb{C}[x_1, x_2]$ , mostrando que la propiedad de ser primo o primario depende también del cuerpo base.

Para entender completamente la estructura local y global de anillos y variedades, es imprescindible considerar estos fenómenos: la localización provee una herramienta para analizar las propiedades puntuales y locales, mientras que la extensión y contracción de ideales revelan cómo se comportan las estructuras bajo cambios de contexto algebraico o geométrico.

Además, es importante reconocer que la localización no solo simplifica el análisis, sino que también puede transformar la naturaleza de los objetos estudiados, por lo que su uso requiere cautela y un entendimiento profundo del contexto algebraico y geométrico en que se aplica.

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