¿Cómo se caracterizan los mercados arbitrarios en los modelos financieros?

Para ilustrar cómo los límites universales del arbitraje pueden ser alcanzados, consideremos un modelo de mercado con un solo activo riesgoso $S = S_1$. En este modelo, la distribución de $S$ bajo la medida $P$ está concentrada en un conjunto discreto de valores $\{0, 1, 2, \dots \}$ con probabilidades positivas. Supongamos que $S$ sigue una distribución de Poisson con parámetro 1, es decir, que $S$ es una variable aleatoria de valor entero con $P(S = k) = e^{ -1} \frac{1}{k!}$ para $k = 0, 1, 2, \dots$. Si tomamos una tasa de interés $r = 0$ y la medida de probabilidad $\pi = 1$, obtenemos una medida neutral al riesgo, lo que implica que el modelo es libre de arbitraje.

En el contexto de los mercados sin arbitraje, es fundamental entender cómo las opciones con diferentes precios de ejercicio están relacionadas entre sí. Por ejemplo, si consideramos un modelo donde se negocian opciones put con distintos precios de ejercicio, es posible demostrar que el precio de una opción put con strike mayor es siempre mayor o igual que el de una opción con strike menor. Esta relación se conoce como la paridad put-call, que también se extiende a la relación entre precios de opciones con diferentes strikes. Además, al combinar varias opciones con strikes intermedios, podemos obtener spreads como el "bear put spread" o el "butterfly spread", cuyos precios siempre son no negativos si el mercado es libre de arbitraje.

Si un mercado es completo, significa que la cantidad de escenarios posibles en el espacio de probabilidades es finita y limitada. Esto se debe a que cualquier reclamación contingente en el mercado puede expresarse como una combinación lineal de los activos básicos disponibles. En modelos de mercados completos, la estructura de estos modelos es finita, lo que implica que el espacio de probabilidades puede reducirse a un número limitado de escenarios relevantes. En términos matemáticos, esto se puede demostrar a través de la noción de "átomos" en el espacio de probabilidades, que son subconjuntos del espacio de estados que no se pueden subdividir de manera no trivial.

Por ejemplo, en un mercado simple donde el espacio de estados contiene solo dos posibles resultados, $\omega_+$ y $\omega_-$, el activo riesgoso $S$ toma valores $b$ y $a$ en $t = 1$ con probabilidades $p$ y $1 - p$, respectivamente. Este modelo es libre de arbitraje si el precio de un bono o activo libre de riesgo está entre los valores que toma el activo riesgoso, lo que asegura que no haya oportunidades de arbitraje en el mercado. Este tipo de modelo simple es uno de los ejemplos clásicos donde la teoría del arbitraje y la completitud del mercado se aplican de manera directa y clara.

Consideremos primero el caso de una función de utilidad diferenciable de manera continua sobre un dominio $D$, de tal manera que la expectativa de $u(\xi \cdot Y)$ sea finita para todos $\xi \in S(D)$. Bajo ciertas condiciones, como que $u$ esté definida en $D = \mathbb{R}$ y sea acotada superiormente, o en un intervalo $D = [a, \infty)$ con $\xi^*$ como un punto interior de $S(D)$, se puede caracterizar la solución óptima $\xi^*$ y obtener una condición de primer orden:

El cálculo detallado muestra que bajo estas condiciones, el cambio en la utilidad en respuesta a pequeñas variaciones en $\xi$ alrededor de $\xi^*$ lleva a la conclusión de que la expectativa del término $u'(\xi^* \cdot Y)$ multiplicada por el cambio en los rendimientos $Y$ debe ser igual a cero, lo que representa una condición necesaria para la maximización de la utilidad. Esto implica que $\xi^*$ se encuentra en el punto donde la pendiente de la función de utilidad es igual a la pendiente del precio de los activos ponderado por la distribución del riesgo de esos activos.

Una de las implicaciones clave de este resultado es la conexión directa entre la teoría de la optimización de portafolios y la ausencia de arbitraje en los mercados financieros. Si se asume que el mercado es libre de arbitraje y que la función de utilidad es adecuada, entonces es posible derivar una medida de riesgo-neutral equivalente $P^*$ a partir de la función de utilidad maximizada $u(\xi^* \cdot Y)$. La densidad de la medida $P^*$ con respecto a $P$ puede ser expresada en términos de la derivada de la utilidad de $\xi^*$, lo que confirma la existencia de un equilibrio de precios en el mercado bajo condiciones de no-arbitraje.

Es importante notar que la presencia de restricciones adicionales, como la condición de no redundancia de los activos, puede afectar sustancialmente la solución óptima. En este sentido, la maximización de la utilidad esperada se convierte en un problema de equilibrio donde las restricciones del mercado (como las restricciones de positividad en los activos) juegan un papel esencial en la determinación de la estrategia de inversión óptima. Además, el análisis detallado de la relación entre la función de utilidad y los precios de los activos permite derivar nuevas medidas de riesgo que pueden ser aplicadas a modelos más complejos de mercados financieros.