¿Cómo se construyen medidas martingalas sin una medida a priori y qué implica para el pricing libre de arbitraje?

El análisis parte del espacio de medidas de probabilidad $P^*$ sobre $(\Omega, \mathcal{F})$ que coinciden con una regla lineal de precios $\Phi$ definida sobre un espacio de derivados líquidos $X$. Esta clase $P_{\Phi}$ contiene medidas bajo las cuales el proceso de precios $X$ es un martingala, es decir, para cualesquiera tiempos $s < t$ y eventos $A \in \mathcal{F}_s$, se cumple $E^*[ (X_t - X_s) 1_A ] = 0$. Este resultado configura una versión del “teorema fundamental del precio de activos” sin necesidad de una medida de probabilidad inicial, lo que es crucial en entornos donde no se asume un modelo probabilístico fijo.

Se asume que el espacio de derivados líquidos se restringe a opciones de compra (calls) con madurez $T$, junto con contratos forwards y constantes. La regla de precios $\Phi_T$ sobre este espacio satisface condiciones de continuidad y convergencia que permiten definir la clase $P_{\Phi}$ de medidas martingalas consistentes con dichos precios. Esto extiende la noción de ausencia de arbitraje, mostrando que $P_{\Phi} \neq \emptyset$, es decir, siempre existe al menos una medida martingala compatible con los precios observados.

Un ejemplo destacado es la opción digital que paga 1 si el precio $X_t$ supera una barrera $B$ en algún instante antes o en $T$. Definida mediante el tiempo de primer cruce $\tau_B$, su precio sin arbitraje es limitado superiormente por el mínimo de expresiones lineales en precios de calls con distintos strikes menores a $B$. La demostración utiliza el teorema de parada para martingalas, que permite intercambiar expectativas condicionadas en tiempos aleatorios, y propiedades de convexidad de la función de precios de calls $C_T(K)$.

Este marco revela que las cotas de precios de opciones exóticas pueden ser interpretadas en términos de cuantiles de las distribuciones marginales y que la ausencia de arbitraje se traduce en la existencia de medidas martingalas coherentes con precios observados, incluso sin un modelo probabilístico predeterminado.

Además, la función convexa de precios $C_T(K)$ contiene información esencial sobre la distribución del activo subyacente y su análisis mediante derivadas laterales permite caracterizar cuantiles y regiones de masa de probabilidad, vinculando propiedades geométricas con precios y estrategias financieras.

La implicación práctica de este enfoque es que, en mercados reales donde el modelo exacto es desconocido o incierto, se puede operar de manera arbitrariamente segura y consistente a partir únicamente de precios observados de opciones líquidas, sin necesidad de asumir un modelo estadístico completo. Esta visión libre de modelo amplía el horizonte para la valoración, gestión de riesgos y diseño de productos financieros exóticos, proporcionando una base matemática sólida y una herramienta para la regulación y supervisión financiera.

¿Cómo se resuelve explícitamente el problema de cobertura eficiente con medidas de riesgo convexas en mercados completos?

Dado un activo contingente $H$ y una medida de probabilidad equivalente $P^*$, el problema se reduce a minimizar $\rho(Y - H)$, con $0 \leq Y \leq H$ y $\mathbb{E}^{*}[Y] \leq \upsilon$. Este problema puede reformularse en términos de una nueva variable $Z = H - Y$, de modo que la optimización se transforma en minimizar $\rho(-Z)$, con $0 \leq Z \leq H$ y $\mathbb{E}^{*}[Z] \geq \tilde{\upsilon}$, donde $\tilde{\upsilon} = \mathbb{E}^{*}[H] - \upsilon$.

Al considerar la medida AV@Rλ, se puede aplicar la representación dual que convierte el problema en uno de tipo minimax, el cual puede resolverse utilizando un resultado de dualidad. Esta representación es clave:

La optimización se centra así en encontrar el $Z^*$ que minimiza esta expresión bajo las restricciones impuestas. El problema posee solución bajo condiciones muy generales de semicontinuidad inferior de la medida de riesgo y acotación de $H$.

Cuando $r^* > 0$, se demuestra que debe cumplirse $Z^* \geq H \wedge r^*$, y que cualquier contradicción de esta desigualdad implica una mejora factible del riesgo, lo cual refutaría la optimalidad de $Z^*$. En este caso, el problema se reduce a una nueva formulación donde se minimiza una expectativa bajo restricciones ajustadas al capital restante. A través de una construcción inductiva, se concluye que la solución tiene forma estructurada:

El valor de $r^*$ y la constante $c$ se determinan de manera que la restricción $\mathbb{E}^{*}[Z^*] = \tilde{\upsilon}$ se cumpla con igualdad, reflejando que la restricción de presupuesto es activa.

La determinación explícita del umbral $t_\lambda$, a través de la ecuación

permite identificar el punto exacto en el cual la política óptima cambia de régimen. Este nivel define también el capital crítico $\upsilon^* = 1 - \Phi(t_\lambda)$, en términos del valor esperado de la densidad sobre su cola superior.

Es importante que el lector comprenda que la representación dual del AV@R no solo permite una solución matemática más manejable, sino que también tiene una interpretación económica: refleja el peor promedio esperado de pérdidas en un nivel de confianza dado, capturando así el riesgo extremo de manera más realista que el VaR tradicional. Además, la estructura de la solución muestra cómo la información contenida en la densidad de cambio de medida (precio estatal) afecta directamente las decisiones óptimas de cobertura. Comprender este enlace entre medida de riesgo, restricción de presupuesto y distribución de probabilidades es fundamental para aplicar correctamente los resultados a problemas financieros reales.

¿Cómo la teoría de preferencias y medidas de riesgo impactan las decisiones económicas y financieras?

En el estudio de las preferencias y decisiones económicas, los fundamentos matemáticos y económicos son esenciales para entender el comportamiento racional ante el riesgo y la incertidumbre. La teoría de preferencias, tal como se plantea en el trabajo de von Neumann y Morgenstern, constituye una base sólida para la toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre. Estas preferencias son cruciales, no solo para las decisiones de inversión, sino también para las estrategias de cobertura y optimización de carteras en mercados financieros.

En los primeros capítulos de estudios sobre la estructura de preferencias, encontramos una visión integral que se remonta a referencias clásicas como Debreu y Eilenberg, quienes proporcionaron las bases para la representación matemática de las preferencias y la utilidad esperada. Sin embargo, esta visión ha sido extendida y enriquecida por las contribuciones modernas sobre preferencias robustas, como las de Gilboa y Schmeidler. Estas preferencias robustas abordan la incertidumbre de forma que no se requiere un modelo exacto del mundo, sino que permiten decisiones que son estables frente a diferentes modelos de probabilidad.

El análisis de portafolios óptimos, en particular, es una extensión directa de estas ideas de preferencia. En este contexto, el portafolio óptimo se define no solo por el rendimiento esperado, sino también por el riesgo inherente a las opciones disponibles. La no existencia de arbitraje, como se presenta en la teoría de los mercados financieros, es una condición clave que asegura que las decisiones de inversión sean viables y sostenibles. De hecho, la optimización de carteras es uno de los problemas más comunes tanto en la teoría microeconómica como en la teoría de la optimización convexa.

Cuando se analiza el concepto de riesgo, la medida coherente de riesgo, tal como fue planteada por Artzner et al., resulta fundamental. Las medidas de riesgo coherentes, como el Valor en Riesgo (VaR), se utilizan para evaluar el riesgo de una cartera y para determinar el capital necesario para cubrir posibles pérdidas. Este tipo de análisis se encuentra íntimamente relacionado con la gestión del riesgo en el sector financiero y en el ámbito asegurador, y tiene implicaciones directas sobre la asignación de recursos y la protección frente a eventos inciertos.

Además, la relación entre las preferencias económicas y las medidas de riesgo puede observarse en la teoría de la representación afín de las preferencias. Este enfoque establece que es posible representar ciertas preferencias mediante funciones lineales que dependen de la riqueza, una idea que se remonta a las primeras contribuciones de von Neumann y Morgenstern. En este sentido, los resultados del teorema de Hardy-Littlewood y las propiedades de los pedidos parciales son esenciales para comprender cómo se estructuran las decisiones en economías complejas.

Las preferencias robustas, que tratan de modelar decisiones bajo incertidumbre, están especialmente relacionadas con los modelos de seguros y coberturas financieras. En el ámbito del seguro, por ejemplo, la "supercobertura" de opciones y las primas de "stop-loss" se interrelacionan de manera que permiten una caracterización más precisa de las primas de riesgo, lo que a su vez influye en la manera en que las aseguradoras ajustan sus ofertas y evalúan el riesgo de sus carteras.

El comportamiento económico ante el riesgo y la incertidumbre no solo se limita al análisis de las preferencias individuales, sino que también involucra una comprensión profunda de los modelos de equilibrio económico, como los modelos de Arrow-Debreu, que proporcionan un marco para estudiar cómo se determinan los precios en un mercado de bienes y activos. Esta comprensión es esencial para interpretar las asignaciones de recursos en mercados financieros dinámicos y en mercados de seguros.

Por lo tanto, para los lectores que deseen profundizar en este tema, es clave comprender no solo la teoría detrás de las preferencias y el riesgo, sino también cómo estas se aplican a situaciones reales de toma de decisiones económicas. La capacidad de modelar el comportamiento ante el riesgo de manera robusta y adaptativa es fundamental en la actualidad, especialmente en un mundo caracterizado por la incertidumbre económica global y los avances tecnológicos en el sector financiero.

¿Cómo definir las medidas de riesgo en mercados financieros mediante funciones convexas y aceptación de posiciones?

La teoría de las medidas de riesgo es fundamental para comprender cómo los inversores pueden evaluar y gestionar los riesgos asociados a sus posiciones financieras. En este contexto, el uso de conjuntos de aceptación convexos juega un papel central en la definición de las medidas de riesgo. Estas medidas se construyen sobre la idea de qué posiciones son aceptables bajo ciertas condiciones de riesgo y rendimiento, y cómo las decisiones de inversión pueden ser modeladas a través de funciones convexas.

La equivalencia de las condiciones dadas por $K \cap (B \cap B_1)$ y $K \cap (B_0 \cap B_1)$ es una parte importante en la demostración de la robustez de estos conjuntos de aceptación. Es decir, una posición $X \in K \cap B$ puede ser ajustada para cumplir con las condiciones de aceptación mediante un factor $\epsilon$, lo que asegura que la interpretación de estas condiciones sea consistente con el modelo original. La condición $K \cap B \subset K \cap B_0$ implica que la estructura del conjunto de aceptación es coherente y no presenta contradicciones.

Además, la noción de medida de riesgo basada en la utilidad implica que un inversor puede evaluar el riesgo de una posición a través de la función de utilidad de su "shortfall" o pérdida esperada. El riesgo de corto plazo se puede medir mediante la función de pérdida $\ell(x)$, que es estrictamente convexa e incremental. La maximización de la utilidad esperada se traduce entonces en la minimización de la pérdida esperada, lo que establece un vínculo directo entre las decisiones de inversión y las medidas de riesgo.

La medida de riesgo derivada de esta forma se conoce como medida de riesgo de corto plazo basada en la utilidad, y se caracteriza por ser la solución única al problema de optimización dado por la ecuación $\mathbb{E}[ \ell(-X - r)] = x_0$, donde $r$ es el umbral de aceptación de la posición $X$. Este enfoque asegura que el inversor pueda tomar decisiones informadas basadas en su aversión al riesgo, maximizando su utilidad esperada bajo las restricciones de riesgo definidas por su función de pérdida.

¿Qué significa que un reclamo americano sea alcanzable y cómo se relaciona con la estabilidad bajo pegado de medidas de probabilidad?

Un reclamo americano descontado $H$, medible con respecto a una filtración $\mathcal{F}_t$ y sujeto a ciertas condiciones integrables, es alcanzable si existe un tiempo aleatorio $\sigma$, medible en $\mathcal{F}_T$, tal que el valor del reclamo en $\sigma$ coincide con el valor del proceso de superación $V_\sigma$, y para todo tiempo $t$, $V_t \geq H_t$. Esto significa que es posible construir una estrategia de cobertura que replica exactamente el pago del reclamo americano en el tiempo de ejercicio elegido, eliminando así la posibilidad de arbitraje. En un modelo de mercado completo, esta alcanzabilidad se cumple para cualquier reclamo americano, y el precio sin arbitraje único se identifica con la inversión inicial mínima necesaria para implementar la estrategia de cobertura.

Un concepto clave para el análisis de estos reclamos es el de la «estabilidad bajo pegado» (pasting) de medidas de probabilidad equivalentes. Este procedimiento consiste en combinar dos medidas de probabilidad equivalentes en un tiempo de detención $\sigma$, creando una nueva medida que coincide con la primera hasta $\sigma$ y con la segunda después de ese tiempo. Esta operación es fundamental para entender cómo se comportan las medidas de probabilidad cuando se evalúan precios y estrategias de cobertura condicionales a diferentes momentos, especialmente en el estudio de las envolventes de Snell inferiores y superiores, las cuales caracterizan el problema de detención óptima.

El marco matemático que formaliza estas ideas implica una serie de construcciones técnicas, tales como las propiedades de la filtración en tiempos de detención, la medibilidad de variables aleatorias en esas filtraciones, y el comportamiento de martingalas condicionadas a estos tiempos. El resultado clave es que, mediante el pegado, se preservan propiedades importantes de las medidas y procesos, lo que permite extender argumentos probabilísticos y financieros desde un tiempo determinado hacia el futuro, facilitando el análisis del precio y la cobertura del reclamo americano.

Por último, la equivalencia entre diferentes definiciones de martingalas, expresada a través de las propiedades condicionadas en tiempos de detención, provee una base sólida para justificar las estrategias de cobertura y precios sin arbitraje en este contexto. La medida obtenida por pegado conserva la equivalencia y su densidad puede expresarse en términos de la densidad de la medida posterior respecto a la previa, lo que facilita la manipulación de expectativas condicionadas necesarias para la valoración y la optimización.

Es importante comprender que estos conceptos no solo formalizan la teoría detrás de los reclamos americanos y sus precios en mercados tanto completos como incompletos, sino que también muestran cómo el análisis riguroso de las propiedades probabilísticas en tiempos aleatorios permite construir modelos robustos para la valoración y la gestión del riesgo en finanzas. La combinación de martingalas, tiempos de detención, y medidas pegadas establece un marco indispensable para abordar problemas complejos de optimización y cobertura en entornos inciertos.

Además, resulta esencial para el lector reconocer la relevancia del marco de filtraciones y tiempos de detención en la formulación y solución de problemas de detención óptima y cobertura financiera. Entender que los procesos adaptados a una filtración y los tiempos de detención permiten modelar la información disponible en cada instante y el momento de decisión óptimo es clave para aplicar estos resultados en la práctica financiera. El uso de técnicas avanzadas como la super-cobertura (superhedging), que será introducida en secciones posteriores, amplía el alcance de estos resultados hacia mercados incompletos, donde no es posible replicar todos los reclamos, pero sí asegurar una cobertura que minimiza el riesgo de pérdidas.