Die Lemaître–Tolman-(L–T)-Modelle ermöglichen eine radikal andere Sichtweise auf kosmologische Entwicklungen als die standardisierte, homogene Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-(FLRW)-Kosmologie. In den L–T-Modellen wird die Homogenität bewusst aufgegeben, und stattdessen erlaubt man eine sphärisch symmetrische, inhomogene Massenverteilung. Dies führt zu räumlich variabler Dynamik, asymmetrischen Urknall- und Endzeitpunkten sowie einer Reihe neuartiger Phänomene, die in der FLRW-Kosmologie schlichtweg ausgeschlossen sind.

Ein besonders illustratives Beispiel für die Andersartigkeit des L–T-Raumes zeigt sich in der Struktur seiner Raumzeit: Sie kann einen sogenannten „Hals“ besitzen – eine Region, in der die vergangenen und zukünftigen scheinbaren Horizonte sich berühren. In der Nähe dieses Halses sind weder Lichtstrahlen in der Lage, von der einen Seite auf die andere zu gelangen, noch kann eine direkte kausale Verbindung hergestellt werden, obwohl sie in Schwarzschild-Geometrien über den Ereignishorizont hinweg noch denkbar ist. In den L–T-Modellen hingegen bleibt der zukünftige scheinbare Horizont strikt raumartig, da das Modell nicht vakuumartig ist. Dies bedeutet: Jeder Lichtstrahl, der sich dem Horizont nähert, überschreitet ihn augenblicklich und verschwindet im Inneren – ein Verhalten, das jede Kommunikation über den Hals hinweg unmöglich macht. Dieses Phänomen zeigt, dass in L–T-Geometrien selbst die prinzipiellen Kommunikationsmöglichkeiten eingeschränkter sind als in Schwarzschild-Singularitäten.

Ein weiteres bemerkenswertes Modell ist das von Hellaby beschriebene „Perlenkette“-Universum. Hier besteht das gesamte Universum aus einer Folge von rekollabierenden L–T-Bereichen, die jeweils in einem eigenen Big Bang entstehen, durch Hälse miteinander verbunden werden und schließlich in separaten Big Crunches enden. Jeder dieser Bereiche – auch „Blasen“ genannt – entwickelt sich autonom: Die Urknalle setzen nicht gleichzeitig ein, sondern zeitlich versetzt. Erst wenn eine Blase durch einen Hals mit einer benachbarten verbunden wird, endet in ihr der Big Bang. Die Konnektivität des Universums ist also zeitlich dynamisch – ein Konzept, das in der standardisierten Kosmologie keinerlei Entsprechung hat. Besonders bemerkenswert ist, dass dieses Universum keinen zentralen Punkt oder globale Symmetrie besitzt: Die Dynamik ist vollständig lokal bestimmt. In der spezifischen mathematischen Realisierung zeigt sich, dass die Blasen an bestimmten lokalen Extrema der Massen- und Energieprofile entstehen und kollabieren – diese Extrema definieren zugleich die Positionen der Hälse. Die mathematische Konsistenz des Modells setzt voraus, dass dort keine Shell-Crossings auftreten, also keine Überlagerung von Materieschalen.

Neben der Dynamik stellt sich die fundamentale Frage, wie aus beobachtbaren Größen – etwa der rotverschiebungsabhängigen Dichteverteilung – auf die zugrundeliegende räumliche Struktur des Universums geschlossen werden kann. Studien von Partovi & Mashhoon (1984) sowie Kurki-Suonio & Liang (1992) zeigen, dass dieser Rückschluss äußerst unzuverlässig sein kann. Das liegt daran, dass in L–T-Modellen die gemessene Massendichte im Rotverschiebungsraum nicht eindeutig auf die reale, physikalische Massendichte rückführbar ist. Zwar lässt sich die Dichte im z-Raum über Integrale ausdrücken, jedoch hängen die beteiligten Fu

Warum sind Shell-Crossing-Singularitäten im geladenen Ruban-Modell unvermeidlich?

Im Kontext des geladenen Ruban-Modells stellt sich die fundamentale Frage, ob sich die Funktionen X(r)X(r) und Y(r)Y(r) so wählen lassen, dass der Ausdruck eA/2e^{A/2} nirgendwo null wird. Denn ein solches Nullwerden entspricht laut Gleichung (19.104) einer Krümmungssingularität – einer sogenannten Shell-Crossing-Singularität. Die Analyse ergibt jedoch eindeutig: Shell-Crossings sind unvermeidbar.

Der Radius RR oszilliert im Bereich zwischen zwei Werten R−R_- und R+R_+, die durch die Gleichung

R±=M±M2−Q2R_{\pm} = M \pm \sqrt{M^2 - Q^2}

gegeben sind, wobei MM die Masse und QQ die elektrische Ladung der Materieverteilung bezeichnen. An diesen Endpunkten verschwindet der Ausdruck unter der Wurzel in (19.113), womit eA/2e^{A/2} dort jeweils zu einem bestimmten (nicht verschwindenden) Wert wird. Entscheidend ist jedoch, dass diese Werte unterschiedliche Vorzeichen aufweisen:

eA/2∣R=R−=−X(r)M2−Q2,eA/2∣R=R+=+X(r)M2−Q2.\left. e^{A/2} \right|_{R=R_- } = -X(r) \sqrt{M^2 - Q^2}, \quad \left. e^{A/2} \right|_{R=R_+} = +X(r) \sqrt{M^2 - Q^2}.

Das bedeutet, dass der Ausdruck eA/2e^{A/2} zwangsläufig einen Nullpunkt im Intervall (R−,R+)(R_-, R_+) annehmen muss – unabhängig vom Vorzeichen von X(r)X(r). Dieses Nullwerden markiert einen Shell-Crossing. Und da RR bei jeder halben Oszillation durch diesen Bereich verläuft, tritt der Shell-Crossing während jeder halben Periode auf. Die Oszillation des Radius wird also schon vor dem Erreichen des maximalen oder minimalen Radius durch diese Singularität unterbrochen.

Die geometrische Interpretation des Shell-Crossings unterscheidet sich dabei grundlegend von jener in den Modellen von Lemaître–Tolman (L–T) oder Szekeres. Während dort kleinere Sphären innerhalb größerer Sphären liegen und sich beim Kollaps gegenseitig einholen, bewegen sich im Ruban-Modell Zylinderoberflächen mit konstantem rr entlang der Generatoren eines dreidimensionalen Zylinders, der bei konstanter Zeit betrachtet wird. Diese Zylinder pulsieren entlang ihrer Achse (dem RR-Parameter), wobei es zur Kollision der Schalen kommt, noch bevor der maximale oder minimale Wert von RR vollständig erreicht wird.

Kantowski und Sachs hatten diesen Typ Singularität bereits 1966 im Spezialfall Q=Y(r)=0Q = Y(r) = 0 identifiziert. Sie sprachen von zwei Arten von Singularitäten in geschlossenen Modellen: einer, bei der sich der Zylinder zu einer Scheibe zusammenzieht, und einer anderen, bei der er sich zu einer Linie kontrahiert. Der hier betrachtete Shell-Crossing entspricht der erstgenannten – dem Zusammenquetschen zu einer Scheibe.

Eine hypothetische Möglichkeit zur Vermeidung dieser Singularität wäre die Einführung eines Druckgradienten in rr-Richtung. Solche Lösungen mit nichtverschwindendem Druckgradienten sind allerdings bislang unbekannt. Unter der Annahme, dass der Druck und dessen Gradient an der Oberfläche der geladenen Materiekugel null sind, folgt die Oberfläche einer zeitartigen Geodäte im Reissner–Nordström-Raum.

Wird die elektrische Ladung QQ auf null gesetzt, reduziert sich das Modell auf die neutrale Datt–Ruban-Staublösung. In diesem Fall zeigen die Gleichungen, dass RR zyklisch zwischen null und 2M2M oszilliert, wobei der Anfangs- und Endpunkt jeweils eine Big-Bang- bzw. Big-Crunch-Singularität darstellt. Entscheidend ist hier jedoch, dass bei geeigneter Wahl der Funktionen X(r)X(r) und Y(r)Y(r) die Bedingung F(t,r)>0\mathcal{F}(t, r) > 0 über den gesamten Zyklus hinweg erfüllt bleibt. Dies verhindert Shell-Crossings vollständig.

Der Übergang vom geladenen zum ungeladenen Fall ist dabei nicht kontinuierlich: Die Existenz von Shell-Crossings im einen und deren völlige Abwesenheit im anderen deutet auf einen fundamentalen Bruch in der Struktur des Modells hin. Auch in der Reissner–Nordström–Schwarzschild-Grenzübergang ist eine solche Diskontinuität bemerkbar.

In der ungeladenen Variante divergiert eA/2e^{A/2} an beiden Singularitäten – das bedeutet, dass der Raum in rr-Richtung eine unendliche Ausdehnung erreicht. Durch sorgfältige Wahl von X(r)X(r) und Y(r)Y(r), insbesondere unter der Bedingung 0<Y(r)<π2X(r)0 < Y(r) < \frac{\pi}{2} X(r), bleibt die Funktion F\mathcal{F} durchgängig positiv. Dadurch kann die Oszillation von RR ohne Auftreten einer Singularität im Innern des Modells stattfinden. Dieses Resultat unterstreicht die tiefgreifende Rolle der elektrischen Ladung bei der Struktur von Singularitäten und deren Vermeidbarkeit.

Die Tatsache, dass der unaufgeladene Fall keine Shell-Crossings aufweist, zeigt klar, dass ihre Existenz keine universelle Notwendigkeit ist, sondern dynamisch bedingt durch die physikalischen Parameter des Modells – in diesem Fall die elektrische Ladung. Es ist daher nicht nur ein mathematisches, sondern ein physikalisches Problem.

Zu beachten ist, dass die hier beschriebenen Singularitäten nicht mit den bekannten Zentralsingularitäten zu verwechseln sind, sondern dynamischer Natur sind, d.h. sie entstehen aus der Eigenentwicklung der Materiekonfiguration. Ihre Unvermeidbarkeit im geladenen Fall legt nahe, dass entweder eine neue Klasse von Lösungen mit Druck nötig wäre oder dass die physikalische Relevanz solcher Modelle begrenzt bleibt, wenn man realistische Sternentwicklungen modellieren will.

Was ist eine Geodätische Linie in einem Mannigfaltigkeitsraum mit affiner Verbindung?

Eine geodätische Linie ist die natürlichste Verallgemeinerung des Begriffs der Geraden auf beliebige differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit affiner Verbindung. Ihre Definition entspringt nicht einer metrischen Struktur, sondern allein dem Konzept des parallelen Transports. Die fundamentale Eigenschaft einer geodätischen Linie besteht darin, dass ihr Tangentialvektor beim parallelen Transport entlang der Linie kollinear zu sich selbst bleibt. Formal bedeutet das: Wenn vα=dxαdτv^\alpha = \frac{dx^\alpha}{d\tau} der Tangentialvektor an eine Kurve GG ist, so bleibt er nach parallelem Transport von einem Punkt xα(τ0)∈Gx^\alpha(\tau_0) \in G zu einem anderen Punkt xα(τ)∈Gx^\alpha(\tau) \in G proportional zu vα(τ)v^\alpha(\tau).

Diese Eigenschaft lässt sich mathematisch als Differentialgleichung zweiter Ordnung formulieren. Führt man die affine Verbindung über die Christoffelsymbole Γσρα\Gamma^\alpha_{\sigma\rho} ein, ergibt sich die geodätische Gleichung in der Form:

d2xαds2+Γσρα(x(s))dxσdsdxρds=0.\frac{d^2x^\alpha}{ds^2} + \Gamma^\alpha_{\sigma\rho}(x(s)) \frac{dx^\sigma}{ds} \frac{dx^\rho}{ds} = 0.

Diese Gleichung ist invariante Darstellung der Bedingung, dass der Tangentialvektor dxαds\frac{dx^\alpha}{ds} unter parallelem Transport konstant bleibt, sofern der Kurvenparameter ss ein sogenannter affiner Parameter ist. Der affine Parameter ist durch eine Normierung des ursprünglichen Parameters τ\tau gegeben, bei der eine Skalenfunktion λ(τ)≠0\lambda(\tau) \neq 0 für alle τ\tau eingesetzt wird. Der affine Parameter ist nur bis auf eine lineare Transformation s′=as+bs' = as + b bestimmt, wobei aa und bb Konstanten sind.

Diese Gleichung besitzt eine tiefgehende Bedeutung: Für jeden Punkt einer Mannigfaltigkeit mit affiner Verbindung und jeden dort gegebenen Tangentialvektor existiert exakt eine geodätische Linie, die diesen Punkt durchläuft und in die gegebene Richtung verläuft. Die Existenz folgt aus dem Satz über Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Allerdings ist die Eindeutigkeit der Verbindung zweier Punkte durch eine einzige geodätische Linie nicht immer gewährleistet. In nicht-zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten – wie etwa einem zweischaligen Hyperboloid – existiert möglicherweise gar keine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten. Umgekehrt kann es – wie auf der Oberfläche eines Zylinders – unendlich viele verschiedene geodätische Linien geben, die dieselben zwei Punkte verbinden: Gerade Linien, Kreislinien oder Schraublinien.

Von besonderer Bedeutung ist, dass nur der symmetrische Teil der affinen Verbindung – also die torsionsfreie Komponente – zur geodätischen Gleichung beiträgt. Dies verdeutlicht, dass die Torsion keinen Einfluss auf die Geodäten im engeren Sinne hat, sondern auf andere Aspekte des geometrischen Aufbaus einer Mannigfaltigkeit wirkt, etwa auf den nichtkommutativen Charakter des parallelen Transports.

Neben der Differentialformulierung der Geodäten ist es entscheidend zu erkennen, dass diese Linien nicht durch externe Forderungen (wie Minimierung der Länge) definiert sind, sondern ausschließlich durch interne, differenzialgeometrische Strukturen der Mannigfaltigkeit, insbesondere die affine Verbindung. In riemannschen Mannigfaltigkeiten stimmen Geodäten mit den Kurven minimaler Länge überein, doch in allgemeinen affinen Mannigfaltigkeiten ohne Metrik ist diese Interpretation nicht zulässig.

Ein weiterer zentraler Aspekt liegt in der Analyse des Paralleltransports selbst. Die Forderung, dass ein Vektor entlang einer Kurve parallel transportiert wird, führt zur Definition der kovarianten Ableitung. Diese ist jedoch nicht vertauschbar: Die Anwendung zweier kovarianter Ableitungen auf ein Tensorfeld hängt im Allgemeinen von der Reihenfolge ab. Dies führt zum Begriff des Krümmungstensors, der die Nichtkommutativität in präziser Form misst. Der Krümmungstensor ist durch Kombination der Christoffelsymbole und ihrer partiellen Ableitungen definiert und bildet das zentrale Maß für die lokale Geometrie der Mannigfaltigkeit. Seine Definition ergibt sich aus dem Kommutator zweier kovarianter Ableitungen und ist durch die Gleichung

[∇δ,∇γ]Tα=−B ργδαTρ−2Ω γδσT ∣σα[\nabla_\delta, \nabla_\gamma] T^\alpha = -B^\alpha_{\ \rho\gamma\delta} T^\rho - 2\Omega^\sigma_{\ \gamma\delta} T^\alpha_{\ |\sigma}

gegeben. Dabei bezeichnet B ργδαB^\alpha_{\ \rho\gamma\delta} den Krümmungstensor und Ω γδσ\Omega^\sigma_{\ \gamma\delta} das Torsionstensorfeld.

Die Tatsache, dass der Krümmungstensor ein Tensor ist, obwohl er aus nicht-tensorialen Größen wie den Christoffelsymbolen gebildet wird, folgt aus der Te

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