Hvordan beskriver toroidale og uendelige modeller dannelsen af strukturer i universet?

Lad os analysere denne situation nærmere. Den Newtonske Lagrangian indeholder kinetisk energi, og i speciel relativitet skal kinetisk energi være en del af den samlede energi, som kan beskrives ved udtrykket $mc^2 / \sqrt{1 - (v/c)^2}$, hvor $v$ er hastigheden af et objekt, og $c$ er lysets hastighed. Dette betyder, at konstanten C2 i Lagrangianen skal kompensere for den hvileenergi, der er indeholdt i C1ℒ, så summen af $C1ℒ + C2$ kun indeholder den kinetiske energi. For at bestemme den eksakte form af C2, ser vi på den relativistiske energi og antager, at C2 har formen $\beta mc^2$, hvor $\beta$ kan være +1 eller -1, og tegnet for $\beta$ bestemmes senere.

For at forstå grænserne af Einstein's feltligninger i den Newtonske grænse, er det vigtigt at bemærke, at når $c \to \infty$, bliver feltekvationerne på højre side meget svagere, og vi får udtryk som den klassiske Poisson-ligning for gravitationen. Dette betyder, at Newtons gravitationsteori opstår som en svag feltbegrænsning af Einsteins generelle relativitetsteori. Derfor skal man være opmærksom på, at i svage gravitationsfelter og høje hastigheder, kan den relativistiske teori reducere sig til den Newtonske teori, og de to teorier vil overensstemme i sådanne grænser.

Derfor er det nødvendigt at forstå, at den klassiske Newtonske gravitation ikke er en komplet teori, men kun en nærme for relativitetsteorien under visse betingelser. Når gravitationsfeltet er svagt og hastighederne er lave, vil Newtons gravitationsteori give præcise resultater, men for stærke gravitationsfelter eller høje hastigheder, må den generelle relativitetsteori anvendes.

Ved at analysere hvordan energi- og momentumtensoren $T_{\alpha\beta}$ opfører sig under relativistiske forhold, ser vi, at i den Newtonske grænse bliver den relativistiske masse-energi tæthed $\rho c^2$ den dominerende term, mens de krydsede energistrømskomponenter $T_{0I}$ bliver mindre. Denne forståelse gør det muligt at matche Einsteins gravitationsligninger med de klassiske Newtonske ligninger i et passende fysisk scenarie.

Det er nødvendigt at forstå, at overgangen fra den relativistiske til den Newtonske teori ikke er en simpel grænseværdi, men snarere en overgang, hvor de relativistiske korrektioner gradvist bliver mindre i et svagt gravitationsfelt og lavhastighedsgrænse. Dette betyder, at relativistiske effekter som tidsforvrængning og gravitationel lysbøjning kun bliver mærkbare under ekstremt stærke gravitationsfelter, som de, der findes tæt på sorte huller eller neutronstjerner.

Hvordan relativistisk perihelionskredsløb påvirker planeternes baner

I astrofysik er studiet af planetariske baner under påvirkning af gravitation en central opgave, særligt når relativistiske effekter ikke kan negligeres. En sådan effekt, som blev predikeret af Albert Einstein i 1915, er relativistisk perihelionskredsløb, et fænomen hvor perihelium, den punkt hvor en planet er tættest på solen, bevæger sig langs dens bane. Denne forskydning er minimal, men den er stadig målbar og blev et af de første empiriske beviser på relativitetsteorien.

For at forstå relativistiske ændringer i en planets bane, starter man med den klassiske Kepler-orbit, som beskriver en planet, der bevæger sig i en ellipse med solen i et af brændpunkterne. I det klassiske tilfælde er banen stabil, og perihelium er konstant. Men i et relativistisk perspektiv, hvor gravitationen ikke længere betragtes som en simpel kraft mellem to masser, men som en krumning af rumtiden, bliver banen påvirket af de mere subtile effekter af generel relativitet.

En af de mest mærkbare ændringer sker ved den langsomme forskydning af perihelium. Denne forskydning kan udtrykkes som en funktion af planetens baneparameter, dens excentricitet og masseforholdet mellem solen og planeten. I første orden af approximation, hvor man ignorerer højere ordens termer, kan banens ændringer beregnes med den såkaldte perihelion shift-formel, som viser, hvordan planetens perihelion forskydes efter hver revolution.

Den klassiske formel for denne perihelion forskydning, som først blev foreslået af Einstein, er givet ved:

Her er $\alpha$ en konstant relateret til gravitationen, $p$ er den semi-lange akse af den elliptiske bane, og $\Delta \phi$ er den angulære forskydning af perihelionen. Denne forskydning skyldes primært gravitationelle interaktioner og kan i små baner, som Mercurys, være målbar over tid. For Merkur er forskydningen cirka 43.03 buesekunder per århundrede, en effekt der er direkte forbundet med relativistisk gravitation.

Relativistiske korrektioner kan ikke ignoreres i sådanne tilfælde, især når planeter som Merkur, der har en betydelig excentricitet, undersøges. Merkur giver de bedste forhold for at observere dette fænomen, da dens perihelion forskydning er stor nok til at blive målbar over tid. Denne effekt blev oprindeligt observeret i det 19. århundrede, hvor den blev betragtet som et mysterium for Newtons gravitationsteori. Det var først senere, at Einstein kunne forklare denne forskydning ved hjælp af sin generelle relativitetsteori.

Men det er ikke kun den klassiske teori, der må tages i betragtning. Selv i relativistiske beregninger skal der tages højde for små, men vigtige, korrektioner som følger af orbital perturbation fra andre planeter, stjernes rotation og endda variationer i den centrale solens form. I praksis bliver sådanne små forstyrrelser håndteret ved hjælp af numeriske metoder, hvor præcise beregninger af orbitaldynamik bliver nødvendige for at få de præcise forskydninger af perihelionen.

For at præcisere og forbedre målingerne af planetariske baner, skal der derfor tages højde for de geocentriske effekter, fordi observationerne altid er udført fra Jorden, ikke fra et neutralt referencested i rummet. Denne geocentriske effekt er den største komponent af perihelion forskydningen og kan udgøre en væsentlig fejlkilde, hvis den ikke korrigeres.

Desuden er det nødvendigt at understrege, at relativistiske beregninger, som de der findes i den aktuelle beskrivelse, kræver meget præcise målinger af parameterne. For eksempel er masse og afstande mellem solen og planeterne kritiske for at bestemme den nøjagtige perihelion shift. Det er derfor ikke overraskende, at der vil være små variationer i resultaterne afhængigt af den præcision, der anvendes i de numeriske metoder.

Det er væsentligt at forstå, at de relativistiske forskydninger ikke kun afspejler en simpel fysisk effekt, men snarere et dybtgående forhold mellem masse, rumtiden og bevægelse. Denne relativistiske virkning på planetariske baner er en vigtig påmindelse om, at universet ikke er et simpelt system, men et kompleks af gravitationelle interaktioner, hvor relativistiske effekter altid spiller en rolle, når man bevæger sig tættere på store masser eller meget stærke gravitationelle felter.

Hvordan relativistisk hydrodynamik beskriver ændringer i et kontinuum

Lad os først se på en grundlæggende definition af et vektorfelt $B^\alpha$. Komponenten $B^\alpha_{\perp}$ af dette vektorfelt langs en retning, der er ortogonal på et givet flødvektor $u^\alpha$, beskrives ved $B^\alpha_{\perp} = h^{\beta} B_\beta$, hvor $h_{\alpha\beta}$ er den projektion, der beskriver den hypereflade, der er ortogonal på $u^\alpha$. Denne projektion gør det muligt at isolere komponenter af vektorer, der kun er relevante i den hypereflade, der er ortogonal på flowet.

I et relativistisk system kan vi vælge et koordinatsystem, hvor $u'^\alpha = \delta^\alpha_0$, hvilket forenkler vores ligninger. I et sådant system er vektorer ortogonale på flowet, hvilket gør det muligt at definere parametre som $\delta^\perp x^\alpha$, der beskriver de ændringer, der er ortogonale på den oprindelige verdenslinje $P$. Dette fører os til det vigtige begreb om samtidighed i relativistisk hydrodynamik. Når en partikel er placeret på en bestemt position $P_0$ i rumtiden, kan vi bruge $\delta^\perp x^\alpha$ til at bestemme, hvor den er placeret i forhold til et andet punkt $Q_0$ i systemet. Denne relation bruges til at definere partiklernes hastigheder og positioner i en relativistisk ramme.

For at kunne analysere disse ændringer i hastighederne og positionerne mere præcist, er det nødvendigt at anvende en Taylor-udvikling af vektoren $u^\alpha(x^\beta)$ for at få de nødvendige tilnærmelser. Den resulterende ligning, der beskriver ændringerne i hastigheden, tager højde for både acceleration og shear, som bestemmer, hvordan de relaterede vektorer ændrer sig over tid. Denne formulering giver os udtryk for, hvordan vektorens ændringer afhænger af både den lokale geometri og de hastigheder, der er til stede i systemet.

En vigtig bemærkning er, at i det relativistiske tilfælde er rotationen og skærspændingen beskrivet af tensorer, som ikke nødvendigvis har en direkte modpart i klassisk hydrodynamik. Dette betyder, at vi må være opmærksomme på, hvordan disse relativistiske effekter adskiller sig fra de Newtonske modeller, især i områder med høj hastighed eller stærk gravitation, hvor relativistiske effekter bliver dominerende. For eksempel er de relaterede kvantiteter som $\theta$, $\omega_{\alpha\beta}$, og $\sigma_{\alpha\beta}$ nødvendige for at forstå, hvordan mediet udvider sig, roterer og skifter form under relativistisk hastighed.