I kvantemekaniske beregninger er det vigtigt at forstå, hvordan spin spiller en rolle i beskrivelsen af elektronernes adfærd. Det er en grundlæggende overvejelse i mange kvantemekaniske metoder, herunder de, der benytter Quantum Monte Carlo (QMC) teknikker. Men ikke alle QMC-artikler omtaler spin, og i visse tilfælde kan det være passende at anvende en spin-fri formulering.

En spin-fri formulering kan være nyttig, hvis spin-effekterne er ubetydelige for det pågældende system og de fysiske egenskaber, der undersøges. Denne tilgang kan reducere de beregningsmæssige omkostninger og gøre beregningerne mere håndterbare, hvilket er en vigtig fordel i mange kvantemekaniske simuleringer. Dog, hvis spin har en signifikant indflydelse på systemets opførsel, vil en spin-fri metode ikke være tilstrækkelig, og det bliver nødvendigt at inkludere spin-effekter i behandlingen af systemet.

Når vi ser på den multielektroniske bølgefunktion, bliver det hurtigt klart, at antisymmetri i en bølgefunktion, Ψ(x), som omfatter både rumlige og spin-komponenter, kan udtrykkes med Slater-determinanter af spin-orbitaler. Disse determinanter bruges til at beskrive den kvantemekaniske tilstand af systemet, hvor spin-opadgående og spin-nedadgående elektroner organiseres i separate determinanter, D↑(x↑) og D↓(x↓). Disse determinanter er en måde at håndtere elektronernes udveksling og antisymmetri, som er fundamentalt i kvantefysik, hvor fermioner, som elektroner, overholder Paulis udelukkelsesprincip.

Slater-determinanten for spin-opadgående elektroner, D↑(x↑), kan defineres som en determinant af rumlige enkeltpartikel-orbitaler, hvor hver elektron er i en specifik orbital. Dette kan skrives som en matrix, hvor elementerne repræsenterer de forskellige orbitaler for elektronerne i systemet. Denne notation varierer, men grundideen forbliver den samme: at sikre at hver elektron i systemet er korrekt beskrevet i forhold til sin position og spin.

En grundlæggende bølgefunktion, der tager højde for Paulis udelukkelsesprincip, kan skrives som et produkt af to Slater-determinanter, en for spin-opadgående og en for spin-nedadgående elektroner. Denne funktion, D↑(x↑)D↓(x↓), tager højde for elektronernes grundlæggende eksklusionsprincip, men den repræsenterer ikke de korrelationer, der opstår på grund af elektronernes indbyrdes interaktion. For at få en mere præcis beskrivelse af systemet, især når elektronernes positioner er korrelerede, er det nødvendigt at inkludere en Jastrow-faktor. Jastrow-faktoren er en matematisk funktion, der beskytter systemet mod de urealistiske, konstante udelukkelsesbetingelser og samtidig minimerer beregningsvariansen i simuleringen.

Jastrow-faktoren kan bruges til at forbedre den oprindelige Slater-determinant ved at tage højde for topartikelkorrelationer, som elektronernes indbyrdes tiltrækning og frastødning. Dog er det vigtigt at bemærke, at Jastrow-faktoren ikke nødvendigvis dækker alle nødvendige korrelationer, især i systemer med stærkt korrelerede elektroner eller kvantemæssig sammenfiltring. For disse systemer kan det være nødvendigt at udvide bølgefunktionen yderligere til at inkludere højere ordens korrelationer, såsom trepartikel- eller multiparticle-interaktioner.

En naturlig videreudvikling af bølgefunktionen er den multideterminant bølgefunktion, som er en lineær kombination af flere Slater-determinanter, hvor hver determinant svarer til en anden elektronkonfiguration. Denne tilgang til at beskrive systemet er relateret til det, der kaldes konfiguration-interaktion (CI), hvor flere elektroniske konfigurationer tages i betragtning. Det giver en mere fleksibel og præcis beskrivelse af systemet, da det tillader, at elektroner kan eksitere mellem forskellige orbitaler, hvilket gør det muligt at fange nogle af de mere komplekse korrelationer, der kan opstå i stærkt interagerende systemer.

For at bygge den multideterminant bølgefunktion kan man starte med at vælge en grundtilstand, D↑₀, hvor elektronerne er i de laveste energiorbitaler. Herefter kan man konstruere andre determinanter, D↑₁, D↑₂ osv., hvor elektronkonfigurationerne er anderledes, for eksempel ved at "eksitere" en elektron fra én orbital til en anden. Denne proces kan fortsætte ved at tage lineære kombinationer af disse determinanter og opnå en endnu mere præcis beskrivelse af systemet.

Den multideterminant bølgefunktion er især nyttig, når man beskæftiger sig med systemer, hvor elektronernes konfigurationer ikke kan reduceres til en enkelt determinant. Den giver mulighed for at modellere flere elektroninteraktioner og dermed få en mere nøjagtig simulering af systemer med stærke elektronkorrelationer.

Når man arbejder med disse metoder, er det dog vigtigt at være opmærksom på, at der er mange måder at organisere orbitalerne på, og at valget af orbitaler kan have stor betydning for beregningens præcision og kompleksitet. Desuden kan valget af orbitaler i høj grad påvirke den fysiske fortolkning af systemet, så det er afgørende at vælge de orbitaler, der bedst beskriver de relevante fysiske egenskaber, der undersøges.

I sidste ende skal det understreges, at der ikke er en universel tilgang, der kan bruges til alle kvantemekaniske systemer. Hver metode, fra spin-fri til multideterminant bølgefunktioner, har sine egne styrker og begrænsninger, og det er nødvendigt at vælge den rette fremgangsmåde afhængigt af systemets specifikationer og de ønskede resultater.

Hvordan beregner man partitionfunktioner og faser i kvante Monte Carlo simulationer?

I den nyere litteratur har Barghathi, Yu og del Maestro [46] udviklet et generelt rammeværk, der kan anvendes på tilfælde med degenererede energiniveauer, og som kan anvendes til at beregne størrelser som specifik varme og magnetisk susceptibilitet. Ikke-interagerende bosoner og fermioner i den kanoniske ensemble er et relevant grænsetilfælde i eksperimenter med lavdensitets atomgasser, hvor antallet af partikler er fastlagt på forhånd. En vigtig bemærkning er, at rekursionsrelationen også giver indsigt i fasedelegeringer i endelige systemer.

Den store kanoniske partitionfunktion, givet ved ligning (5.97), og gentaget her:

Z=∑e−bENZN=∑zNZN,Z = \sum e^{ -bE_N}Z_N = \sum z^N Z_N,

viser at ZZ er et polynomium i fugacitet zz. Yang og Lee [47] viste, at den store kanoniske partitionfunktion kan skrives som en funktion af dens nuller i den komplekse fugacitet plan, og at fasedelegeringer opstår, når disse såkaldte Lee-Yang nuller akkumulerer og krydser den reelle akse i det termodynamiske grænse. Fisher [48] bemærkede, at en tilsvarende logik kan anvendes på den kanoniske partitionfunktion, som kun er en funktion af bb. Ved at studere ZN(b)Z_N(b) for komplekse bb, kan man finde ud af, hvor singulariteterne i partitionfunktionen opstår, når N→∞N \to \infty. De såkaldte Fisher-nullpunkter ligger i den komplekse plan væk fra den reelle bb-akse, men når NN øges, kommer nullerne tættere på den reelle akse.

I kølvandet på eksperimenterne med Bose-Einstein-kondensat af fangede bosoner i begyndelsen af 2000'erne, viste Mülken et al. [49], at fasedelegeringer i makroskopiske systemer kan identificeres ud fra egenskaberne af fordelingen af nullerne af ZNZ_N.

For eksempel, hvorfor er dette Z3Z_3 det korrekte resultat?

En detaljeret udledning af de første termer i Z3Z_3 afslører en kompleks sum, som tager højde for de forskellige permuteringer af de tilstande, der ikke overtræder Pauli's eksklusionsprincip. Dette kræver subtile justeringer, hvor man subtraherer og tilføjer termer for at undgå dobbeltoptælling. Når man arbejder med fermioner, er der dog numeriske vanskeligheder, da der opstår næsten perfekt aflysning af termer, hvilket gør det svært at beregne deres samlede sum.

Matematisk er rekursionsformlen præcis, og der er ingen tilfældighed eller statistisk usikkerhed. Derfor burde beregningen af for eksempel Z100Z_{100} være relativt ligetil. Men for fermioner opstår der betydelige vanskeligheder, især ved lave temperaturer, hvor de tre termer i Z3Z_3 næsten ophæves fuldstændigt. Dette fører til numeriske problemer, som vi snart vil se i detalje.

Selvom den ene-particles partitionfunktion Z1(b)Z_1(b) er den samme for både bosoner og fermioner, afhænger partikelstatistikken af de enkelte partikelters tegn. I en 3D-harmonisk potentiel mw2r2mw^2r^2, har man:

Z1(b)=(2sinh⁡(ℏwb)).Z_1(b) = \left( 2 \sinh(\hbar wb) \right).

Fermioner med ZNZ_N bliver numerisk problematiske ved lave temperaturer, hvilket resulterer i en fysisk umulig negativ partitionfunktion. Dette fænomen kan forklares ved den komplekse aflysning af termer. For eksempel, ved temperaturer omkring T=0.01T = 0.01, vil de tre termer i Z3Z_3 være på ordren af 10−19610^{ -196}, og deres samlede sum kan ende med at være af ordren 10−28210^{ -282}, hvor omkring 85 decimaler ophæves perfekt. Det er som om signalet er til stede, men dybt skjult i baggrunden.

I nogle tilfælde opstår et stort antal betydelige tal, som ophæves ved lave temperaturer og høje værdier af NN. Denne effekt bliver mere udtalt med større systemer og længere tidsskalaer.

For at håndtere fermioner i sådanne beregninger er der blevet udviklet forskellige metoder, som f.eks. den begrænsede PIMC (RPIMC), der har været en af de ældste metoder til at undgå nodeoverskridelse ved at anvende en trial density matrix og forhindrer, at partikelbanerne krydser nodale flader. Selv om denne metode er effektiv ved høj temperatur, er den ikke helt præcis i høje densiteter. En anden metode, Direct PIMC (DPIMC), er mere præcis men ekstremt beregningstung.

Derudover er der Permutation Blocking PIMC (PB-PIMC), som benytter antisymmetriske høj-temperatur densitetsmatricer for små partikelgrupper, og som er en formelt korrekt metode uden nodeapproximation.

Endelig anbefales det, at man tester PIMC-koden i et system, som man kan løse eksakt for både skelnelige partikler og bosoner, som for eksempel en 1D harmonisk oscillator med to ikke-interagerende partikler. På denne måde kan man hurtigt validere koden og sikre, at beregningerne er korrekte ved lave temperaturer.

For mere komplekse systemer kan PIMC-koden testes med 3D-gasser af ikke-interagerende partikler, som hjælper med at vurdere nøjagtigheden og stabiliteten i systemer, hvor periodiske randbetingelser (PBC) anvendes.

Hvordan Monte Carlo-metoden løser kvantemekaniske problemer

Når man arbejder med kvantemekanik, bliver beregninger hurtigt umulige at gennemføre med præcise analytiske metoder, især når systemer bliver komplekse. Det er her, Monte Carlo-metoden (QMC) kommer ind i billedet som en uvurderlig værktøj til at beregne kvantemekaniske systemer, der ikke kan løses eksakt. Denne metode tillader os at håndtere systemer med mange partikler og deres kompleksitet, som ellers ville være uoverskuelige ved hjælp af traditionelle teknikker.

I et system med fermioner og bosoner, som beskrives af Hamiltonianen H^=−∇22m+V(x)\hat{H} = - \frac{\nabla^2}{2m} + V(x), er energien af fermioners grundtilstand altid højere end bosonens grundtilstand. Dette betyder, at fermionenergien skal optimeres inden for et begrænset funktionelt rum, så systemet ikke "falder" ned i den lavere energi, som bosonernes grundtilstand repræsenterer. Denne ekstra kompleksitet gør det vanskeligere at bruge QMC til at løse fermionsystemer.

Monte Carlo-metoden og dens anvendelse

De fleste, der har beskæftiget sig med kvantemekanik, har løst problemer som hydrogenatomet og partikel-i-boks-eksperimentet ved hjælp af papir og blyant. Disse er analytisk løselige, men sådanne systemer er sjældne i den virkelige verden. I praksis kan analytiske løsninger ikke findes for de fleste systemer, eller de er for komplekse til at give praktisk værdi. Problemet ligger i, at i den kvantemekaniske verden er partikelpositioner kun sandsynligheder. Når antallet af partikler øges, stiger antallet af mulige konfigurationer dramatisk – dette fænomen kaldes "dimensionalitetsforbandelsen".

Dimensionalitetsforbandelsen forhindrer en systematisk evaluering af integraler. For at give et billede af omfanget, hvis man diskretiserer koordinater med kun ti punkter i hver retning, og en computer kan evaluere integranden for 10710^7 punkter pr. sekund, vil en integration for blot tyve partikler i tre dimensioner tage ca. 104510^{45} år at gennemføre – en uoverskuelig tidsramme, som gør traditionelle metoder ubrugelige.

Her kommer Monte Carlo-metoden ind i billedet. I stedet for at vælge punkter systematisk, som traditionelle metoder kræver, vælger Monte Carlo metoden tilfældige punkter. Denne tilfældige sampling giver en praktisk måde at håndtere de enorme mængder data på og muliggør løsningen af komplekse kvantemekaniske problemer.

Beregning af integraler med Monte Carlo

Monte Carlo-metoden fungerer ved at approximere et integral ved at tage gennemsnittet af funktionens værdier på tilfældigt valgte punkter. For et et-dimensionelt integral kan dette skrives som:

∫01f(x) dx≈1N∑i=1Nf(xi)\int_0^1 f(x) \, dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(x_i)

hvor xix_i er tilfældigt valgte punkter. Denne metode er især effektiv, når integranden er konstant eller næsten konstant, hvilket gør Monte Carlo-beregninger nøjagtige. Hvis integranden indeholder en vægtfunktion P(x)P(x), kan integralet evalueres ved at inkludere denne funktion i Monte Carlo-formlen:

∫01P(x)f(x) dx≈1N∑i=1NP(xi)f(xi)\int_0^1 P(x) f(x) \, dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} P(x_i) f(x_i)

Denne formel kan anvendes til at evaluere et vægtet gennemsnit af integranden, hvilket er grundlæggende for at håndtere kvantemekaniske systemer, hvor sandsynligheder spiller en rolle.

Hvorfor Monte Carlo?

Problemet med dimensionalitetsforbandelsen kan overvindes ved hjælp af Monte Carlo-metoden, som ikke er påvirket af dimensionaliteten på samme måde som traditionelle metoder. For eksempel, hvis man bruger trapezreglen til at evaluere et integral i én dimension, kan fejlens størrelse formindskes hurtigt, da fejlreduktionen er proportional med 1/N21/N^2. Men i højere dimensioner bliver denne metode ineffektiv. I tre dimensioner ville evalueringen af et integral på et gitter med jævnt fordelte punkter kræve en enorm mængde beregningstid og datalagring. Monte Carlo-metoden derimod konvergerer langsomt, men stabilt, og fejlreduktionen sker efter en 1/N1/\sqrt{N}-hastighed. Dette gør Monte Carlo-metoden særligt effektiv for systemer i fire eller flere dimensioner.

Kvantemekaniske integraler og energiudregning

I kvantemekanik er forventningsværdier for fysiske størrelser som energi givet ved multidimensionelle integraler, hvor integranden afhænger af partikelpositionerne. For et kvantemekanisk system, hvor tilstanden er repræsenteret ved en bølgefunktion Ψ(x)\Psi(x), kan energien EE beregnes som:

E=⟨Ψ(x)∣H^∣Ψ(x)⟩⟨Ψ(x)∣Ψ(x)⟩E = \frac{\langle \Psi(x) | \hat{H} | \Psi(x) \rangle}{\langle \Psi(x) | \Psi(x) \rangle}

Dette kan skrives som et integral over alle positioner xx, hvor energien af systemet er en funktion af positionerne xx. For at beregne denne energi ved hjælp af Monte Carlo-metoden, kan man bruge en lokal energifunktion EL(x)E_L(x), som varierer med positionen:

E=1N∑i=1NEL(xi)E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} E_L(x_i)

hvor xix_i er tilfældigt valgte punkter fra den sandsynlighedsfordeling, der er givet af ∣Ψ(x)∣2|\Psi(x)|^2. Denne tilgang gør det muligt at beregne energien for kvantemekaniske systemer uden at skulle løse den Schrödingerske ligning direkte, hvilket ofte ikke er muligt analytisk.

Praktisk anvendelse

QMC-metoden er derfor et centralt værktøj til at håndtere kvantemekaniske problemer, især i situationer hvor traditionelle metoder er ubrugelige. Den giver en måde at arbejde med systemer af stor kompleksitet, hvor partikler interagerer på ikke-trivielle måder. Samtidig understøttes QMC af moderne computere, som gør det muligt at udføre disse beregninger hurtigt og effektivt, selv for systemer med mange partikler.

Hvordan afslutningen på Anden Verdenskrig forandrede livet for dem, der ventede
Hvordan skaber man genanvendelige HTML-elementer i React?
Hvordan finder man vej og navigerer i en fremmed by?
Hvordan kan man kommunikere effektivt på arabisk i lægesituationer og hospitaler?
Hvordan En Nysgerrig Holdning Kan Åbne Døre i Erhvervslivet
Hvad skete der med sorte journalister efter Trumps valg?