I Lemaître-Tolman (L-T) rumtider kan lysets bane og bevægelse være præget af mere komplekse forhold end i mere enkle modeller som den radiale geodesiske bevægelse. Det er muligt, at en null-geodesik kan have dr/dλ = 0 på isolerede punkter, hvilket betyder, at det ikke er muligt at beskrive r som en affinitet parameter for hele geodesikken, medmindre der er et punkt, hvor dr/dλ ̸= 0. Dette er særlig interessant, når man betragter to ikke-radiale lysstråler, der udsendes fra samme kilde på forskellige tidspunkter og møder en observer i L-T rumtiden.

Antag, at den første lysstråle har trajektorien (t, ϑ, φ) = (T(r), Θ(r), Φ(r)), hvor T(r), Θ(r) og Φ(r) beskriver tid, zenithvinkel og azimuthal vinkel som funktion af r. Når den anden stråle udsendes fra den samme kilde med en forsinkelse på τ(r), vil dens trajektorie ikke nødvendigvis følge de samme værdier af Θ og Φ. Den anden stråle vil derfor blive beskrevet af (t, ϑ, φ) = (T(r) + τ(r), Θ(r) + ζ(r), Φ(r) + ψ(r)), hvilket betyder, at den ikke nødvendigvis vil følge den samme rute som den første stråle. Denne forskel skaber et fænomen, hvor lysstrålen, selvom den krydser samme hyperflade r = r0, ikke vil gøre det på samme sted, men i en anden komoving position. Resultatet er, at den observerede lysstråle ankommer fra en anderledes retning i himlen, hvilket betyder, at den observerede drift af lysstråler kan give spor om den underliggende rumtidens inhomogeniteter.

Når man observerer drift i L-T rumtider, er det vigtigt at bemærke, at denne effekt kun forsvinder i de radiale retninger. For alle andre retninger vil der opstå en form for "drift", der afhænger af geometrien af den underliggende rumtid. For at undersøge denne drift kan man simulere geodesiske baner i rumtiden og observere, hvordan lysstråler udsendt på forskellige tidspunkter interagerer med materien i rumtiden. For eksempel er det muligt at simulere, hvordan stråler, der rejser gennem et område med lav densitet som et "void", vil blive afbøjet og ændre deres bane, hvilket kan give et indtryk af, hvordan lyset observeres anderledes over tid.

Et vigtigt aspekt ved at studere denne drift er at bemærke, at det potentielt kan være et mål for at identificere inhomogeniteter i universet på meget store skalaer. Hvis det lykkes at observere en sådan drift med tilstrækkelig præcision, vil det kunne give direkte beviser for, at universet ikke er perfekt homogent, hvilket i sig selv er en stor opdagelse. De nuværende observationsinstrumenter som GAIA-missionen, som har den nødvendige præcision til at opdage sådanne effekter, kan måske i fremtiden bidrage til at afsløre sådanne relativistiske effekter.

I det beskrevne eksempel, hvor lysstråler sendes fra en kilde til en observer placeret i en L-T geometri, er der tale om at observere ændringer i retningen af lysstråler på grund af rumtidens inhomogeniteter. Et matematisk eksempel, hvor lysstråler blev sendt fra en kilde placeret i en "void" med en massefylde, der er lavere end baggrundens gennemsnitsværdier, viser, at strålerne ankommer fra forskellige retninger afhængig af, hvornår de blev udsendt. Denne drift er meget lille, men den er observerbar med tilstrækkelig nøjagtighed og kan potentielt bruges som en metode til at måle rumtidsinhomogeniteter.

Endelig er det vigtigt at bemærke, at disse effekter ikke kun gælder for lysstråler, men også kan have indflydelse på vores forståelse af objekter som gamma-ray bursts (GRB'er). I L-T modeller kan man se på, hvordan strålerne fra disse eksotiske objekter interagerer med inhomogene rumtider og forårsager effekter som stærk blueshift. Hvis disse effekter kan observeres, kan det give os en ny måde at forstå og fortolke data fra astronomiske observationer.

Hvordan Raychaudhuri-ligningen og de relaterede bevaringsligninger påvirker vores forståelse af singulariteter i relativistisk hydrodynamik

I relativistisk hydrodynamik er det vigtigt at forstå, hvordan forskellige tensorligninger og den geometriske struktur af rumtiden påvirker udviklingen af et fysisk system. Dette omfatter især, hvordan bevægelsen af et perfekt fluid kan beskrives ved hjælp af de generelle relativitetsligninger og deres løsning i konteksten af singulariteter. En af de mest fundamentale ligninger i denne sammenhæng er Raychaudhuri-ligningen, som spiller en central rolle i forståelsen af tidens og rummets udvikling under ekstreme forhold, såsom i nærliggende områder af sorte huller eller under kosmologiske begivenheder.

Når vi ser på den første af de relevante ligninger, kan vi udlede vigtige relationer, som beskriver ændringerne i udvidelsen af et perfekt fluid, dets skærings- og rotationskomponenter samt energitætheden. For at analysere disse forhold kan vi bruge antisymmetrien i Riemann-tensoren til at eliminere visse led i ligningerne, hvilket giver et klart billede af, hvordan termodynamiske egenskaber udvikler sig under relativistiske forhold.

Startende med en grundlæggende relation, der involverer Riemann-tensoren og hastigheden af væskens bevægelse, kan vi opnå udtryk som (15.41), som beskriver relationen mellem hastigheden af et fluid og krumningen i rumtiden. Ved at kontrahere denne ligning med metricen gαβg^{\alpha\beta} får vi en vigtig relation for ændringerne i udvidelsen af væsken:

h˙γδ(uγ;δ)−hγδu˙γ;δ+hγδuσ;δuγ;σ+Rρσuρuσ=0.\dot{h}^{\gamma\delta}(u_\gamma; \delta) - h^{\gamma\delta} \dot{u}_\gamma ; \delta + h^{\gamma\delta} u_\sigma ; \delta u_\gamma ; \sigma + R_{\rho\sigma} u^\rho u^\sigma = 0.

Det er denne type relationer, der fører os til Raychaudhuri-ligningen (15.46), som er af central betydning i forståelsen af udvidelsen af rumtiden i relativistiske systemer. Denne ligning, oprindeligt udledt af Ehlers (1961), kombinerer den tidslige udvikling af udvidelsen med forskellige geometriske egenskaber, såsom skærings- og rotationskomponenter. Det er gennem den, at vi kan få indsigt i, hvordan materie og energi i universet påvirker rumtidens krumning.

En af de mest interessante konsekvenser af disse ligninger er deres evne til at forklare, hvordan singulariteter kan opstå i systemer, der er baseret på relativistisk hydrodynamik. Singulariteter, hvor størrelser som energitæthed og tryk går mod uendelig, kan forekomme i både fremtidige og fortidige tidspunkter afhængigt af væskens udvidelse eller sammentrækning. Dette er beskrevet i (15.53) ved brugen af en skalafunktion ℓ(s)\ell(s), som er relateret til den tidslige udvikling af væskens udvidelse.

En vigtig observation, der følger fra denne ligning, er, at for enhver væsketype, hvor u˙α=0\dot{u}^\alpha = 0 og ω=0\omega = 0, vil der nødvendigvis være et tidspunkt, hvor funktionen ℓ(s)\ell(s) går mod nul. Dette betyder, at singulariteter, enten i fortiden eller fremtiden, er uundgåelige i sådanne systemer. Derudover fører den specifikke antagelse om et perfekt fluid (hvor σ=ω=0\sigma = \omega = 0) til løsninger, som enten vil føre til fremtidige eller fortidige singulariteter, afhængigt af væskens bevægelsestilstand.

Hvad der er bemærkelsesværdigt i denne sammenhæng, er, at de singulariteter, som de klassiske singularitetsteoremer (Penrose, Hawking og Ellis) viser, ikke nødvendigvis er en grundlæggende del af relativitetsteorien som sådan. Der findes også løsninger, som ikke fører til singulariteter, men disse har endnu ikke fundet anvendelse i de fysiske scenarier, vi observerer i universet. Det betyder, at den generelle relativitetsteori ikke nødvendigvis beskriver alle mulige fysiske situationer fuldt ud. For at undgå singulariteter og forstå fysiske forhold i ekstremt tætte områder kræves en mere generel teori, som tager højde for kvanteeffekter.

Derfor er det vigtigt at forstå, at selv om singulariteter er en naturlig konsekvens af de matematiske modeller, der anvendes i relativistisk hydrodynamik, er de ikke nødvendigvis en uundgåelig del af den fysiske virkelighed, som vi observerer. Nogle løsninger af Einsteins ligninger, som ikke indeholder singulariteter, er blevet fundet og undersøgt, men deres fysiske relevans er stadig et åbent spørgsmål.

En af de interessante konsekvenser af disse matematiske ligninger er, at de viser, hvordan antagelser om væskens egenskaber, som dens rotation (ω\omega) og skæring (σ\sigma), kan begrænse de mulige fysiske løsninger. Hvis σ=0\sigma = 0 og ω=0\omega = 0, vil de enkelte komponenter af Weyl-tensoren og de øvrige geometriske strukturer give os en mere begrænset og forudsigelig opførsel af væsken, hvilket kan hjælpe med at forudse universets udvikling under disse betingelser.

Hvordan mestre praktiske skakstrategier: Eksempler og avancerede positioner
Hvorfor investorer har svært ved at få succes med private equity investeringer
Hvad er sandhed i Trumps æra?
Hvordan kan V2X-teknologier ændre energisystemet og øge modstandskraften i Europa?