Hvordan orbits og geodæser opfører sig i Kerr-metrikken

I tilfælde af, at $a^2 < m^2$, er ændringen i radial afvigelse, $\Delta r$, positiv for $r < r^-$ og for $r > r^+$, hvor $r^\pm$ er givet ved ligning (21.58). Mellem $r^-$ og $r^+$ er diskriminanten (21.140) negativ, hvilket betyder, at funktionen $R(r)$ ikke kan have nogen nul-punkter i dette interval. Dette fører til, at $\frac{dr}{ds} \neq 0$, og dermed eksisterer der ikke nogen cirkulære baner i dette område, ej heller vendepunkter for andre baner. Et objekt, der bevæger sig ind i området $(r^-, r^+)$ fra siden af $r > r^+$, skal fortsætte mod mindre $r$ indtil det krydser $r = r^-$. I modsætning til Schwarzschild-metrikken er det dog ikke nødvendigt, at objektet rammer singulariteten, da der kan opstå et vendepunkt ved $r < r^-$. Omvendt, et objekt der kommer ind i området $(r^-, r^+)$ fra siden af $r < r^-$, skal bevæge sig mod større $r$ indtil det krydser $r = r^+$.

Værdien af $E_{\text{min}}(r) = E^+(r)$ afhænger af tegnet på $aL_z$. Når $aL_z > 0$, har den orbitale vinkelmomentum af objektet på banen og det interne vinkelmomentum af kilden til gravitationsfeltet samme retning. Sådanne baner kaldes direkte. Når $aL_z < 0$, har de to vinkelmomentum modsat retning. Disse baner kaldes retrograde. Forskellen mellem disse baner er en relativistisk effekt: Newtons gravitationsfelt "føler" ikke hvilken retning det centrale objekt roterer i. Det er kun følsomt overfor asymmetrier (polar fladning) i det centrale objekt forårsaget af den centrifugale kraft. Retrograde baner i Newtons teori svarer til de direkte baner. I relativitetsteorien er denne forskel dog tydelig, som det kan ses i figur 21.7.

En yderligere forståelse af banerne kan fås ved at analysere grafen for funktionen $E_{\text{min}}(r) = E^+(r)$; se figur 21.7. Når $L_z = 0$, stiger $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0}$ monotonisk med $r$ mod uendelig for alle $r \geq r^+$. Når $|L_z|$ er tilstrækkeligt stor, findes der et interval $(r_1, r_2)$, hvor $r^+ \leq r_1 < r_2$, i hvilket $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0} \geq 1$, mens $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0} < 1$ for $r > r_2$, for hvert tegn af $L_z$. For retrograde baner kan værdierne af $r_1$ og $r_2$ beregnes eksplicit. Med store $|L_z|$ eksisterer der således et lokalt maksimum af $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0}$ ved $r = r_u$ og et lokalt minimum ved $r = r_s$, som det ses i figur 21.7.

For photon-orbiter findes der kun én maksimal værdi af $F(r) = E_{\text{min}}/|L_z|$ uden nogen minima for $r \in (r^+, \infty)$. Dette betyder, at en fotonbane i den ækvatoriale plan kun kan have ét vendepunkt i dette område af $r$, og der findes ingen stabile cirkulære baner. For hver værdi af $L_z$ findes der en cirkulær bane, der ligger på toppen af $F(r)$, og som derfor er ustabil.

Når man overvejer geodæser for fotoner, kan man definere den affinie parameter ved at omdefi

Hvordan computere revolutionerer beregningen af krumningstensoren i relativitetsteori

Denne indseelse blev gjort for flere årtier siden. Allerede i 1960'erne blev der udviklet flere computersystemer, som kunne beregne Riemann-tensoren og de tilhørende størrelser ud fra en given metrik. Vi taler her om symbolsk beregning, hvor computeren transformerer matematiske udtryk uden at forvente numeriske værdier. Nogle af disse systemer er en del af store, generelle algebrasystemer (som Maple eller Mathematica), mens andre er specialiserede programmer skrevet i generelt tilgængelige programmeringssprog. Lisp, en forkortelse for List Processing, er det foretrukne sprog for computeralgebra. Markedet for disse systemer har ændret sig dynamisk, og en af de mest opdaterede oversigter over de eksisterende og tidligere anvendte systemer findes i MacCallum's artikel fra 2018.

De moderne computeralgebra-programmer er ganske nemme at bruge, og reduktionen i den nødvendige tid og indsats for at udføre beregningen er dramatisk. I stedet for at bruge uger på at udføre rutineberegninger, kan man nu få resultatet på under et minut. Selvfølgelig inkluderer dette ikke den tid, det tager at indtaste data, og det er ofte nødvendigt med flere forsøg, før resultatet er tilfredsstillende. For eksempel kan yderligere simplifikationer være nødvendige. Men gevinsten er åbenlys, og i dag udføres disse beregninger kun manuelt af studerende til undervisningsformål. I forskningsarbejde har computerne helt overtaget feltet.

Det er også værd at bemærke, at computere ikke blot har forenklet arbejdet med at beregne tensorer som Riemann-tensoren, men også har åbnet op for mere avancerede undersøgelser af rumtidsgeometri og andre aspekter af relativitetsteori. Det er nu muligt at analysere komplekse metrikker og geometriske strukturer, som tidligere ville have været uoverkommelige, både tidsmæssigt og teknisk. Dette har ikke blot været en fordel i forskning, men har også haft indflydelse på undervisning, hvor studerende nu hurtigt kan forstå og praktisere de grundlæggende beregninger, der er nødvendige for at forstå de mere avancerede aspekter af relativitetsteori.

Selv om computersystemerne har gjort det muligt at automatisere en stor del af arbejdet, er det stadig afgørende at have en dyb forståelse af de metoder, der ligger bag beregningerne. Uden denne forståelse risikerer man at overse subtile, men vigtige, detaljer i de matematiske strukturer, som kan føre til fejlagtige konklusioner. Det er derfor ikke blot en teknologisk opgradering, men en intellektuel udfordring, der følger med den øgede brug af computere i relativitetsteori og andre grene af teoretisk fysik.

Hvordan generaliserede gravitationsteorier udvider Einsteins relativitet

I moderne fysik har flere alternative teorier om gravitation været fremsat som generaliseringer af Einsteins generelle relativitetsteori (GR). Disse teorier rummer både en udvikling af Einsteins oprindelige idéer og forsøg på at forklare de fænomenologiske problemer, som ikke nødvendigvis kan forklares ved standard GR. En af de tidlige teorier, som står som et glimrende eksempel på denne udvikling, er Kasner-løsningen, som først blev beskrevet i 1921. Løsningen omhandler et specielt tilfælde af universets metrik og giver et vigtigt indblik i den kosmologiske struktur i et anisotropisk univers.

Selvom denne løsning repræsenterer et muligt univers i et bestemt tilfælde, er det ikke nødvendigvis repræsentativt for alle universer, især dem med Bianchi-type geometri, hvor det ikke altid er muligt at diagonalise metrikten. Sådanne løsninger åbner dog døren til at forstå den komplekse dynamik mellem materie og rumtidskrumning på en dybere måde, ved at anvende flere transformationsmetoder for at simplificere komplekse tensorer til mere håndterbare former.

En anden vigtig teori, der udvider GR, er Brans-Dicke-teorien. Denne teori er en af de ældste og mest udviklede alternativer til GR og blev først præsenteret i 1961. Den vigtigste forskel mellem Brans-Dicke-teorien og GR er, at gravitationskonstanten $G$ erstattes af en variabel skalarfelt $\varphi$. Dette betyder, at gravitationsstyrken kan variere både med tiden og rummet, hvilket giver plads til en dynamisk forståelse af gravitation. I teorien bliver ændringer i den skalarfelt afhængig af skalarkrumningen $R$, som igen afhænger af materiens fordeling. Dette har været en del af et forsøg på at formulere Mach's princip, som hævder, at alle gravitationelle effekter i universet bør kunne forklares af materiens distribution.

Der findes også andre teorier, som yderligere udvider eller modificerer GR, herunder Bergmann-Wagoner-teorien, Einstein-Cartan-teorien og bi-metrisk Rosen-teori. Den første er en generalisering af Brans-Dicke-teorien og indeholder funktioner, som endnu ikke er tilstrækkeligt forstået. I modsætning hertil tilbyder Einstein-Cartan-teorien en interessant variation, hvor forbindelseskoefficienterne ikke er symmetriske, hvilket åbner for muligheden for at beskrive et univers uden singulariteter. Denne teori tillader således en universmodel, der er fri for singulariteter, et element, der er iboende i GR.

Rosen’s bi-metriske teori, derimod, er en alternativ tilgang, hvor der er to metrikker, én som den flade metrik og én som den krumlede metrik. Dette system giver en anderledes fremstilling af gravitation, selvom dets forudsigelser ikke afviger meget fra dem, man får fra GR under de fleste forhold. Denne teori har dog ikke opnået bred accept i fysiksamfundet, delvis på grund af dens inkonsekvenser og komplekse struktur.

Alle disse teorier, trods deres teoretiske interesse og forskelle, bringer os ikke nødvendigvis tættere på en fuld forståelse af gravitation. De bidrager imidlertid til en rigere forståelse af, hvordan forskellige universer kunne opføre sig, og hvordan de observerbare egenskaber af rumtid og gravitation kan varieres og generaliseres. Det er klart, at disse alternative teorier fortsat vil spille en rolle i den teoretiske fysiks udvikling og i vores forståelse af universets fundamentale love.