Jak se popisuje šíření paprsků přes kulové rozhraní a čočky pomocí matic paprsků?

Poloměr zakřivení kulového rozhraní $R$ má podle konvence znaménko záporné, pokud se střed křivosti nachází vlevo od rozhraní. Při paraxiální aproximaci, kdy se sinus i tangens úhlu přibližně rovná samotnému úhlu, lze základní vztahy zjednodušit a nahradit úhel jeho směrnicí. Pro lom paprsku na kulovém rozhraní pak platí, že součiny indexu lomu a úhlu vstupujícího a vystupujícího paprsku jsou si rovny, což vyjadřuje zákon lomu v této aproximaci.

Reflexe od kulového zrcadla přináší změnu pouze ve sklonu paprsku, výška paprsku zůstává nezměněna. Matice paprsku pro kulové konkávní zrcadlo reflektuje tuto změnu a lze ji vyjádřit pomocí poloměru křivosti zrcadla. Důležitým parametrem je ohnisková vzdálenost, která je polovinou poloměru křivosti. Matice pro rovinné zrcadlo je limitním případem kulového zrcadla při nekonečném poloměru.

Pokud systém obsahuje několik optických rozhraní za sebou, celková matice paprsku vzniká násobením matic jednotlivých rozhraní v pořadí jejich průchodu paprsku. Tento princip kaskádování umožňuje analyzovat složité optické sestavy jako součiny jednoduchých prvků.

V případě tenké čočky, kde se tloušťka zanedbává a okolní prostředí je vzduch, matice výrazně zjednodušuje a ohnisková vzdálenost čočky se stanoví podle známého vztahu závislého na poloměru křivosti a indexu lomu čočky. Podmínka zobrazení určuje vztah mezi vzdáleností objektu, vzdáleností obrazu a ohniskovou vzdáleností, což je klasická rovnice čočky.

Praktické příklady zobrazovacích systémů s jednou čočkou ukazují, jak pomocí matic paprsků lze určit polohu obrazu, jeho velikost a orientaci. Při změně polohy objektu se mění i vlastnosti obrazu – může být reálný nebo virtuální, zvětšený či zmenšený, obrácený nebo přímý. Pro soustavy s více čočkami, například kombinací konkávní a konvexní čočky, je možné sestavit celkovou matici jako součin jednotlivých matic a analyzovat výsledné zobrazovací parametry.

Kromě matematických vztahů a matic je klíčové chápat fyzikální smysl parametrů – proč jsou znaménka poloměru křivosti důležitá, jak se mění směr paprsku při lomu a odrazu, a jak tlou

Jak se liší Fraunhoferova a Fresnelova difrakce a jak vznikají vzory difrakce u různých otvorů?

Když vzdálenost mezi aperturou a pozorovacím místem velmi roste, fáze funkce chirp, vyjadřovaná exponentem ve Fresnelově integrálu, se blíží k jedné. Tento jev nastává, když vzdálenost $z$ splňuje podmínku, která závisí na vlnové délce a rozměrech apertury. V takovém případě lze Fresnelův integrál aproximovat tak, že chirp funkce je téměř jednotková, což vede k jednodušší podobě integrálu známé jako Fraunhoferův difrakční integrál.

Fraunhoferova difrakce nevyužívá přenosovou funkci, což ji odlišuje od Fresnelovy difrakce, kde chirp funkce hraje roli přenosové charakteristiky a narušuje prostorovou invarianci. Ve Fraunhoferově přístupu je výsledek úzce spjatý s Fourierovou transformací vstupního pole přes aperturu, přičemž prostorové frekvence $f_x$ a $f_y$ jsou úměrné pozorovacím souřadnicím, vlnové délce a vzdálenosti pozorování.

Dalším důležitým příkladem je Fraunhoferova difrakce na kruhové apertuře. Díky kruhové symetrii je zde vhodné použít sférické souřadnice a popis difrakčního vzoru je spojen s Besselovými funkcemi prvního druhu. Difrakční intenzita se vyjadřuje pomocí funkce J1, což vede k charakteristickému Airyho vzoru s centrálním světlým diskem (Airyho diskem) a soustřednými tmavými a světlými kruhy. Airyho disk definuje základní rozlišovací schopnost optických systémů s kruhovými aperturami. Přesné určení nulových bodů této funkce není analyticky možné, avšak jejich aproximace je zásadní pro pochopení limitů ostrosti obrazu.

Pochopení rozdílů mezi Fraunhoferovou a Fresnelovou difrakcí je klíčové nejen pro teoretický výklad, ale i pro praktické aplikace, jako je návrh optických systémů, mikroskopie či laserové technologie. Fraunhoferova difrakce umožňuje popsat světelné pole v oblasti, kde jsou vzdálenosti řádově větší než velikost apertury na druhou dělenou vlnovou délkou, což odpovídá podmínce, kdy se fáze chirp funkce stává téměř konstantní.

Je rovněž zásadní si uvědomit, že Fraunhoferova difrakce se zjednodušuje na Fourierovu transformaci vstupního pole, což umožňuje využití široké škály matematických nástrojů pro analýzu a syntézu difrakčních obrazců. Tento přístup však předpokládá ideální podmínky, jako je koherentní osvětlení a nekonečná vzdálenost nebo ekvivalentní optické uspořádání s čočkou.

Jak fungují světelné diody (LED)?

Světelné diody (LED) jsou založeny na jevu zvaném elektroluminiscence, což je proces, při němž materiál vyzařuje světlo, když na něj působí vnější elektrické pole v tepelné rovnováze. Tento proces je základním principem fungování LED. V běžných podmínkách při pokojové teplotě jsou koncentrace termálně excitovaných elektronů a děr tak malé, že generovaný tok fotonů je zanedbatelný. Photonová emise může být zvýšena externím způsobem, například zvýšením počtu přebytečných elektronů a děr, které se následně rekombinují a vedou k vyzařování fotonů.

LED diody využívají spontánní emise, které vznikají při aplikaci předpětí na p-n přechod vyrobený z polovodiče s přímým zakázaným pásmem, jako je GaAs (gallium arsenid). Může se jednat o homojunkční nebo heterojunkční struktury. Homojunkční struktura je tvořena polovodičovým rozhraním mezi vrstvami podobných materiálů, které mají stejné zakázané pásmo, ale liší se dopingem pro vytvoření p- a n-stran přechodu. Naproti tomu heterojunkční struktura je tvořena rozhraním mezi dvěma různými polovodiči s různými zakázanými pásmy.

V homojunkční LED diodě jsou n- a p-strany vyrobeny ze stejného polovodiče, ale mají odlišný doping. Když je LED dioda zapnuta (aplikováno je předpětí), dochází k rekombinaci elektron-díra párů, což vede k emisi fotonů s energií přibližně odpovídající zakázanému pásmu materiálu. V tomto případě se fotony vyzařují především v oblasti depleční zóny zařízení.

Pokud je zařízení zapnuto (aplikováno je předpětí), Fermiho hladiny na p-straně a n-straně jsou odděleny napětím eV, což způsobí, že koncentrace elektronů a děr se mění. Elektrony se difundují z n-strany do p-strany, kde dochází k jejich rekombinaci s děrami. Tato rekombinace vede k spontánnímu vyzařování fotonů, které se šíří různými směry. Tento proces vyzařování probíhá především v depleční zóně diody, kde je rekombinace elektron-díra nejintenzivnější.

Heterojunkční LED diody

Homojunkční LED diody, ačkoliv byly základem pro vývoj světelných technologií, mají několik omezení, která je činí neefektivními. První problém spočívá v tom, že aktivní oblast, kde dochází k vyzařování světla, je totožná s depleční zónou, což zvyšuje pravděpodobnost výskytu nereduktivních rekombinací. Další výzvou je, že homojunkční struktura neobsahuje mechanismus, který by zadržoval nositele náboje v aktivní oblasti. Tyto nositele náboje tedy mohou opustit oblast vyzařování, než dojde k jejich rekombinaci a vyzáření fotonu. Kromě toho má homogenní struktura stejné zakázané pásmo v celém zařízení, což znamená, že fotony mohou být absorbovány ještě před tím, než opustí zařízení.

Jednou z výhod těchto struktur je použití optického zajištění, protože materiály s vysokými zakázanými pásmy mají nižší index lomu. Taková konstrukce významně zlepšuje účinnost diody, což vede k efektivnější produkci světla a snížení ztrát fotonů. Typická struktura dvojité heterojunkční LED diody využívá různé polovodičové krystaly s odlišnými zakázanými pásmy, jako je kombinace AlGaAs (AlxGa1−xAs) s Eg ≈ 2 eV a GaAs s Eg ≈ 1,4 eV.

Co je důležité pochopit o LED?

V případě LED diod je kladné napětí aplikováno na p-n přechod, což způsobí, že elektronové a děrové páry přecházejí do aktivní oblasti, kde se rekombinují a vyzařují fotony. To je základní princip fungování LED, ale účinnost tohoto procesu závisí na konstrukci samotné diody. Zatímco homojunkční struktura byla počátečním krokem v technologii, její omezení v oblasti absorpce fotonů a rekombinace nositelů náboje vedly k vývoji složitějších heterojunkčních struktur. Tyto diody jsou efektivnější, protože umožňují lepší zadržování nositelů náboje v aktivní oblasti, čímž zvyšují účinnost světelné emise a snižují ztráty.

Základní porozumění těmto procesům je klíčové pro pochopení, jak LED diody fungují a jak jejich konstrukce ovlivňuje jejich výkon. Vývoj v oblasti LED technologií se tedy stále posouvá směrem k efektivnějším a výkonnějším diodám, které mají široké využití v osvětlovacích systémech, displejích a mnoha dalších aplikacích.