Jak vytvořit smyčkové vzory pomocí buněčných automatů?

Buněčné automaty (BA) představují fascinující nástroj pro modelování dynamických systémů, které mohou vykazovat nečekanou komplexitu z jednoduchých pravidel. Jedním z úžasných rysů těchto automatů je schopnost generovat vzory, které mohou vypadat jako složité a organické struktury, i když jsou tvořeny jednoduchými lokalizovanými pravidly. V tomto článku se zaměříme na generování smyčkových vzorců v dvourozměrném poli, což je problém, který se ukazuje jako náročný a zároveň inspirativní pro různé oblasti výzkumu.

Definice smyčky a smyčkového vzoru

Smyčka je uzavřená cesta v mřížce, která není nikde přerušena ani spojena s jinými cestami. V praxi to znamená, že existuje sled buněk (cest), které tvoří uzavřený okruh, přičemž všechny sousední buňky jsou součástí této cesty. Jednotlivé buňky cesty mají hodnotu 1, zatímco buňky pozadí mají hodnotu 0. Délka smyčky musí být alespoň dvě buňky, aby nedošlo k vytvoření triviální smyčky.

Pokud chceme formálně definovat smyčku v rámci buněčného automatu, musíme říci, že každá buňka cesty má přesně dvě sousední buňky cesty v souřadnicích sever, východ, jih a západ (NESW). To znamená, že tři buňky tvořící smyčku musí být uspořádány do přímé linie (vertikální nebo horizontální) nebo do rohu. Při tvorbě smyčky musí být okolní buňky smyčky vyplněny nulovými buňkami, které oddělují různé smyčky od sebe, aby se zabránilo jejich vzájemnému propletení.

Generování smyčkových vzorců pomocí buněčných automatů

Jedním z hlavních problémů při generování smyčkových vzorců je vytvoření smyčky podle lokálních pravidel. V tomto případě byla navržena sada „dlaždic“ (místních vzorců), které se mohou překrývat a vytvářet tak smyčky. Tyto dlaždice působí jako místní podmínky, které určují, jak se mají buňky měnit, aby vznikla požadovaná struktura. Tyto dlaždice byly navrženy a testovány ručně, ale také s pomocí speciálního nástroje založeného na genetickém algoritmu, který může generovat vzory na základě globálního optimalizačního kritéria.

Význam smyčkových vzorců v přírodních i umělých systémech

Smyčky, ať už v přírodních systémech nebo ve výrobcích lidské činnosti, nejsou jen estetickými prvky. Mnozí výzkumníci se zajímají o to, jak tyto vzory vznikají a jak mohou být optimalizovány. Například u městských sítí silnic mohou smyčky a uzavřené okruhy významně ovlivnit dopravu a plánování. V přírodě mohou smyčky pomoci v optimalizaci transportních procesů, například při pohybu vody v půdách nebo živin v organismech.

Tvorba smyčkových vzorců pomocí buněčných automatů poskytuje nástroj, jak tyto přirozené procesy lépe porozumět a modelovat. Navíc umožňuje testovat různé scénáře evoluce vzorců a hledat optimální řešení pro různé typy aplikací, ať už jde o simulace přírodních procesů, nebo o návrh složitějších technických systémů.

Optimalizace smyčkových vzorců

Na druhou stranu mohou existovat i případy, kdy je třeba minimalizovat počet smyček, například v případech, kdy jsou smyčky vysoce nákladné na výrobu nebo v systémech, kde je kladeno důraz na úsporu místa.

Důležité je i pochopení, že při práci s buněčnými automaty, i když mohou být vytvořeny vzory s velmi komplexními strukturami, je výsledný systém do značné míry závislý na počátečních podmínkách a parametrech evoluce. To znamená, že drobné změny v těchto podmínkách mohou vést k dramaticky odlišným výsledkům.

Jak symbolická dynamika ovlivňuje chování a studium 2D a 1D sub-posunů

Pokud máme sekvenci $a = (a_0, a_1, \dots, a_{n-1})$ z prostoru $S^Z$ a interval $I = [i, j]$, definujeme pro libovolný $x \in S^Z$ podsekvenci $x[i, j]$, což označuje sekvenci hodnot $(x_i, x_{i+1}, \dots, x_j)$. Tímto způsobem lze definovat, zda nějaká sekvence $a$ „vystupuje“ v jiném prvku $x$ jako podsekvence. Pokud existuje $m \in Z$, pro které platí, že $x[m, m+n-1] = a$, říkáme, že $a$ se v $x$ vyskytuje, což zapisujeme jako $a \prec x$. Jestliže tomu tak není, používáme zápis $a \nprec x$. Tento přístup se využívá i pro zkoumání podmnožin $2$ v rámci širšího prostoru $S^Z$, kde studujeme, zda existuje sekvence, která by „vystupovala“ v této podmnožině.

Pokud jde o topologické vlastnosti těchto sub-posunů, zjistíme, že některé jsou topologicky transitivní nebo topologicky mísící, což se dá určit právě pomocí vlastností přechodových matic. Pokud přechodová matice je ireducibilní, systém vykazuje topologickou transitivitu; pokud je periodická, může se projevit topologické míšení, což je vlastnost, která má důležitý vliv na komplexitu dynamiky systému. Pro topologickou entropii platí, že v případě konečných sub-posunů je její hodnota rovna spektrálnímu poloměru přechodové matice.

Když se podíváme na symbolickou dynamiku v kontextu 2D systémů, je zřejmé, že problémy zde jsou výrazně složitější než v případě jednorozměrných systémů. Příkladem je to, že 2D konečné sub-posuny mohou mít více než jednu hodnotu maximální entropie, což přináší větší výzvy pro analýzu jejich dynamických vlastností. V rámci těchto systémů se objevují i otázky týkající se topologického míšení, což je u 2D systémů obvykle považováno za jemnější kritérium pro měření složitosti systému.

Pro lepší pochopení tohoto jevu se používají různé metody numerického odhadu topologické entropie, které se hodí zejména pro symetrické sub-posuny, kde přesná hodnota není snadno vypočitatelná. Nicméně, i přesto, že metody jsou aplikovatelné jen na přísně omezené podmnožiny, ukazují na to, že topologické míšení a jeho vliv na entropii zůstávají klíčovým nástrojem pro zkoumání dynamických vlastností systémů.

Je třeba si uvědomit, že 2D symbolické dynamické systémy jsou podstatně složitější než jejich 1D protějšky, zejména když jde o určení maximální entropie nebo analýzu topologických vlastností. Proto se často používají aproximace a numerické metody, které pomáhají při studiu těchto složitých dynamických systémů, a to i v případě, že přesné hodnoty často zůstávají neznámé.

Jak fungují buňky ve buněčných automatech zachovávající čísla

• C je buněčný prostor, tj. podmnožina celočíselné mřížky dZ;

• Q je množina stavů, přičemž pro naše účely předpokládáme, že Q je podmnožinou reálných čísel (Q ⊂ R), a že 0 ∈ Q;

• V je vektor sousedství, což znamená, že pro každou buňku i ∈ C jsou jejími sousedy buňky umístěné na pozicích i + →v₁, i + →v₂, …, i + →vm;

• f je místní pravidlo, které určuje stav buňky i v příštím časovém kroku na základě stavů jejích sousedů. Tento proces se označuje jako "místní pravidlo s m vstupy", kde m je počet sousedních buněk, které ovlivňují stav buňky.

Pro většinu výzkumů buněčných automatů je obvyklé předpokládat, že prostor C je buď nekonečný (tedy celá celočíselná mřížka dZ), nebo konečný a má formu d-rozměrného kuboidu s periodickými okrajovými podmínkami. K tomu se přistupuje pomocí mřížky tvaru C = CN = (Z/n₁Z) × (Z/n₂Z) × ... × (Z/ndZ), což znamená, že každá dimenze je cyklická.

Následně se určuje, zda buněčný automat zachovává nějaké kvantitativní množství – například součet stavů buněk. Pokud takový automat zachovává součet stavů všech buněk v libovolné konfiguraci v průběhu její evoluce, nazýváme tento typ automatu "číslicově konzervativním". Tento pojem má různé formy, podle toho, zda je zachován součet v případě konečné konfigurace, periodické konfigurace nebo v případě specifických mřížek.

Například mezi jednoduché a známé příklady číslicově konzervativních buněčných automatů patří základní jedno-dimenzionální binární automaty, zvané elementární automaty (ECA), které jsou známé zejména díky Wolframovi. Jejich místní pravidlo je definováno na základě 3 vstupních hodnot (pro každého souseda) a výstupní hodnoty je binární. Některé z těchto pravidel, jako ECA170 nebo ECA204, jsou příklady pravidel, která zachovávají čísla.

Dalším důležitým konceptem je schopnost automatů definovat konzervaci nejen v rámci číselných hodnot, ale i pro hodnoty větší než nuly. V některých případech, kde stavová množina zahrnuje reálná čísla, hovoříme o konzervaci hustoty, což je výrazně širší koncept.

Významným směrem ve studiu číslicově konzervativních buněčných automatů je hledání elegantní charakterizace těchto automatů. To zahrnuje vymezení nezbytných a dostatečných podmínek pro to, aby byl automat číslicově konzervativní. Tyto podmínky byly formulovány pro jedno- i více-rozměrné CAs a zohledňují specifické vlastnosti sousedství, přičemž u více-dimenzionálních automatů byly zohledněny odlišnosti mezi Mooreovým a von Neumannovým sousedstvím.

Pro pokročilé výzkumníky v této oblasti je nutné vzít v úvahu, že tyto formální definice a metody se neomezují jen na konečné mřížky, ale rozšiřují se na případy nekonečných prostorů, což umožňuje širší aplikace těchto pravidel. Některé z těchto charakterizací jsou uvedeny v odborných pracích, jako jsou práce Hattoriho a Takesueho nebo práce Duranda

Jakým způsobem lze charakterizovat a analyzovat číselně konzervující buněčné automaty s von Neumannovou sousedností?

Při zkoumání číselně konzervujících buněčných automatů (NCCA) je kladeno důraz na hledání jednoduchých formulací pravidel, které zachovávají konstantní součet stavů buněk v rámci automatu. Hlavní myšlenkou bylo snížit složitost problému na co nejjednodušší konfigurace sousedství: monomery (kde existuje maximálně jeden nenulový stav) a dimery (kde existují maximálně dva nenulové stavy). Tento přístup je možný díky faktu, že průnik von Neumannova sousedství dvou různých buněk obsahuje maximálně dvě buňky.

Původní výzkum [61] nepopisuje pouze jednu, ale celou rodinu nezbytných a dostatečných podmínek pro d-dimenzionální buněčné automaty s von Neumannovou sousedností, které jsou číselně konzervující. Pro dané d existuje přesně (2d + 1) · 2d² možných formulací této podmínky. Například pro d = 2 může být prezentováno až 80 různých způsobů zápisu podmínky, které se mohou lišit počtem složek. Stejně tak pro d = 3 se jedná o 7 · 29 různých formulací. Každý konkrétní případ může být zpracován zvolením verze, která nejlépe vyhovuje požadavkům daného problému.

Teorie popsaná v [61] poskytuje širší pohled na daný problém. Například lze tuto teorii aplikovat i na případ d = 1, kdy se získá šest ekvivalentních formulací nezbytných a dostatečných podmínek pro jednorozměrný 3-input buněčný automat, z nichž jedna je uvedena v [4].

Dalším, neméně populárním způsobem charakterizace NCCAs, je takzvaná "reprezentace pohybu" – interpretace NCCA založená na pohybech částic mezi buňkami. Stavy buněk jsou v tomto případě interpretovány jako počet neodlišitelných částic v každé buňce, které se pohybují mezi buňkami, přičemž každá částice není rozdělena ani zaniká. Globální pravidlo je pak interpretováno jako regulace těchto pohybů. Tato interpretace však vyžaduje následující omezení: množina stavů Q musí být podmnožinou přirozených čísel, což znamená, že se tento způsob reprezentace používá pouze v případě k-ary NCCA.

Reprezentace pohybu jednorozměrných NCCA byla intenzivně zkoumána, přičemž některé práce, které stojí za zmínku, jsou následující: Boccara a Fukś [3] zavedli pojem "reprezentace pohybu" pro jednorozměrné binární m-input NCCA a našli všechny takové automaty pro m ≥ 5. Pivato [43] dokázal, že každý jednorozměrný NCCA lze interpretovat pomocí pohybové reprezentace, což bylo nezávisle zjištěno i Fukśem [19]. V práci [39] autoři formalizovali reprezentace pohybu jako automat částic a ukázali, že každý jednorozměrný NCCA může být jednoznačně charakterizován nějakou kanonickou formou pohybové reprezentace.

V případě dvourozměrných NCCA se téma pohybové reprezentace prozkoumalo méně. Kari a kol. [32] ukázali, že dynamiku jakéhokoli dvourozměrného NCCA lze vyjádřit pomocí posunů částic. Avšak, jak autoři zdůrazňují, existuje nekonečné množství pohybových reprezentací pro takovýto NCCA a je obtížné definovat nějakou "kanonickou". Podobné výsledky byly dosaženy i pro více dimenzí, ale výzkum v této oblasti nebyl dále pokračován.

V poslední době byl představen velmi užitečný matematický nástroj pro charakterizaci d-dimenzionálních NCCA s von Neumannovou sousedností. Podle výsledků [61] mohou být nezbytné a dostatečné podmínky formulovány na (2d + 1)2d² různými způsoby a ačkoli jsou všechny ekvivalentní, získané vzorce se mohou lišit počtem termínů. Nové pochopení této skutečnosti vedlo k myšlence popsané Wolnikem et al. [67]. Bylo dokázáno, že lokální pravidlo jakéhokoli d-dimenzionálního NCCA s von Neumannovou sousedností lze rozložit na dvě části: funkci rozdělení (split function) a perturbaci. Funkce rozdělení zohledňuje skutečnost, že pokud počáteční konfigurace má pouze jednu buňku v nenulovém stavu, v následujícím kroku musí NCCA tento stav redistribuovat do sousedních buněk tak, aby redistribuované části náležely do množiny stavů Q. Perturbace je pak možnou korekcí funkce rozdělení, která vrací hodnoty zpět do množiny Q.

Díky této teorii lze efektivně používat počítačové metody pro výčet všech d-dimenzionálních NCCA, kdy se pro každou funkci rozdělení h hledají všechny perturbace g, které jsou s h kompatibilní.