Контрольные вопросы:

1. Как Вы сформулируете понятие силы?

2. Что такое реакция связи?

3. Что такое проекция силы на ось?

4. Определить равнодействующую систему сходящихся сил?

5. Условия равновесия системы сходящихся сил.

6. Определить момент силы относительно точки?

7. Что такое пара сил и какими свойствами она обладает?

8. Указать формы условий равновесия плоской системы сил.

9. Каким образом решается задача на систему связанных тел?

10. Как определяется момент силы относительно оси?

11. Условия равновесия произвольной системы сил.

КИНЕМАТИКА

Кинематика является разделом теоретической механики, в котором рассматривается движение тела без учета действующих на него сил. В кинематике решаются следующие задачи: 1) задание движения и изучение кинематических характеристик всего тела; 2) изучение движения каждой из точек в отдельности.

Кинематика точки

Наиболее распространены два способа задания движения точки, причем под точкой часто понимают так называемую материальную точку, т. е. тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Последнее справедливо при поступательном (параллельно самому себе) движении тела по прямой и при движении по кривой, когда радиус кривизны траектории много больше размеров тела.

Итак координатный способ предполагает задание координат точки, например точки А, как функций времени.

(1)

Уравнения движения (1) позволяют построить траекторию, например, по точкам изменяя время с заданным шагом. Они также дают возможность определить скорость и ускорение точки в любой момент времени, как по величине, так и по направлению.

Проекции данных векторов на оси определяются дифференцированием (1) и последующей подстановкой времени, а модули их как корень квадратный из суммы квадратов проекций. При этом, если проекция получается отрицательной, это означает, что соответствующая составляющая вектора направлена против оси (направление осей должно быть задано предварительно, вместе с уравнениями (1)). Рассмотрим пример определения , при t=1 c, когда (1) имеет вид

,

где при t=1 c, XA=9 м, YA=1 м.

Тогда из уравнений движения следует (рис. 1)

(2)

(3)

Рис. 1

При втором способе задания движения точки, называемом естественным, задают траекторию и начало отсчета пути точки по ней, а так же путь S по траектории в виде функции времени. В этом случае скорость и касательное ускорение всегда касательные к траектории в рассматриваемой точке, а по величине определяются дифференцированием S=f(t), т. е. . Знак «-», полученный после дифференцирования подставки заданного значения времени t, показывает, что данный вектор или направлены в сторону убывания пути или криволинейной координаты S. Полное ускорение точки складывается из касательного и нормального ускорения , которое направлено по нормали (перпендикулярно касательной) в сторону центра кривизны траектории. По величине последнее ускорение зависит от радиуса кривизны траектории в данной точке r, т. е.

(4)

Физический смысл этих двух составляющих полного ускорения в том, что – характеризует интенсивность изменения вектора по величине, а ускорение – по направлению. Рассмотрим пример, когда S=-5t2+14t (м) и необходимо определить и при t=1 c, когда траектория точки представляет собой дугу радиусом R=18 м (рис. 2).

S=-5∙12+14∙1 = 9 м, рад » 30°

Если при координатном способе задания движения точки необходимо найти , то используется следующие формулы:

Сложное движение точки

Если материальная точка участвует сразу в двух движениях, то такое движение называется сложным. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным, и его кинематические характеристики имеют верхний индекс «r». Движение же точки вместе с подвижной системой отсчета называется – переносным (имеет индекс «е»). Суммарное или результирующее движение точки относительно неподвижной системы отсчета (часто она связана с землей) называется – абсолютным (индекс «а»).

В этом случае для кинематических характеристик справедливы следующие зависимости

, (5)

где – кориолисово ускорение, возникающее из-за взаимодействия переносного и относительного движений.

Оно определяется по правилам векторного произведения, т. к. . Вектор результат перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора сомножители и направлен по правилу правого винта, если первый вектор кратчайшим путем совмещать со вторым . При этом вектор – угловой скорости переносного движения всегда лежит на оси переносного вращения (в любой точке) и направлен согласно правилу правого винта, примененному к известному направлению вращения (рис. 3).

Рис. 3

По модулю , и оно может быть равно нулю в двух случаях: если параллельно , т. е. a=0, и если переносное движение не связано с поворотом подвижной системы отсчета (её оси перемещаются параллельно самим себе, т. е. поступательно и ).

Если переносное или относительное движение точки являются криволинейными, то в выражениях (5) удобно соответствующее ускорение разложить на два вектора: касательного и нормального ускорения, например .

Уравнения (5) могут быть решены двумя очень распространенными в кинематике способами: графическим или аналитическим, при условии, если в них содержится только две неизвестные. При этом под неизвестными отдельно понимаются модуль (величина) или направление какого-то из векторов. Чаще всего при решении задач можно встретить два случая. Первый, когда из (5) необходимо найти величину и направление одного вектора или , а для остальных векторов величины и направления (углы с одной из осей Х или Y) заданы или легко находятся по исходным данным задачи. Второй случай, когда все вектора в одном из выражений (5) известны по направлению, а надо найти величины двух из них, например .

Графический способ предполагает рисование векторов, входящих в (5) с использованием заранее выбранного масштаба. Тогда при сложении векторов конец первого является началом второго вектора или через него проводят прямую, если известно только направление второго вектора. Результирующий вектор проводят из начала первого к концу последнего из складываемых векторов. В результате графического решения получается замкнутый многоугольник (треугольник), в котором искомые по величине вектора измеряют и умножают на выбранный масштаб для определения их величины (рис. 4).

Рассмотрим пример, в котором известные величины или направления векторов обозначим внизу штрихом, а неизвестные знаком вопроса

направления

величины векторов

Однако наиболее часто применяется второй аналитический способ решения уравнений (5), когда их проецируют почленно на выбранные оси X и Y, а затем решают полученную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. В рассмотренном выше примере, когда вектор задан по величине и направлению (ось X выбрана по направлению ), а вектора известны только по направлениям, заданными углами с осью X проецирование векторного уравнения на оси дает следующий результат:

для оси Х:

для оси Y:

Решение последней системы уравнений позволяет определить величины векторов ( должно быть известно или определено по исходным данным, например путем дифференцирования уравнений движения, как показано в (2) и (3)).

Рассмотрим две конкретные задачи с использованием уравнений (5) для сложного движения точки.

Задача 1

Здесь рычаг манипулятора поворачивается в горизонтальной плоскости и одновременно вдоль рычага перемещается ползун с захватом (материальная точка А) (рис. 5).

Рис. 5

Дано: (рад.), (м).

Найти: при t=1 c.

Решение: Движение точки А является сложным: относительное движение вдоль рычага и переносное, т. е. поворот вместе с рычагом.

Сначала определим положение точки А в её относительном движении при

t=1 c и найдем в этом положении по величине и направлению.

Для относительного движения

т. к. движение по прямой вдоль оси Х, то и аналогично

Для переносного движения:

– угловая скорость переносного движения;

– его угловое ускорение (знак « - » у we , полученный после дифференцирования и подстановки значения t означает, что направление вращения против положительного отсчета координаты j, принятого в задаче, а знак « + » у ee означает, что направление ускорения совпадает с j);

– вращательная скорость перпендикулярна радиусу ОА и направлена в сторону we;

– перпендикулярна радиусу в сторону ee;

– по радиусу к центру О.

.

Итак , т. к. перпендикулярно , то последнее уравнение можно не проецировать на оси Х и Y, а использовать теорему Пифагора

После проецирования на оси Х и Y получим

Задача 2

Рассмотрим случай, когда абсолютные кинематические характеристики движения рассматриваемой точки легко находятся, а с помощью уравнений (5) определяются характеристики переносного и относительного движения в определенном заданном положении механизма (рис. 6).

Дано: V1 =0,2 м/с, а1 =0,1 м/с2, j=60°, Н=0,5 м.

Найти: w3, e3.

Решение: Механизм состоит из трех звеньев: звено 1 – шток гидроцилиндра (ведущее); звено 2 – ползун (промежуточное), которое скользит вдоль звена 3 – кулиса (ведомое). Тем самым поступательное движение звена 1 преобразовывается в поворотное звена 3.

Рис. 6

При решении применяется распространенный прием кинематики: переход от одного звена к другому через их общую точку (здесь точка А). При этом учитывается, что кинематические характеристики этой точки одинаковы, но они определяются сначала по формулам и правилам движения первого звена, а затем второго соединенного с ним.

В данном случае звено 1 совершает поступательное движение по прямой (подробнее такое движение рассмотрено ниже), а значит характеристики движения всех точек в данный момент одинаковы, т. е. . При этом для точки А звена 1 это характеристики относительно неподвижной системы отсчета, т. е. абсолютные. Для этой же точки звена 2 (его можно принять материальной точкой) уже можно говорить о сложном движении, т. к. точка А скользит вдоль кулисы 3 (относительное движение) и поворачивается вместе с ней вокруг центра О (переносное). Таким образом, легко разложить найденные выше характеристики абсолютного движения на характеристики переносного и относительного движения точки А звена 2 (рис. 6).

Учитывая, что перпендикулярен , последнее уравнение можно не проецировать на оси Х и Y, а сразу записать

Если вращательная скорость точки А звена 2 и звена 3 с радиусом вращения ОА, то угловую скорость звена 3 можно найти так

рад/с.

Аналогично рассуждая можно для ускорений получить с учетом (5) следующее


Здесь м/с2

м/с2.

Спроецировав последнее векторное уравнение на оси Х и Y с учетом направлений векторов, показанных на рис. 6 получим

.

Можно обратить внимание, что взаимно перпендикулярные вектораи позволяют находить проекцию на одну ось через синус, а на другую ось через косинус одного угла j. То же справедливо и для одного какого-то вектора при его проецировании на ось Х, а затем ось Y .

Решая последнюю систему относительно двух неизвестных , т. е. модулей соответствующих векторов легко можно найти их значения. Если в результате расчетов значение окажется со знаком « - », то соответствующий вектор направлен противоположно направлению первоначально принятому на рис. 6 (вектора могут быть определены по направлению точно, по ранее рассмотренным правилам).

Угловое ускорение звена e3 совпадает с направлением вектора , а величина его находится с учетом радиуса вращения точки А звеньев 2 и 3, т. е.

Кинематика твердого тела

В данном разделе будут рассмотрены только три наиболее часто встречающихся в механизмах движения его звеньев (твердых тел).

Поступательное движение

Если тело перемещается параллельно самому себе, то такое движение называется поступательным. В этом случае в рассматриваемый момент времени скорости всех точек тела одинаковы, а также одинаковы их ускорения. Поэтому при поступательном движении достаточно определить кинематические характеристики только одной точки тела (на этом и основано понятие материальной точки).

Частным случаем поступательного движения является движение по прямой (см. задачу 2, звено 1), когда траектории всех точек прямые. Однако, при поступательном движении траектории отдельных точек тела могут быть криволинейными. Например, движение автомобиля по холмистой местности, при условии, что можно пренебречь угловыми смещениями его (качкой) в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Другой пример, показанный на рис. 7, направляющие тела в виде шарнирного параллелограмма.

Рис. 7

Вращение тела вокруг неподвижной оси

В качестве одной координаты, определяющей положение тела, может быть взят угол j между неподвижной плоскостью и плоскостью, связанной с телом и проходящими через ось вращения (рис. 8).

Тогда уравнение движения тела пример вид . Знак «-» у производных в определенный момент времени означает, что направления w и e противоположны принятому для уравнения движения положительному направлению отсчета угла j.

При этом угловые кинематические характеристики j, w, e – одинаковы для всех точек тела в данный момент времени. Линейные характеристики отдельной точки А тела зависят от угловой скорости и углового ускорения тела (w, e ), а также от радиуса вращения точки A1(rA).

При решении задач необходимо вспомнить уравнения вращательного движения: равномерного – и

равнопеременного:

Линейная скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси определяется по формуле . С помощью последней формулы определяется нормальное и касательное ускорение . Касательное ускорение всегда направлено по касательной к траектории движения в данной точке, нормальное направлено перпендикулярно к касательной в сторону вогнутости кривой.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4