«Математические методы в экономике» (стр. 2 )

4.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу (практические занятия и лабораторные работы).

Практическое занятие №1. Измерение риска проектов

По представленным данным выбрать наименее рисковый проект. Варианты выбора изобразить в декартовой системе координат.

Практическое занятие №2. Стратегические антагонистические игры.

Найти минимакс и максимин для платежных матриц

Найти седловые точки платежных матриц

Сократить платежные матрицы, используя принцип доминирования стратегий.

Решить симметрическую игру.

Решить аналитически и графически игры 2*2

Построить платежную матрицу игры, удовлетворяющую указанным условиям.

Решить антагонистическую игру вида m*n симплекс методом.

Практическое занятие №3. Стратегические биматричные игры.

Решить биматричную игру: найти равновесие по Нэшу и оптимальность по Парето.

Построить область решений.

Практическое занятие №4. Принятие решение в условиях полной неопределенности

Найти оптимальные стратегии игрока, используя все известные критерии. Сравнить полученные результаты.

Вычислить матрицу рисков и найти оптимальную стратегию

Практическое занятие №5. Принятие решений в условиях риска.

По представленным данным определить суточный выпуск продукции фирмы, при котором среднесуточная прибыль будет максимальной.

По представленным данным определить объем выпуска продукции и цену продажи
, при которых прибыль будет максимальной.

Практическое занятие №6. Анализ и решение задач с помощью дерева решений.

На основе таблицы выигрышей построить дерево решений. Выбрать оптимальное решение.

Практическое занятие №7. Определение ожидаемой ценности точной информации

На основе таблицы выигрышей построить дерево решений. Выбрать оптимальное решение. Вычислить ожидаемую ценность информации.

Практическое занятие №8. Статистические игры.

На основе представленных данных о проектах распределить капиталовложения с наибольшей эффективностью. Использовать принцип стратегических игр, принцип Гурвица.

Практическое занятие №9. Определение индивидуальной функции полезности

На основе представленных данных определить функции полезности руководителя фирмы. Построить график функции полезности.

Практическое занятие №10. Страхование от риска

На основе представленных данных определить оптимальную величину страхования.

На основе представленных данных определить оптимальную плату за страхование.

Практическое занятие №11. Динамическая модель планирования финансов

На основе представленных данных о проектах определить эффективное размещение инвестиций.

На основе представленных данных о проектах определить максимальную прибыль от вложения средств.

Практическое занятие №12. Определение эффективных проектов.

На основе представленных данных о проектах определить наиболее прибыльный проект. Использовать методы чистой текущей стоимости, индекса рентабельности инвестиции, внутренней нормы рентабельности инвестиции.

Практическое занятие №13. Статистический контроль изделий и вероятность перебоев производства.

На основе представленных данных о партии готовых изделий определить оптимальное число приемки.

На основе представленных данных о партии готовых изделий определить оптимальное число приемки при предположении, что доля бракованных изделий подчинена бета-распределению. Построить график распределения.

Практическое занятие №14. Проектирование маршрутов городского транспорта.

На основе представленных данных выбрать оптимальный маршрут городского транспорта.

5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

5.1. Рекомендуемая литература:

Основная литература

1.  Лагоша рисковых ситуаций в экномике и бизнесе: учеб. пособие для студ. вузов – М.: Финансы и статистика, 2001 гриф

2.  Воронцовский, рисками : Учеб. пособие / ; Экон. фак. СПб гос. ун-та. - 2.изд.,испр. и доп. - СПб. : ОЦЭиМ, 2004.

3.  Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : Учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по спец."Статистика","Матем. методы в экон.","Прикладная информатика и др.;Под ред. Б.А. Лагоши. - 2 изд.,перераб. и доп. - М. : Финансы и статистика, 2003. гриф

Дополнительная литература

1.  Нейман Дж., Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. — М.: Наука, 1970.

2.  , Первозванская рынок: расчет и риск. — М.: Инфра, 1992.

3.  Савчук эффективности инвестиционных проектов.

4.  Непомнящий проектирование.

5.  , Кошечкин анализ риска инвестиционных проектов.

6.  Шелобаев -математические методы и модели. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005

7.  Финансовая математика. – М.: Финансы и статистика, 2004

8.  Шапкин, А. С.. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. - М.: Издательско-торговая корпорация " Дашков и К ", 20c.: ил.

6. Примерные зачетные тестовые задания.

Вариант 1

1. Акционерному обществу предлагаются два рисковых проекта:

Ставка дисконтирования
r=6%, уровень инфляции 3%

Какой проект должны выбрать акционеры исходя из максимизации прибыли?

2. Решить графически игру: .

3. Спрос на некоторой товар, производимый монополистом, определяется зависимостью Q=150-5p+4j, где Q – количество товара, j – достоверно неизвестный уровень дохода потребителей, p – цена товара. По оценке экспертов, .

Полные затраты на производство товара определяются зависимостью Z=5+4Q+0.005Q2. Сколько товара должен выпускать монополист и по какой цене продавать, чтобы максимизировать свою ожидаемую прибыль?

4. Найти наилучшие стратегии по всем известным критериям, применительно к матрице рисков для следующей платежной матрицы игры с природой:

5. При крупном автомобильном магазине планируется открыть мастерскую по предпродажному обслуживанию и гарантийному ремонту автомобилей. Консультационная фирма готова предоставить дополнительную информацию о том, будет ли рынок благоприятным или нет. Эти сведения обойдутся магазину в 13 тыс. руб. Администрация магазина считает, что эта информация гарантирует благоприятный рынок с вероятностью 0,5. Если рынок будет благоприятным, то большая мастерская принесет прибыль в 60 тыс. руб., а маленькая - 30 тыс. руб. При неблагоприятном рынке магазин потеряет 65 тыс. руб., если будет открыта большая мастерская, и 30 тыс. руб.- если откроется маленькая. Не имея дополнительной информации, директор оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,6. Положительный результат обследования гарантирует благоприятный рывок с вероятностью 0,8 При отрицательном результате рынок может оказаться благоприятным с вероятностью 0,3. Постройте дерево решений и определите:

Следует ли заказать консультационной фирме дополнительную информацию, уточняющую конъюнктуру рынка?

Какую мастерскую следует открыть при магазине: большую или маленькую?

Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения?

Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?

6. Пусть функция полезности «нового русского» имеет вид: U{W) = 10 + 2W, где W - денежный выигрыш.

Бизнесмен может вложить в строительство магазина 25 тыс. руб. и считает, что с вероятностью 0,5 он получит прибыль в 32 тыс. руб. и с вероятностью 0,5 потеряет весь свой капитал. Определите:

Следует ли осуществлять инвестирование проекта?

Если будет сделано инвестирование, то какова ожидаемая полезность этого мероприятия?

7. Предприятие рассматривает целесообразность приобретения новой технологической линии. Стоимость линии составляет 12 млн. руб.; срок эксплуатации - 5 лет; износ на оборудование начисляется по методу прямолинейной амортизации, т. е. 20% годовых; ликвидационная стоимость оборудования будет достаточна для покрытия расходов, связанных с демонтажем линии. Выручка от реализации продукции прогнозируется по годам в следующих объемах (в тыс. руб.): 5200, 6300, 8000, 7500, 6000. Текущие расходы по годам оцениваются следующим образом: 3700 тыс. руб. в первый год эксплуатации линии с последующим ежегодным ростом их на 5%. Ставка налога на прибыль составляет 27%. Сложившееся финансово-хозяйственное положение предприятия таково, что коэффициент рентабельности авансированного капитала составлял 19-20 процента; "цена" авансированного капитала составляла 15%. В соответствии со сложившейся практикой принятия решений в области инвестиционной политики руководство предприятия не считает целесообразным участвовать в проектах со сроком окупаемости более четырех лет. Целесообразен ли данный проект к реализации?

Оценка выполняется в три этапа: 1) расчет исходных показателей по годам; 2) расчет аналитических коэффициентов; 3) анализ коэффициентов.

Вариант 2

1. Акционерному обществу предлагаются три рисковых проекта:

Ставка дисконтирования r=4%, уровень инфляции 8%

Какой проект должны выбрать акционеры исходя из максимизации прибыли?

2. Решить графически игру: .

3. Спрос на некоторой товар, производимый монополистом, определяется зависимостью Q=150-10p+41j, где Q – количество товара, j – достоверно неизвестный уровень дохода потребителей, p – цена товара. По оценке экспертов, .

Полные затраты на производство товара определяются зависимостью Z=7+2Q+0.003Q2. Сколько товара должен выпускать монополист и по какой цене продавать, чтобы максимизировать свою ожидаемую прибыль?

4. Найти наилучшие стратегии по всем известным критериям, применительно к матрице рисков для следующей платежной матрицы игры с природой:

5. Фирма, производящая вычислительную технику, провела анализ рынка нового высокопроизводительного персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250 тыс. руб., а при неблагоприятных условиях фирма понесет убытки в 185 тыс. руб. Небольшая партия техники в случае ее успешной реализации принесет фирме 50 тыс. руб. прибыли и 10 тыс. руб. убытков - при неблагоприятных внешних условиях. Возможность благоприятного и неблагоприятного исходов фирма оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести эксперт, обошлось фирме в 15 тыс. руб. Эксперт считает, что с вероятностью 0,6 рынок окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении благоприятные условия ожидаются лишь с вероятностью 0,8. При отрицательном заключении с вероятностью 0,15 рынок также может оказаться благоприятным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь фирме выбрать правильную технико-экономическую стратегию. Ответьте на следующие вопросы:

Следует ли заказывать эксперту дополнительное обследование рынка?

Какую максимальную сумму фирма может выплатить эксперту за проделанную работу?

Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения?

6. Пусть функция полезности «нового русского» имеет вид: U{W) = 15 - W, где W - денежный выигрыш.

Бизнесмен может вложить в строительство магазина 20 тыс. руб. и считает, что с вероятностью 0,6 он получит прибыль в 35 тыс. руб. и с вероятностью 0,4 потеряет весь свой капитал. Определите:

Следует ли осуществлять инвестирование проекта?

Если будет сделано инвестирование, то какова ожидаемая полезность этого мероприятия?

7. Предприятие рассматривает целесообразность приобретения новой технологической линии. Стоимость линии составляет 10 млн. руб.; срок эксплуатации - 5 лет; износ на оборудование начисляется по методу прямолинейной амортизации, т. е. 20% годовых; ликвидационная стоимость оборудования будет достаточна для покрытия расходов, связанных с демонтажем линии. Выручка от реализации продукции прогнозируется по годам в следующих объемах (в тыс. руб.): 6800, 7400, 8200, 8000, 6000. Текущие расходы по годам оцениваются следующим образом: 3400 тыс. руб. в первый год эксплуатации линии с последующим ежегодным ростом их на 3%. Ставка налога на прибыль составляет 30%. Сложившееся финансово-хозяйственное положение предприятия таково, что коэффициент рентабельности авансированного капитала составлял 21-22 процента; "цена" авансированного капитала составляла 19%. В соответствии со сложившейся практикой принятия решений в области инвестиционной политики руководство предприятия не считает целесообразным участвовать в проектах со сроком окупаемости более четырех лет. Целесообразен ли данный проект к реализации?

Оценка выполняется в три этапа: 1) расчет исходных показателей по годам; 2) расчет аналитических коэффициентов; 3) анализ коэффициентов.

7. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).

2.  Максиминные и минимаксные стратегии. Седловая точка.

4.  Ситуация равновесия в антагонистической игре.

8. Практикум по решению задач.

Примеры решения задач.

Задача №1

Акционерному обществу для внедрения предлагают два рисковых проекта:

Ставка дисконтирования r=6%.

Какой проект должны выбрать акционеры исходя из максимизации прибыли?

Решение.

1. Вычислить доходность - математическое ожидание поступлений за три года с учетом ставки дисконтирования.

Проект 1:

Проект 2:

2. Вычислить меру риска – среднеквадратическое отклонение.

Проект 1:

Проект 2:

3. Вычислить относительную доходность.

Проект 1:

Проект 2:

Вывод: Необходимо выбрать проект 1, так как он является наименее рискованным и принесет наибольшую относительную прибыль.

Задача №2

Крупная фирма предполагает приобрести пакет акций одного из трех предприятий (П1, П2, П3).

Прибыль, которую получит фирма от покупки акций, не может быть точно известна заранее, так как она зависит от того, как будет изменяться стоимость этих акций. Возможные величины прибыли фирмы от покупки акций предприятий (в млн. ден. ед.) приведены в таблице

Величины в таблице обозначают следующее: если, например, фирма приобретет пакет акций предприятия П1, и их стоимость будет расти, то прибыль фирмы составит 10 млн. ден. ед. Если стоимость акций предприятия П1 будет оставаться стабильной, то прибыль фирмы составит 6 млн. ден. ед. В случае снижения стоимости акций фирма понесет убыток в размере 7 млн. ден. ед.

Согласно имеющимся экспертным оценкам, возможны четыре сценария развития экономической ситуации (С1, С2, С3, С4):

• сценарий С1: стоимость акций предприятий П1 и П2 остается стабильной, стоимость акций предприятия П3 растет;

• сценарий С2: стоимость акций П1 снижается, П2 и П3 – растет;

• сценарий С3: стоимость акций П1 растет, П2 и П3 – снижается;

• сценарий С4: стоимость акций всех предприятий остается стабильной.

Требуется определить, какой пакет акций следует приобрести фирме, чтобы получить максимальную прибыль.

Решение.

Данная задача решается в условиях риска и неопределенности, так как прибыль фирмы зависит не только от ее решения (т. е. от того, какой пакет акций она купит), но и от внешних условий (от сценария развития экономической ситуации).

При решении этой задачи важно понимать, что при покупке акций еще неизвестно, по какому сценарию будет развиваться экономическая ситуация. Влиять на этот сценарий невозможно. Следует также обратить внимание, что фирма может приобрести пакет акций только одного предприятия.

1. Составим матрицу выигрышей. Для этого найдем, какой будет прибыль фирмы для различных решений (т. е. при покупке различных пакетов акций) в разных внешних условиях.

Предположим, что фирма купит пакет акций предприятия П1.

§  Если экономическая ситуация будет развиваться по сценарию С1, то фирма получит прибыль в размере 6 млн. ден. ед., так как при таком сценарии стоимость акций предприятия П1 будет оставаться стабильной.

§  Если экономическая ситуация будет развиваться по сценарию С2, то фирма понесет убыток в размере 7 млн. ден. ед., так как при таком сценарии стоимость акций П1 снизится.

§  При сценарии С3 фирма получит прибыль в размере 10 млн. ден. ед., так как стоимость акций П1 возрастет.

§  При сценарии С4 прибыль фирмы составит 6 млн. ден. ед., так как стоимость акций П1 будет оставаться стабильной.

Выполнив аналогичные рассуждения для всех вариантов решения (покупка пакета акций П1, П2 или П3) и для всех вариантов внешних условий (сценарий С1, С2, С3 или С4), получим матрицу А выигрышей

На основании этой матрицы требуется выбрать одно из решений, т. е. определить, какой пакет акций следует приобрести с помощью критериев принятия решений в условиях неопределенности.

2. Вычисление критериев.

Критерий Вальда:

, что соответствует третьей оптимальной стратегии

Максимаксный критерий:

, что соответствует первой оптимальной стратегии

Критерий Байеса-Лапласа в предположении, что все сценарии равновероятны (т. е. ):

, что соответствует третьей оптимальной стратегии

Критерий Сэвиджа: определим матрицу риска , где

,

, что соответствует третьей оптимальной стратегии

Вывод: Согласно трем из четырех критериев, оптимальной стратегией является третья, то есть фирме необходимо купить пакет акций третьего предприятия.

Задача №3

Спрос на некоторый товар, производимый монополистом, определяется зависимостью Q = 1*р + 8*i, где i - достоверно неизвестный уровень дохода потребителей, р - цена товара.

По оценкам экспертов

Полные затраты на производство товара определяются зависимостью ПЗ = 5 + 4Q + 0,05Q2. Сколько товара должен выпускать монополист, и по какой цене продавать, чтобы максимизировать свою ожидаемую прибыль и минимизировать риск?

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3