В частности, если , то отображение A*: V→V называется сопряженным к оператору A, если (Ax, y) = (x, A*y) .

Теорема о линейности сопряженного оператора

Оператор, сопряженный к линейному оператору, также является линейным оператором.

Теорема о существовании и единственности сопряженного оператора

Для любого оператора существует, и притом единственный, сопряженный оператор.

Свойства сопряженного оператора

Операция сопряжения линейного оператора обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

5)

Данные свойства выполнены для любых операторов, для которых определены данные операции.

Биортогональные базисы

Две системы векторов и в унитарном (или евклидовом) пространстве называют биортогональной системой, если , где - символ Кронекера, т. е. .

Биортогональная система двух базисов линейного пространства и называется биортогональной парой базисов.

Теорема о матрицах двух сопряженных операторов в паре биортогональных базисов

В паре биортогональных базисов и унитарного (евклидова) пространства матрицы операторов и связаны соотношением: (A*)f = (Ae)H.

То есть, матрица сопряженного оператора в базисе равна сопряженной матрице исходного оператора в базисе .

(Напомним, что сопряженная к матрице A получается в результате ее транспонирования и комплексного сопряжения всех элементов: AH =  ).

Самосопряженный оператор

Линейный оператор , действующий в унитарном (или евклидовом) пространстве, называется самосопряженным, если , то есть, .

В евклидовом пространстве такой оператор называют самосопряженным (или симметрическим), а в унитарном пространстве – эрмитовым.

Свойства самосопряженного оператора

1)  Самосопряженный оператор нормален.

2)  Оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет самосопряженную матрицу

3)  Определитель самосопряженного оператора вещественен.

4)  Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного оператора , то подпространство тоже инвариантно относительно этого оператора

5)  Самосопряженный оператор в любом инвариантном подпространстве индуцирует самосопряженный оператор.

Спектральная характеристика самосопряженного оператора

Нормальный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве самосопряжен тогда и только тогда, когда все корни его характеристического многочлена вещественны (действительны).

Таким образом, у самосопряженного оператора все корни его характеристического многочлена являются вещественными (действительными).

Каноническая форма матрицы самосопряженного оператора

Оператор, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, самосопряжен тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет вещественна (действительна) и диагональна. Любая такая матрица самосопряженного оператора называется его канонической матрицей.

Нормальный оператор

Пусть - унитарное или евклидово пространство. Линейный оператор называется нормальным оператором, если

Теорема о собственных векторах нормального и сопряженного к нему оператора

Собственный вектор нормального оператора, соответствующий собственному значению , является собственным вектором сопряженного оператора, соответствующим собственному значению .

Теорема о собственных векторах нормального оператора, соответствующих различным собственным значениям

Собственные векторы нормального оператора, соответствующие различным собственным значениям, попарно ортогональны.

Критерий нормальности оператора в унитарном пространстве

Оператор, действующий в унитарном пространстве, нормален тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис из его собственных векторов.

Лекция № 14. Раздел 7. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве

Темы:

7.2. Ортогональный (унитарный) оператор

7.3. Эрмитов оператор

7.2. Ортогональный (унитарный) оператор

Ортогональный (унитарный) оператор

Линейный оператор , действующий в унитарном (или евклидовом) пространстве, называется унитарным (соответственно, ортогональным) оператором, если , где - единичный оператор.

Ортогональная (унитарная) матрица

Матрица U из Сnxn называется унитарной, если .

Матрица Q из Rnxn называется ортогональной, если .

Замечание: обозначение обозначает комплексное сопряжение, т. е. матрицу U транспонируют, и все элементы полученной матрицы заменяют на комплексно сопряженные.

Три свойства унитарного и ортогонального операторов

Пусть дан унитарный (ортогональный) оператор . Тогда

1)

2) Его матрица в любом ортонормированном базисе ортогональна.

3) Оператор U сохраняет скалярное произведение: . В частности, он сохраняет длину. Иногда именно это свойство постулируют в качестве определения унитарного (ортогонального) оператора.

Критерий унитарности оператора

В унитарном (евклидовом) пространстве следующие утверждения равносильны:

1) Оператор унитарен (ортогонален)

2)

3)

4) Оператор сохраняет скалярное произведение:

5) Оператор сохраняет длину:

6) Оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис

7) Оператор переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис

Спектральная характеристика унитарного оператора

Нормальный оператор в унитарном пространстве унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны единице: .

Таким образом, у унитарного оператора все корни его собственные значения по модулю равны единице.

В частности, у ортогонального оператора в евклидовом пространстве все его собственные значения равны .

Каноническая форма матрицы унитарного оператора

В пространстве существует ортонормированный базис , в котором матрица унитарного оператора имеет диагональную форму:

, где .

Такая форма матрицы называется канонической формой матрицы унитарного оператора.

Каноническая форма матрицы ортогонального оператора

Для любого ортогонального оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет квазидиагональную форму с клетками вида:

, на главной диагонали.

7.3. Эрмитов оператор

Эрмитов оператор

Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называется эрмитовым.

Эрмитова матрица

Эрмитовой матрицей U называют комплексную самосопряженную матрицу - такую, для которой .

Прямая сумма линейных операторов

Если - прямая сумма подпространств линейного пространства , инвариантных относительно линейного оператора , то оператор называется прямой суммой индуцированных операторов .

Иными словами, для любого вектора с разложением , , , имеет место равенство .

Корневой вектор линейного оператора

Пусть - собственное значение оператора . Вектор называется корневым вектором оператора , соответствующим собственному значению , если при некотором .

Высота корневого вектора

Высотой корневого вектора x, соответствующего собственному значению , называется такое наименьшее число , что .

Присоединенный вектор

Корневые векторы высоты называются присоединенными векторами -го порядка.

Таким образом, корневой вектор – это либо нулевой вектор, либо собственный вектор, либо присоединенный вектор.

Корневое подпространство линейного оператора

Множество всех корневых векторов линейного оператора , соответствующих собственному значению , называется корневым подпространством линейного оператора , соответствующим собственному значению .

Обозначение корневого подпространства:

Лекция № 18 (обзорная). Разделы 1-9 (обзор). Примеры задач, решаемых с помощью освоенных методов.

Применение аппарата билинейных функций и линейных операторов для решения задачи приведения к каноническому виду уравнения кривых и поверхностей второго порядка. Указание нового (канонического) базиса. Схематическое изображение кривой (поверхности) в «новом» и в «старом» базисах.

Применение метода нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора для решения некорректно поставленных задач в частности, несовместных систем линейных алгебраических уравнений.

Применение жордановой формы матрицы для решения систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Применение жордановой формы матрицы оператора для вычисления n-й степени оператора, нахождения функций от оператора – вида eA.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4