Критерий скалярного произведения

Пусть - вещественное линейное пространство. Отображение представляет собой скалярное произведение в пространстве тогда и только тогда, когда оно является симметричной билинейной формой, полярной к положительно определенной квадратичной форме.

Билинейные и квадратичные формы

в евклидовом (унитарном) линейном пространстве

Теорема о соответствии между квадратичными формами и симметрическими линейными преобразованиями

Для любой квадратичной формы f(x) =  в евклидовом пространстве существует, и притом единственный, симметрический оператор (точнее, линейное преобразование) , такой что , где - скалярное произведение векторов и .

Линейный функционал

Линейный оператор, отображающий векторы линейного пространства в основное поле, называется линейным функционалом, или линейной формой.

Простейшие свойства линейных операторов

1)  Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор

2)  Линейный оператор сохраняет линейные комбинации.

3)  Линейный оператор сохраняет линейную зависимость

5.2. Отдельные виды линейных операторов

Оператор проектирования

Пусть линейное пространство V является прямой суммой двух своих подпространств V1 и V2: . При этом любой вектор x линейного пространства V можно (единственным образом) представить в виде суммы двух векторов из этих подпространств: , где , а .

Отображение , определенное правилом , называется оператором проектирования пространства на подпространство параллельно . Отображение D является линейным.

Оператор отражения

Пусть линейное пространство V является прямой суммой двух своих подпространств V1 и V2: . При этом любой вектор x линейного пространства V можно (единственным образом) представить в виде суммы двух векторов из этих подпространств: , где , а .

Отображение , определенное правилом , называется оператором отражения пространства относительно . Отображение R является линейным.

Нулевой оператор

Отображение , которое каждый вектор переводит в нулевой вектор , называется нулевым оператором. Нулевой оператор является линейным.

Единичный оператор

Отображение , которое каждый вектор переводит в него же, называется единичным оператором.

5.3. Матрица линейного оператора, линейной формы

Матрица линейного оператора

Пусть и - базисы линейных пространств и соответственно. Линейный оператор однозначно определяется заданием векторов . В свою очередь, эти векторы однозначно определены своими координатами в базисе , т. е. коэффициентами разложений:

Матрица называется матрицей оператора в паре базисов и .

Теорема о соответствии между матрицами и линейными операторами

Пусть , , тогда существует взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и матрицами из .

Теорема об изменении матрицы линейного оператора при переходе от одной пары базисов к другой

Матрицы и линейного оператора в различных парах базисов (e, f) и (t, s) связаны соотношением , где и - соответствующие матрицы перехода.

Координаты образа вектора

Пусть даны два линейных пространства V и W с базисами e = (e1, …, en) и f = (f1, …, fm) соответственно. Пусть A – линейный оператор из V в W c матрицей Afe в паре базисов (e, f). Пусть A отображает вектор x (с координатами Xe = (x1, … xn) в базисе e) в вектор Ax = y (с координатами Yf = (y1, …, ym) в базисе f). Тогда

Yf = AfeXe.

Учитывая, что , , , можно выразить координаты вектора y через координаты вектора x и элементы матрицы A следующим образом :

,

Полный прообраз вектора

Пусть дан оператор и пусть , где , .

Тогда вектор называется прообразом вектора .

Полным прообразом вектора называется множество всех векторов , для которых .

Образ оператора

Образом линейного оператора (обозначается ImA) называется множество всех его значений в W. То есть, .

Ядро оператора

Ядром линейного оператора (обозначается kerA) называется множество всех векторов, образом которых является ноль-вектор. То есть,.

Ранг линейного оператора

Рангом линейного оператора A (обозначается rgA) называется размерность его образа:

Дефект линейного оператора

Дефектом (обозначается defA) линейного оператора A называется размерность его ядра:

Теорема о ранге линейного оператора

Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в произвольной паре базисов.

То есть, для любой пары базисов (e, f) выполняется равенство:

Теорема о ранге и дефекте

Если , то .

То есть, сумма ранга и дефекта оператора всегда равна размерности пространства прообразов.

5.5. Пространство линейных операторов

Сумма линейных операторов

Суммой A+B линейных операторов называется отображение , определяемое следующим образом:,

Таким образом, по определению,

(A+B)x = Ax + Bx.

Произведение линейного оператора на число

Произведением линейного оператора на число (обозначается ) называется отображение , определяемое следующим образом: .

Таким образом, по определению, для любого вектора x и любого числа

Пространство линейных операторов

Множество линейных операторов, действующих из в , является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число.

Теорема о пространстве линейных операторов

Множество - линейное пространство над полем относительно введенных выше операций сложения и умножения на число.

Изоморфизм линейных операторов

Если , , то линейное пространство операторов изоморфно пространству матриц

Произведение линейных операторов

Пусть - линейные пространства над полем . Произведением линейных операторов и (обозначается ) называется отображение , определяемое следующим образом: .

Таким образом, по определению,

.

Сопряженное пространство

Множество всех линейных форм в линейном пространстве образует линейное пространство относительно операций сложения и умножения на число:

Линейное пространство всех линейных форм на пространстве называют сопряженным пространством к пространству и обозначают .

Алгебра линейных операторов

Линейное пространство над полем , которое является кольцом и удовлетворяет условиям , называется алгеброй (или линейного алгеброй) над полем .

Согласно этому, линейное пространство операторов, действующих в линейных пространствах над полем P, является алгеброй над этим полем.

Многочлен от оператора

Как и в любом кольце, оператор можно возводить в степень , и если - некий произвольный многочлен над полем от переменной , то однозначно определен оператор , называемый многочленом от оператора .

Определитель линейного оператора

Определителем линейного оператора называется определитель матрицы этого оператора в произвольном базисе.

Обратный оператор

Пусть дан оператор (то есть, линейное преобразование). Отображение называется обратным оператором к оператору , если

Теорема о виде матрицы произвольного линейного оператора в паре канонических базисов

Пусть , , , . Тогда существуют базисы и пространств и , в которых оператор имеет матрицу вида:

, в которой все элементы равны нулю, кроме первых диагональных элементов, равных 1.

Теорема о матрице обратного оператора

Матрица оператора в произвольном базисе является обратной к матрице оператора в том же базисе.

Лекция № 11. Раздел 6. Линейные преобразования

Темы:

6.1. Собственное значение, собственный вектор

Линейные операторы, действующие в одном (произвольном) линейном пространстве

Линейный оператор, действующий в одном линейном пространстве

Линейное отображение называется линейным преобразованием пространства в себя, или линейным оператором, действующем в пространстве .

Матрица линейного оператора, действующего в одном линейном пространстве

Матрица оператора представляет собой квадратную матрицу..

Инвариантное подпространство

Пусть - линейное пространство над полем , и дан линейный оператор .

Линейное подпространство пространства называется инвариантным подпространством относительно оператора , если , т. е. при действии этого оператора любой вектор из этого подпространства переходит в вектор, находящийся в том же подпространстве.

Индуцированный оператор

Пусть - подпространство пространства , инвариантное относительно . Отображение , определенное равенством , называют индуцированным оператором, порожденным оператором . Это отображение является линейным отображением из L в L.

Теорема о виде матрицы линейного оператора в пространстве – прямой сумме инвариантных подпространств

Если пространство является прямой суммой подпространств , инвариантных относительно оператора , то в пространстве существует базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональную форму.

Собственное значение линейного оператора

Пусть дан оператор . Если для какого-либо ненулевого вектора x выполняется равенство , то число называется собственным значением оператора.

Спектр линейного оператора

Спектром линейного оператора называется множество всех его собственных значений.

Собственный вектор линейного оператора

Пусть дан оператор . Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора , если существует такое число , для которого .

Теорема о собственных векторах с различными собственными значениями

Собственные векторы , соответствующие различным собственным значениям , линейно независимы.

Теорема о матрице линейного преобразования в базисе из собственных векторов

Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов представляет собой диагональную матрицу, на главной диагонали которой стоят соответствующие собственные значения.

Таким образом, такая матрица будет матрицей простой структуры.

Теорема о собственных значениях и собственных векторах в комплексном линейном пространстве

Произвольный линейный оператор , действующий в -мерном комплексном пространстве , имеет:

1) собственных значений, если их считать столько раз, какова их кратность, как корня характеристического многочлена

2) хотя бы один собственный вектор

3) на любом инвариантном подпространстве - хотя бы один собственный вектор

Критерий наличия у оператора простой структуры

Линейный оператор имеет простую структуру тогда и только тогда, когда пространство является прямой суммой всех его собственных подпространств:

Лекция № 12. Раздел 6. Линейные преобразования

Темы:

6.2. Характеристический многочлен линейного преобразования

Характеристический многочлен матрицы

Характеристическим многочленом квадратной матрицы называется функция вида , где - единичная матрица соответствующего размера

В этом определении говорится о произвольной квадратной матрице, которая не обязана быть матрицей какого-то линейного оператора (хотя между такими матрицами и линейными операторами при фиксировании базиса можно установить взаимно однозначное соответствие).

Подобные матрицы

Матрицы называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая что

Характеристический многочлен линейного оператора

Характеристическим многочленом линейного оператора называется характеристический многочлен его матрицы в произвольном базисе: , где - матрица оператора, - единичная матрица.

Теорема о характеристических многочленах подобных матриц

Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

Теорема о корнях характеристического многочлена и собственных значениях линейного оператора

Пусть - линейное пространство над полем . Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда - корень его характеристического многочлена.

Собственное подпространство линейного оператора

Пусть λ - некое собственное значение линейного оператора . Собственным подпространством линейного оператора , соответствующим собственному значению λ, называется множество Wλ векторов (включая и нулевой вектор), для которых Ax = λx.

Алгебраическая кратность собственного значения линейного оператора

Алгебраической кратностью собственного значения λ линейного оператора называется кратность числа λ, как корня характеристического многочлена.

Геометрическая кратность собственного значения линейного оператора

Геометрической кратностью собственного значения называется размерность собственного подпространства , соответствующего этому собственному значению.

Оператор простой структуры

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если в пространстве существует базис, состоящий только из его собственных векторов.

Матрица простой структуры

Квадратная матрица называется матрицей простой структуры, если она имеет n линейно независимых собственных векторов.

Теорема Гамильтона-Кэли

Линейный оператор, действующий в комплексном или вещественном пространстве, является корнем своего характеристического многочлена.

Лекция № 13. Раздел 7. Линейные операторы в евклидовом (унитарном) пространстве

Темы:

7.1. Сопряженный оператор, самосопряженный оператор

Линейные операторы,

действующие в (одном) евклидовом или унитарном пространстве

7.1. Сопряженный оператор, самосопряженный оператор

Сопряженный оператор

Пусть V и W – евклидовы пространства. Пусть дан оператор . Отображение называют сопряженным оператором к оператору , если , .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4