Практическая работа 5. Дисперсионный анализ (стр. 1 )

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цель работы: получение практических навыков статистической обработки многовариантных, многофакторных экспериментов, когда анализируется влияние одного, двух, трех и большего числа факторов на изменение величины какого-либо признака.

Порядок выполнения работы:

1.  Установление основных источников варьирования и определение объемов вариации по источникам образования.

2.  Определение числа степеней свободы вариации.

3.  Вычисление дисперсий и анализ соотношений между ними.

4.  Интерпретация полученных результатов анализа.

Дисперсионный анализ быстро вошел в употребление благодаря следующим основным преимуществам:

1.  В дисперсионном анализе используется обобщенная ошибка средних, которая опирается на большое число наблюдений.

2.  Этим методом можно обрабатывать данные простых и сложных, однолетних и многолетних, однофакторных и многофакторных опытов.

3.  Позволяет компактно в виде существенных разностей представить итоги статистической обработки.

При дисперсионном анализе проводят расчет дисперсий:

-  общей (дисперсия комплекса);

-  межгрупповой (факторная);

-  внутригрупповой (остаточная).

Общая дисперсия () измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

.

Межгрупповая дисперсия () характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.

,

где - групповые средние,

- численность единиц в группе.

Внутригрупповая дисперсия () отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки:

- для несгруппированных данных;

- для сгруппированных данных.

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется следующим образом:

.

Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

.

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий.

Правило сложения дисперсий широко применяется при исчислении показателей тесноты связи.

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации ():

.

Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение () характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака:

.

Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если , то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если , то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.

Дисперсионный анализ – метод оценки существенности различий нескольких средних. Его применяют при статистической обработке многовариантных, многофакторных опытов.

Критерий, используемый для оценки различий между выборочными средними, назван в честь Р. Фишера критерием F – распределения. Критерий F представляет собой отношение двух дисперсий:

где и - средние квадраты (дисперсии), рассчитанные по выборочным данным с учетом числа степеней свободы вариации[1].

Теоретическое значение F показывает случайную величину отношения двух дисперсий при данном уровне вероятности суждения и соответствующем числе степеней свободы анализируемых дисперсий. Критерий F связывают с вероятностью. Наиболее часто применяют уровни вероятности суждения – 0,95 и 0,99 (5 и 1%-ный уровни). Это означат, что только в пяти (в одном) случаях из 100 значение F может достигать табличного уровня или быть больше него для отношения дисперсий двух выборок, сделанных из одной и той же генеральной совокупности.

Табличное значение F используется как критерий для оценки фактических отношений дисперсий, рассчитанных по выборочным данным. Если Fфакт > F табл, мало вероятно, что такое отношение случайное. А, значит, и различия в вариации нельзя отнести только за счет случайного колебания их уровня, и разница между средними существенна. В случае, когда Fфакт ≤ F табл, при данном уровне вероятности суждения и соответствующем числе степеней свободы это означает, что различия между сравниваемыми дисперсиями находятся в пределах возможных случайных колебаний.

Порядок проведения дисперсионного анализа идентичен при простых моделях, когда группировочный признак один, и при сложных моделях, когда группировочных признаков два или больше. Но с увеличением числа группировочных признаков более сложен процесс расчленения вариации по источникам образования.

При группировке по одному признаку общий объем вариации можно разложить на вариацию, связанную с действием группировочного признака, и вариацию внутригрупповую (остаточную):

.

Исходные данные для проведения однофакторного дисперсионного анализа могут быть представлены в виде статистической таблицы (таблица 1).

Таблица 1

Исходные данные

При группировке по одному признаку группы могут быть равными и неравными, сформированы в случайном порядке, когда наблюдения одной группы не связаны с наблюдением другой группы, или неслучайном, когда наблюдения одной группы связаны с наблюдениями другой группы.

В опытах, где формируются группы соответственно числу повторностей по каждому варианту, схема дисперсионного анализа предусматривает исключение из общего объема вариации тех колебаний, которые обусловлены влиянием фактора, различиями в повторах и индивидуальными различиями внутри каждой группы.

Таким образом, общая сумма квадратов подразделяется на сумму квадратов отклонений вариантов опыта (групповая), сумму квадратов отклонений повторений и остаточную сумму квадратов:

.

Данные для обработки такого вида комплекса можно представить в виде статистической таблицы (таблица 2):

Таблица 2

Расположение данных в таблице для проведения дисперсионного анализа однофакторного сопряженного статистического комплекса

При группировке данных по двум признакам общая сумма квадратов отклонений будет иметь уже две групповые суммы квадратов и сумму квадратов отклонений взаимодействия факторов и остаточную:

.

Исходные данные для проведения двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями представлены в виде таблицы (таблица 3):

Таблица 3

Расположение данных в таблице для двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями

Если формирование групп будет неслучайным, разложение сумм квадратов усложнится. В итоге при группировке по двум признакам и неслучайном распределении повторностей по группам дисперсионный анализ проводится по следующей схеме:

.

После того, как определены суммы квадратов, необходимо установить степени свободы вариации, соответствующие каждой сумме квадратов.

При группировке данных по одному признаку и случайному распределению повторностей в группах общее число степеней свободы составит , для групповой вариации (количество средних k минус 1), для остаточной вариации (общее число степеней свободы минус число степеней свободы для групповой вариации). Определение числа степеней свободы при группировке по одному (двум) признакам и неслучайном распределении повторностей далее рассмотрено на конкретных примерах.

После определения числа степеней свободы и суммы квадратов отклонений рассчитываются групповая и остаточная дисперсии:

Дисперсия групповая () характеризует в среднем вариацию, обусловленную влиянием группировочного признака и определяется так:

.

Дисперсия остаточная () измеряет вариацию, обусловленную случайными причинами, которые не учитывались при распределении данных наблюдений на группы:

.

Если групповая дисперсия значительно больше остаточной, то фактор оказывает существенное влияние на величину признака. Фактическое отношение групповой дисперсии к остаточной () сравнивают с табличным значением F.

Отношение дисперсий групповой и остаточной позволяет сделать с определенной вероятностью вывод о том, достоверны ли различия в средних. Если есть необходимость сделать заключение об отдельных парах средних, этот вывод недостаточен.

Поэтому результаты дисперсионного анализа дополняются оценкой достоверности разности между двумя средними.

Для этого рассчитывается средняя ошибка выборочных средних на основе остаточной дисперсии:

.

Средняя ошибка разности двух средних - корень квадратный из суммы квадратов средних ошибок сравниваемых средних, но так как m2 одинакова для всех средних,

.

Принимая доверительный уровень вероятности по таблицам t Стьюдента, определяют критическую величину t.

На основе средней ошибки разности двух средних и tтабл вычисляют возможную предельную ошибку этой разности:

.

Предельная ошибка сопоставляется с разностью двух сравниваемых средних:

.

Если разница между средними больше по абсолютной величине возможной предельной ошибки, то делается вывод о существенности разности средних. Если же , то разница между средними лежит в границах возможных случайных колебаний, т. е. она недостоверна.

Величину принято называть наименьшей существенной разностью.

Рассмотрим дисперсионный анализ на конкретных примерах.

Пример 1.

Имеются данные о заработной плате 20 работников фирмы:

Таблица 4

Данные о заработной плате работников фирмы

Используя правило сложения дисперсий, определить степень влияния уровня образования работников на заработную плату, если работники со средним специальным образованием имеют заработную плату до 3,5 тыс. руб., с высшим – более 3,5 тыс. руб.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3