Методические указания к выполнению лабораторной работы «Эконометрическое моделирование функции спроса» по курсу «Экономико – математические моделирование» (стр. 3 )

в)  Задаются некоторой функцией от результатов наблюдений, которую называют критической статистикой. Она сама является случайной величиной и в предположении справедливости гипотезы Н0 подчинена некоторому хорошо изученному закону распределения.

г)  Из соответствующих таблиц распределения находятся критические точки, разделяющие всю область мыслимых значений данной статистики на три части: область неправдоподобно малых, неправдоподобно больших и естественных или правдоподобных (в условиях справедливости гипотезы Но) значений.

д)  Подсчитывают численную величину критической статистики, подставляя в функцию выборочные данные. Если вычисленное значение принадлежит области правдоподобных значений, то гипотеза Но считается не противоречащей выборочным данным. В противном случае, если вычисленное значение слишком мало или слишком велико, то делается вывод, что высказанное предположение Но ошибочно и от него следует отказаться в пользу альтернативной гипотезы.

В регрессионном анализе проверке статистической значимости подвергаются коэффициенты регрессии и корреляции. При этом соответственно используется t-статистика и F-статистика. Здесь можно использовать следующую процедуру.

а)  Выдвигаем ноль-гипотезу о том, что коэффициент регрессии b статистически незначим: Но: b=0 или что уравнение в целом статистически незначимо Но: r2=0

б)  Определяется фактическое значение соответствующего критерия.

в)  Сравнивается полученное фактическое значение с табличным.

г)  Если фактическое значение используемого критерия превышает табличное, ноль-гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-a) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента регрессии или уравнения в целом. Если фактическое значение t-критерия меньше табличного, то говорят, что нет оснований отклонять ноль-гипотезу.

Статистическая значимость коэффициента регрессии проверяется с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала необходимо определить остаточную сумму квадратов

s2ост=å(yi – ŷi)2 (24)

и ее среднее квадратическое отклонение

s= (25)

Затем определяется стандартная ошибка коэффициента регрессии по формуле:

(26)

Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии рассчитывается как

. (27)

Значение |tb|>tкр (tкр»2 для 95% уровня значимости) позволяет сделать вывод об отличии от нуля (на соответствующем уровне значимости) коэффициента регрессии и, следовательно, о наличии влияния (связи) х и у. Малые значения t-статистики соответствуют отсутствию достоверной статистической связи между х и у.

Можно построить доверительный интервал для b. Из (27) имеем:

[b – tкр*se(b), b + tкр*se(b)]- 95% доверительный интервал для b.

Доверительный интервал накрывает истинное значение параметра b c заданной вероятностью (в данном случае 95%).

Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для уравнения парной регрессии, линейной по параметрам определяется как:

(28)

где s2фактор–дисперсия для теоретических значений ŷ (объясненная вариация);

s2ост - остаточная сумма квадратов;

r2- коэффициент детерминации.

Соответственно, фактическое значение Fф сравнивается с табличным и на основании этого сравнения принимается или отвергается ноль-гипотеза.

Вернемся к нашему примеру и сделаем соответствующие расчеты.

Выдвигаем ноль-гипотезу о том, что коэффициент регрессии статистически незначим:

H0: b = 0. Статистическая значимость коэффициента регрессии проверяется с помощью t – критерия Стьюдента. Найдем остаточную сумму квадратов и ее среднее квадратическое отклонение:

s2ост = 2946;

s = 18,0924.

Определим стандартную ошибку коэффициента регрессии и рассчитаем фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии:

se(b) = 0,0345;

tb = 11,3768.

Выбираем уровень значимости равным 5%. По таблице находим значение t-критерия с n-2 степенями свободы t0,05(9) = 2,26 и сравниваем с ним фактическое значение (tb).

Так как фактическое значение t-критерия Стьюдента превышает табличное, то ноль-гипотеза отклоняется и с вероятностью 95% принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента регрессии.

Далее построим 95% доверительный интервал для коэффициента регрессии b:

0,3145 < b < 0,4705.

Перейдем к расчету коэффициентов корреляции и детерминации и проверке их статистической значимости:

r = 0,9666;

d = r2 = 0,9343.

Выдвигаем ноль-гипотезу о том, что уравнение регрессии в целом статистически незначимо:

H0: r2 = 0.

Оценка статистической значимости производится с помощью F- критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия Фишера:

Fф = 127, 9863.

По таблице находим значение F-критерия с (n-2) степенями свободы F0,05(1,9) = 5,12 и сравниваем фактическое значение с табличным. В результате, отклоняем ноль-гипотезу и с вероятностью 95% принимаем альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии.

Для определения степени количественного воздействия на спрос отдельных факторов используются различные методы эконометрического анализа. Одним из них является исчисление коэффициентов эластичности потребления. С изменением дохода, цен и прочих факторов потребление товаров меняется в неодинаковой степени. То есть прирост дохода на единицу вызывает неодинаковый прирост потребления разных товаров. Отсюда – понятие эластичности.

Коэффициент эластичности потребления показывает, на сколько процентов изменяется потребление данного товара при изменении на один процент значения влияющего на него фактора. Наибольшее распространение при эконометрическом анализе потребления получили коэффициенты эластичности потребления по доходу и цене.

Потребности в тех или иных товарах различаются по степени их эластичности по доходу. Если расходы на удовлетворение какой-то потребности значительно изменяются при изменении дохода, то потребность эта обладает высокой степенью эластичности. Наиболее настоятельные потребности являются менее эластичными (например, хлеб, картофель, соль и т. д.). Менее настоятельные потребности обладают большой эластичностью, но степень их удовлетворения низка.

Коэффициент эластичности потребления по доходу характеризует количественную степень влияния изменения дохода на величину потребления и рассчитывается по формуле:

, (29)

где у– потребление;

х – доход;

Dу – абсолютное изменение потребления;

Dх – абсолютное изменение дохода.

Эмпирические коэффициенты эластичности рассчитываются по рядам статистических данных по формуле:

, (30)

i =1, 2, … n.

Рассчитаем эмпирические коэффициенты эластичности потребления по доходу по данным таблицы 1:

Э2 = 7/50 *250/20 = 1,75 Э7 = 4

Э3 = 4/50 * 300/24 = 1 Э8 = 3,67

Э4 = 2,58 Э9 = 0,68

Э5 = 1,24 Э10 = 0,08

Э6 = 2,25 Э11 = 2.57

эмпир.=1,65

Для целей анализа и прогнозирования лучше использовать теоретический коэффициент эластичности, полученный путем выравнивания и экстраполяции данных. Для больших совокупностей при небольших различиях в доходах семей отношение Dу/Dх можно рассматривать в пределе, заменив Dу и Dх их дифференциалами.

, (31)

Формулы Э, вычисленные для разных функций, не одинаковы.

Для линейной зависимости (ŷ = а + bx) y'=b, следовательно

(32)

Для степенной зависимости (у = а x b ) y'=abx b-1

(33)

Для линейной зависимости потребления от дохода Э различен для разных доходных групп. При степенной зависимости Э постоянен (одинаков для всех групп) и равен b, т. е. показателю степени.

Теоретические и эмпирические коэффициенты эластичности могут существенно различаться в различных группах. Средние же их величины более или менее близки, что может служить свидетельством адекватности проверяемой формы связи исходным статистическим данным.

Принято разделять товары на «нормальные» и «низкокачественные» в зависимости от величины коэффициента эластичности. Потребление «нормальных» товаров растет с ростом дохода, т. е. Э >0, если Э < 0, то с ростом дохода потребление данного товара снижается и такой товар считается «низкокачественным».

Рисунок 6 – Трехмерный график функции потребления

Как и в случае парной регрессии, мы выбираем значения коэффициентов регрессии так, чтобы обеспечить наилучшее соответствие наблюдениям. Оценка оптимальности соответствия определяется минимизацией суммы квадратов отклонений:

(35)

Чтобы получить систему нормальных уравнений, необходимо продифференцировать это уравнение по всем параметрам (a, b1, b2), приравнять к нулю частные производные и преобразовать. Получим систему из трех нормальных уравнений с тремя переменными:

(36)

Преобразуя эти уравнения, можно получить формулы для расчета параметров а, b1 и b2.

Коэффициенты регрессии b1 и b2 - это показатели силы связи, характеризующие абсолютное (в натуральных единицах измерения) изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии второго фактора.

Например: получено уравнение регрессии:

ŷ=116,7+0,112х1 – 0,739х2, (37)

Это уравнение можно интерпретировать следующим образом. При каждом увеличении дохода на 1 рубль (при сохранении постоянного размера семьи) расходы на питание возрастут на 0,112 рубля. На каждую единицу увеличения размера семьи (при постоянных доходах) эти расходы уменьшатся на 0,739 рубля.

Используя коэффициенты регрессии можно рассчитать частные коэффициенты эластичности, как правило, их рассчитывают для средних значений факторов и результатов.

. (38)

Интерпретация частных коэффициентов эластичности такая же, как и обычных, при фиксированных значениях остальных факторов.

Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется, так же как и в парном регрессионном анализе с помощью t-критерия. Аналогично строятся и доверительные интервалы для каждого коэффициента регрессии.

В качестве показателей тесноты связи используются парные коэффициенты корреляции и частные коэффициенты корреляции.

В множественном регрессионном анализе парный коэффициент корреляции используется для выявления коллинеарности (мультиколлинеарности) факторов. Для этого составляется и анализируется матрица парных коэффициентов корреляции, та ее часть, которая относится к объясняющим переменным. Не существует точных рекомендаций по устранению мультиколлинеарности, но считается, что при значении парного коэффициента корреляции большем 0,85 из анализа должны исключаться эти факторы. Это сложная задача, так как достоверно неизвестно, какие именно факторы оказывают наиболее существенное влияние и, следовательно, должны быть включены в уравнение регрессии. Рассмотрим следующую модель:

, , (39)

где y – общая величина расходов на питание

х – заработная плата

z – доход, получаемый вне работы

Т – совокупный доход

Очевидно, что T=x+z, и, следовательно, Т будет сильно коррелировать как с х, так и с z. В этом примере можно исключить из рассмотрения фактор Т.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и фактором при фиксированном влиянии других факторов, включенных в уравнение регрессии. Их можно определить через парные коэффициенты корреляции по следующим рабочим формулам:

(40)

(41)

где - коэффициент частной корреляции между результатом и фактором х1, при фиксированном воздействии фактора х2;

- коэффициент частной корреляции между результатом и фактором x2 при фиксированном воздействии фактора x1

,, –коэффициенты парной корреляции

Тесноту связи между результатом и всеми факторами, включенными в уравнение регрессии, характеризует множественный коэффициент корреляции:

(42)

где s2фактор - факторная сумма квадратов, или объясненная моделью регрессия результата;

s2общ - общая сумма квадратов, или общая вариация результата;

s2остаточ = å(y – ŷ)2 - остаточная сумма квадратов, или не объясненная моделью регрессии вариация результата.

Далее может быть определен коэффициент детерминации R2 (квадрат множественного коэффициента корреляции). Он определяет долю дисперсии у, объясненную регрессией, то есть совместное влияние включенных в уравнение регрессии факторов на результат. Интерпретируется аналогично коэффициенту детерминации в парном регрессионном анализе.

Для проверки статистической значимости уравнения регрессии в целом используется F-критерий. Выдвижение гипотез и их проверка осуществляется, так же как и в парном регрессионном анализе. Фактическое значение F-критерия для уравнения множественной регрессии определяется по формуле:

, (43)

где k - общее число параметров в уравнении множественной регрессии (в случае двухфакторной линейной модели k = 3).

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1  , Мхитарян статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 2001.

2  , , Мешалкин статистика: исследование зависимостей. – М.: Финансы и статистика, 1995.

3  Программа STATISTICA для студентов и инженеров. - М., Компьютер-пресс, 2001г.

4  Введение в эконометрику / Пер. с англ. – М.: ИНФРА – М, 1997.

5  , Путко : учебник для вузов / Под. ред. проф. . – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2005.

6  , , Пересецкий . Начальный курс. / АНХ при правительстве РФ. – М.- Дело, 2004.

7  Райцин социальных процессов: учебник. – М.: Экзамен, 2005.

8  , , Спиридонов социальных процессов: Учебное пособие. М.: Изд-во Российской экономической академии, 2003.

9  Эконометрика: учебник для вузов / Под. ред. чл. – кор. РАН . – М.: Финансы и статистика, 2005.

Приложение А

Варианты исходных данных для выполнения лабораторной работы

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3