Hur mäts konvergensen av funktioner i mätbara rum?

I teorin om integrering är det vanligt att hantera sekvenser av funktioner och deras konvergens i mätbara rum. En viktig aspekt av denna teori är att förstå när en sekvens av funktioner konvergerar punktvis eller i andra meningsfulla termer.

För att börja, betraktas sekvenser av mätbara funktioner $f_j$ i ett mätbart rum $(X, \mathcal{A}, \mu)$. Om vi säger att en sådan sekvens konvergerar punktvis till en funktion $f$, betyder det att för varje $x \in X$, är $\lim_{j \to \infty} f_j(x) = f(x)$. Det är av stor vikt att förstå att denna punktvisa konvergens inte nödvändigtvis innebär att den resulterande funktionen $f$ är mätbar. Däremot kan det visa sig att $f$ är mätbar, vilket vi här visar genom en formell proposition.

Punktvis konvergens i L0-rum

För att förtydliga denna punkt, överväg sekvenser av funktioner $f_j$ som konvergerar till $f$ punktvis. Vi kan visa att för varje $x \in X$, om $f_j(x)$ konvergerar till $f(x)$, då kommer också $f$ vara mätbar. Detta kan fastställas genom att använda mätbarhetens egenskaper för funktioner definierade på en σ-algebra.

Uniform konvergens och L0-rum

Om $f_j$ är en sekvens av mätbara funktioner och konvergerar uniformt till en funktion $f$, så kommer $f$ att vara mätbar. Detta beror på att uniform konvergens bevarar mätbarheten när $f_j$ är mätbara.

Radonmått och deras egenskaper

Det är också värt att notera att Radonmått är viktiga för att beskriva funktioners konvergens när funktionerna är definierade på mätningsrum som är lokalt kompakta. I sådana rum är det möjligt att definiera mått och konvergens på ett sätt som bevarar kontinuitet och andra analytiska egenskaper.

Viktiga begrepp att förstå

En annan nyckelpunkt är att sekvenser av funktioner som konvergerar punktvis inte alltid bevarar alla egenskaper, såsom integrabilitet eller kontinuitet, om inte vissa extra villkor är uppfyllda. Uniform konvergens kan å andra sidan bevara dessa egenskaper.

Sammanfattning

För att sammanfatta, sekvenser av funktioner i mätbara rum konvergerar på olika sätt, och att förstå dessa konvergenstyper är avgörande för att kunna göra korrekta slutsatser om de funktioner man arbetar med. Punktvis konvergens är en grundläggande typ av konvergens, men uniform konvergens ger starkare resultat, särskilt när det gäller bevarandet av mätbarhet och kontinuitet.

Vad kännetecknar en Radonmått och dess egenskaper i integrations- och måttteori?

Till exempel visar Lemma IX.5.21 att Hausdorffmåttet $H^n$ är lokalt fint och därmed ett Radonmått på $\mathbb{R}^n$. Detta står i kontrast till att $H^s$ för andra värden av $s$ kanske inte är ett Radonmått. Ett annat exempel är Lebesgue–Stieltjesmåttet $\mu_F$, som induceras av en måttgenererande funktion $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Detta mått är Radon och massivt om och endast om $F$ är strikt ökande, vilket exemplifieras av flera satser och propositioner från den klassiska teorin.

Luzins teorem (Teorem 1.18) skapar en förbindelse mellan mätbarhet och kontinuitet i praktiken. För en mätbar funktion $f$ definierad på en mätbar mängd $A$ med ändlig $p$-mått, kan man approximera $f$ på ett stort delmängd $K \subseteq A$, där $K$ är kompakt och $p(A \setminus K)$ är liten, med en kontinuerlig funktion $f|_K$. Detta är en grundläggande egenskap i analysen och underlättar studier av funktioners egenskaper och deras approximationer i olika normer och mått.

Vidare ger regualriteten hos Radonmått (de är både inre och yttre reguljära) en kraftfull metod att hantera öppna och kompakta mängder samt att konstruera delmängder som uppfyller önskade måttmässiga egenskaper. Det är också väsentligt att förstå koncept som svag mätbarhet för funktioner med värde i Hilbertrum, där man kan definiera mätbarhet via alla funktionella utvärderingar, vilket kopplar till djupare egenskaper i funktionalanalys.

Flera övningar och satser i texten berör också mer avancerade koncept såsom Baire-funktionsrum, nästan uniform konvergens och konvergens i mått, vilka är centrala för att förstå funktioners beteende i mer allmänna mått- och integrationsramar. Till exempel visar Egorovs sats att konvergens nästan överallt kan stärkas till nästan uniform konvergens på mängder med godtyckligt liten komplementär måttmassa. Samtidigt finns exempel på sekvenser som konvergerar i mått men inte punktvis, eller vice versa, vilket understryker skillnaderna mellan olika typer av konvergenser.

Det är också viktigt att notera separerbarhetens roll i rummet av funktioner och normerade vektorrum. Separabilitet förenklar hantering av täthets- och approximationsfrågor, medan icke-separerbara rum ofta är mer komplicerade och kräver andra tekniker.

För att fullt ut förstå och tillämpa dessa resultat bör läsaren vara bekant med topologiska och måttteoretiska grundbegrepp, inklusive Borel-mängder, öppna och kompakta mängder, samt olika typer av mätbarhet och konvergensbegrepp. Att förstå begreppet Radonmått i samband med deras lokala finhet och reguljäritet är avgörande, liksom hur kontinuerliga funktioner och deras approximationer relaterar till dessa mått. En vidare förståelse av dessa idéer möjliggör analys och integration i mer komplexa sammanhang, såsom funktioner med värden i oändligdimensionella rum och generaliserade integrationsrum.

Hur definieras och analyseras integrerbara funktioner i Bochner-Lebesgue-sammanhang?

Enkel funktion och dess normala form

Som vi såg i anmärkning 1.2(c), har varje enkel funktion en unik normalform. Denna form kommer att visa sig vara användbar framöver, och vi kommer att arbeta med den fördelaktigt. Normalt kommer vi att representera $p$-enkla funktioner genom sina normala former, såvida inte annat anges. Vi definierar också nollvektorn i $E$ som $0_e := 0$ och använder den i alla relevanta sammanhang.

Bochner-Lebesgue-integralen för en enkel funktion definieras som:

detta gäller för $p$-enkel funktion $f = \sum e_j X_{A_j} \in S(X, \mathcal{P}, E)$.

Viktigt att förstå är att dessa definitioner inte bara gäller för enkla funktioner, utan också kan tillämpas på mer komplexa funktioner som kan uttryckas som gränsvärden av sekvenser av enkla funktioner.

Låt oss nu gå vidare till seminormen för $L_1$, som spelar en central roll i teorin för integrerbara funktioner. Om $V$ är ett vektorrum över kroppen $K$, så definieras en seminorm $p$ på $V$ som en funktion från $V$ till $\mathbb{R}$ som uppfyller följande egenskaper:

1. $p(v) \geq 0$ för alla $v \in V$,

2. $p(\lambda v) = |\lambda| p(v)$ för alla $v \in V$ och $\lambda \in K$,

3. $p(v + w) \leq p(v) + p(w)$ för alla $v, w \in V$.

När vi definierar seminormen på detta sätt skapar vi också ett begrepp för öppna mängder $B_p(v, r)$, där $r$ är ett positivt tal och $v$ är en vektor i $V$. Dessa mängder hjälper oss att definiera en topologi på $V$, även om denna topologi inte alltid är Hausdorff.

Kontinuitet och linjära funktioner

För linjära funktioner $A: V \to E$, är det en viktig observation att $A$ är kontinuerlig om och endast om det finns ett $M > 0$ sådant att $|A v| \leq M p(v)$ för alla $v \in V$. Detta innebär att varje linjär funktion som är kontinuerlig i seminormens topologi också är bunden, vilket är en central egenskap inom analysen av funktionella rum.

Integrerbara funktioner i $L_1(X, \mathcal{P}, E)$

En fundamental inkludering i denna teori är att $S(X, \mathcal{P}, E) \subseteq L_1(X, \mathcal{P}, E) \subseteq L_0(X, \mathcal{P}, E)$, där varje $p$-enkel funktion är $p$-integrerbar. Det innebär att mängden av $p$-integrerbara funktioner är ett underutrymme i rummet av alla funktioner, vilket gör det möjligt att använda verktyg från linjär algebra och funktionalanalys för att undersöka deras egenskaper.

Hur definieras och förstås en undermanifold i en differentierbar mångfald?

En undermanifold L av en differentierbar mångfald M förstås lokalt genom existensen av särskilda kartor där L framträder som ett koordinatskivsnitt. Detta innebär att för varje punkt p ∈ L finns en karta (φ, U) i M sådan att φ(U ∩ L) = φ(U) ∩ (ℝ^ℓ × {0}) ⊂ ℝ^m. Denna villkorliga formalisering uttrycker att L lokalt "ligger plant" i M längs vissa koordinataxlar, vilket är en direkt generalisering av hur undermanifolder uppfattas i ℝ^m. Kodimensionen m − ℓ karakteriserar hur många riktningar som saknas i L jämfört med hela rummet M.

Det är centralt att i denna definition är det inte det omgivande rummet ℝ^m i sig som är avgörande, utan strukturen bestäms fullständigt av atlasen på M och de inducerade kartorna på L. Detta understryker att alla egenskaper som är "inre" för M – sådana som kan beskrivas i termer av kartor och tangentrum – är oberoende av hur M är inbäddad i ℝ^n. Denna observation blir avgörande när man senare vill formulera teori för abstrakta mångfalder, där någon global inbäddning inte finns.

Immersioner spelar en fundamental roll i denna kontext. En avbildning f ∈ C^k(M, N) sägs vara en immersion om dess differential T_p f: T_p M → T_f(p) N är injektiv för varje p ∈ M. En sådan immersion är en inbäddning om f dessutom är en homeomorfism mellan M och sin bild f(M), försedd med den relativa topologin från N. Således definieras en undermanifold inte endast som en mängd, utan i ljuset av sin differentierbara struktur, givet genom sådana immersioner.

Om M själv är en undermanifold till en annan mångfald N, och L är en undermanifold till M, så är L också en undermanifold till N. Detta bevisas genom att utnyttja kompositioner av submanifold-kartor, där man observerar att varje lokal beskrivning av L i M också kan översättas till en lokal beskrivning i N. Därmed etableras transitiviteten hos undermanifolder i denna mening.

Konstruktionen av kartor på L sker genom att begränsa kartor från M till snitten med L. Om (φ, U) är en submanifold-karta för M relaterad till L, så definieras kartan på L som φ_L = φ|_{U ∩ L}. Den resulterande bilden φ_L(U ∩ L) ligger i ℝ^ℓ, och betraktas som en öppen mängd i detta rum. Den samling av sådana kartor som täcker hela L utgör en atlas för L, som induceras direkt från atlasen på M. På detta sätt överförs den differentiabla strukturen från M till L.

En annan aspekt av stabiliteten i manifoldstrukturen uttrycks genom att produkten L × K mellan två undermanifolder L ⊂ M och K ⊂ N, med dimensionerna ℓ respektive k, själv är en undermanifold av M × N med dimension ℓ + k. Denna stabilitet under produktoperationen illustrerar hur strukturer bevaras vid naturliga konstruktioner inom kategorin av mångfalder.

Det är även värt att framhäva att alla definitioner och konstruktioner förutsätter släta avbildningar, dvs. av klass C^∞. Trots detta gäller de flesta resultat också för C^k-mångfalder för tillräckligt stort k, och justeringar i denna riktning omnämns ofta men lämnas som övningar. Detta speglar att teorin är robust under svagare differentiabilitet, men att C^∞-fallet ger den konceptuella klarhet som behövs för inledande studier.

Att behandla undermanifolder i det konkreta fallet då mångfalder är inbäddade i ℝ^n har fördelen att alla konstruktioner kan uttryckas explicit med hjälp av euklidisk geometri. Exempelvis kan man definiera metriska strukturer (som Riemannsk eller semi-Riemannsk metrik) genom att dra tillbaka standardmetrik från ℝ^n. Detta ger tillgång till en mängd tekniker som annars kräver en abstrakt differentialgeometrisk apparat. I fysikaliska sammanhang, som i relativitetsteori, är detta särskilt fruktbart eftersom det möjliggör analys inom Minkowskirummet.

Undermanifolder utgör sålunda en fundamental byggsten i all differentierbar geometri. De fungerar som naturliga bärare av integraler av differentialformer, och utgör grunden för vidare begrepp som orientering, normalbuntar, homologi och Stokes sats i högre dimensioner.