Hur förstår man konvergensen till transportbrus i 3D Navier-Stokes ekvationer?

Det är känt att de stokastiska processerna som beskriver turbulens och dynamik i vätskor, såsom Navier-Stokes ekvationerna, kan påverkas av olika typer av brus, som kan vara additivt eller transporterat. I denna kontext undersöker vi hur transportbrus beter sig när det introduceras i en system av stokastiska Navier-Stokes ekvationer.

Antag att $\{ u_\epsilon \}$ är en familj av lösningar till ekvationen (3.2) som definieras genom en stokastisk grundval $(\epsilon, F_\epsilon, \{ F_\epsilon^\epsilon t \} t \geq 0, W_\epsilon, P)$, där $\epsilon$ representerar en liten parameter. Lösningarna $u_\epsilon$ beskriver flöden i en vätska där vi förväntar oss att när $\epsilon \to 0$, konvergerar lösningarna mot en viss analytisk lösning av ekvationen med transportbrus och Itō-Stokes drift.

För att bevisa denna konvergens använder vi ett par tekniska verktyg som krävs för att hantera stokastiska integraler. Den klassiska Itō-formeln, som vanligtvis används för att hantera stokastiska differentialekvationer, kan inte tillämpas direkt i denna situation eftersom lösningen hålls i en svag analytisk mening. Därför behöver vi en version av Itō-formeln som är anpassad för dessa typer av svaga lösningar.

En annan viktig del av vårt resultat är att vi är tvungna att ge täta uppskattningar för $E‖u_\epsilon t - u_\epsilon s‖_{H^\sigma}$, vilket är relaterat till tidsincremente och deras påverkan på lösningarna. För detta ändamål utnyttjar vi Simon-kompakthets kriterium och Prokhorovs teorem, vilket ger oss de nödvändiga uppsättningarna för att bevisa att lösningarna är tätare i den givna metriska rymden.

Slutligen, när vi konvergerar mot en lösning i detta transportbrusfall, innebär det att de stokastiska fluktuationerna som vi tidigare modellerade med additivt brus nu omvandlas till en mer dynamisk och realistisk modell av flöden i vätskor, där brusets effekt är mer integrerad i flödet snarare än att vara en oberoende störning.

Hur den stokastiska dynamiken i Navier-Stokes ekvationer påverkas av Itō-Stokes drift och Stratonovich-korrigering

I analysen av stokastiska Navier-Stokes ekvationer spelar den stokastiska integreringen en avgörande roll i att beskriva flöden som påverkas av olika former av brus. Specifikt, när vi arbetar med stokastiska differentialekvationer (SDE), måste vi noggrant beakta de olika typer av integraler som förekommer i dynamiken, såsom Itō-integralen, Stratonovich-korrigeringen och den så kallade Itō-Stokes driften. Dessa termer är inte bara matematiska nyanser utan har djupgående fysiska implikationer när det gäller att modellera turbulenta flöden och deras evolution.

Därmed övergår vi till att analysera de viktiga dynamiska komponenterna, såsom Itō-Stokes drift och Stratonovich-korrigeringen, som framträder när vi försöker beskriva dessa stokastiska flöden. För att tydligare förstå detta, jämför vi med ett exempel där det stokastiska bruset beskrivs av $Q = P \circ (u, Q^{1/2}W)^{ -1}$, vilket leder till ett explicit uttryck för $\varphi_1$. Resultatet av denna analys ger oss en tydlig förståelse av hur den stokastiska processen och flödet samverkar.

Därefter kommer Stratonovich-korrigeringen:

Slutligen, Itō-Stokes driften ges av:

När vi nu övergår till att diskutera konvergensen till de deterministiska Navier-Stokes ekvationerna, ser vi hur en variabel kovariansoperator $Q = Q_N$, som är beroende av en parameter $N$, leder till en sådan konvergens. För att beskriva denna konvergens på ett tydligt sätt, betraktar vi en modifierad version av de ursprungliga stokastiska ekvationerna, där kovariansoperatorn är beroende av $N$, vilket kan ge en förståelse för hur systemet närmar sig en deterministisk lösning när $N$ växer.

Vidare förutsätts det att kovariansoperatorn $Q_N$ är isotrop, vilket innebär att alla egenvektorer av operatorn $A$ också diagonaliserar $Q_N$. Detta gör att Itō-Stokes driften försvinner under specifika val av egenvektorer, vilket ytterligare förenklar systemets dynamik och gör det möjligt att få en tydligare förståelse för hur dessa stokastiska effekter påverkar flödet.

För att sammanfatta, även om den stokastiska dynamiken i Navier-Stokes ekvationer kan verka komplicerad, är det möjligt att genom noggrant analyserande av olika termer, såsom Itō-Stokes drift och Stratonovich-korrigering, förstå hur dessa processer bidrar till utvecklingen av turbulenta flöden. Genom att betrakta systemets konvergens mot de deterministiska ekvationerna kan vi också få insikt i hur bruset, på olika skalor, påverkar den långsiktiga utvecklingen av dessa flöden.

Vad betyder relabellering av partiklar för fluiddynamik och geometriska flöden?

I den geometriska fluiddynamikens ramverk handlar det om hur vätskor och partiklar rör sig i ett flöde, och hur deras beteenden kan beskrivas både ur ett Lagrange- och Eulerperspektiv. En viktig aspekt av denna teori är symmetrierna mellan olika former av differentialformer, som spelar en avgörande roll i förståelsen av hur flöden kan analyseras matematiskt. I denna kontext används Lie-derivator och operatorer som är grundläggande för att beskriva rörelsen av partiklar och flöden i både två- och tredimensionella system.

Vid analys av vätskor är det viktigt att förstå att vissa storheter, som densitet, temperatur eller salinitet, är advekterade storheter, vilket innebär att de följer med vätskan i dess rörelse. I tvådimensionella system kommer exempelvis den volymform som används för att beskriva massan i oceanmodeller att förändras när systemet övergår till en tvådimensionell domän. Här kommer vi inte längre att ha differentialformer av grad 3, utan sådana former kommer att vara av grad 2, vilket gör att begreppet curl (rotation) försvinner. Istället ersätts det med en perpendikulär gradient och divergence.

För att kunna spåra rörelsen av partiklar i en vätska krävs det ett sätt att beskriva partiklarnas positionsförändring. Detta sker ofta genom att använda diffeomorfismer, som är matematiska avbildningar som bevarar strukturer mellan olika rum. En diffeomorfism φ t är en funktion som tar en punkt i vätskan vid tidpunkten t och flyttar den till en ny position i systemet. Denna diffeomorfism används för att beskriva flödet av partiklar i ett fluid system, där varje partikel rör sig enligt en differentialekvation som styrs av vätskans hastighetsfält.

En central egenskap i denna teori är symmetrin som finns mellan Lagrange- och Eulerbeskrivningarna. I Lagrange-sättet beskrivs varje partikel individuellt, medan Euler-beskrivningen ser på flödet ur ett globalt perspektiv där det inte fokuseras på varje enskild partikel utan snarare på egenskaper som hastighet och densitet i hela systemet. Symmetrin mellan dessa beskrivningar beror på det faktum att den Lagrange-baserade ekvationen, som beskriver flödet för en partikel, är invariant under relabellering, det vill säga att det inte spelar någon roll om vi byter namn på partiklarna; deras dynamik förblir densamma.

I tvådimensionella system kan detta bli ännu tydligare. Här används exempelvis temperatur, salinitet eller buoyancy (uppdrift) som skalära funktioner som advekteras med vätskeflödet. I vissa specifika tillämpningar som magnetohydrodynamik modelleras det magnetiska fältet som en 1-form eller 2-form. Detta gör att vi kan använda differentialformer av olika grader för att exakt beskriva flödets egenskaper, beroende på vilken typ av material eller system vi studerar.

I fluiddynamiska system, särskilt när man modellerar havsflöden eller atmosfäriska strömmar, är det också viktigt att förstå hur symmetrier och operatorer som Lie-derivator påverkar flödet. När dessa operatorer tillämpas på olika former av differentialformer kan de ge oss värdefull information om hur storheter som hastighet, densitet och andra fysikaliska parametrar utvecklas över tid och rum. Ett exempel på detta är när vi studerar flödet i oceanografi, där man ofta måste ta hänsyn till både bottenytans topografi och fria ytor som gränsar mellan vätska och gas.

För att ge en mer djupgående förståelse bör läsaren också ha klart för sig att medan partiklar i en fluid inte rör sig oberoende av varandra, utan deras rörelser påverkas av omgivningen, krävs det en metod för att ta hänsyn till dessa beroenden när man löser de differentialekvationer som styr flödet. I praktiken innebär detta att vi måste beakta att vätskor är kontinuerliga och att en partikel inte bara flyttas i ett vakuum, utan interagerar med andra partiklar och påverkas av externa krafter som gravitation, temperatur och magnetiska fält.

En ytterligare aspekt är hur dessa teoretiska beskrivningar kopplas till konkreta tillämpningar, som till exempel i oceanografi eller magnetohydrodynamik. Här spelar både de geometriska symmetrierna och de matematiska operatorerna en avgörande roll i att förstå flödet och förutsäga hur det kommer att utvecklas under olika förhållanden.

Hur de Euler-Poincaré ekvationerna och Kelvins-Noether cirkulationsteorem beskriver dynamiska system i geofysisk fluiddynamik

I samband med detta är advektions-ekvationen, som kan skrivas som ∂Sr/∂t + Lua = 0, fundamental för att beskriva hur en fysisk kvantitet, till exempel en ström eller ett fält, transporteras genom rymden. Dessa två ekvationer hänger samman genom det faktum att variationer av ett system på manifolder ger upphov till specifika rörelser som kan beskrivas i termer av flöden och deras tidsutveckling. Genom att använda integrationer och partiella derivator, har det visat sig att dessa samband leder till bevarandet av vissa fysikaliska kvantiteter, vilket är en av nyckelidéerna i den geofysiska fluiddynamiken.

Ett direkt resultat av dessa ekvationer är Kelvins-Noether cirkulationsteorem, vilket är en omedelbar härledning från Euler-Poincaré teorin. Enligt detta teorem är cirkulationen av ett vektorfält i ett fluidmedium konstant när fältet följer de Euler-Poincaré ekvationerna. Detta är en av de grundläggande bevarandeprinciperna inom fluiddynamik och beskriver hur vissa fysikaliska kvantiteter, som rörelse eller energi, förblir oförändrade under vissa transformationer, till exempel under rotation eller symmetri.

Kelvins-Noether teorem tillåter att man definierar cirkulationen K(γ, a), där γ representerar en slinga i diffusionsgruppen och a är ett fält som advekeras genom systemet. Genom att använda teoremet kan man bevisa att den tidderiverade cirkulationen I(t) = 1/ρ d/dt ∫γ a i grundläggande fall förblir konstant över tid. Detta ger en förståelse för hur cirkulationen påverkas av de krafter och fält som finns i systemet, vilket är en viktig del av teorin om geofysisk fluiddynamik.

Vidare ger det dimensionlösa Euler-Poincaré teoremet insikter om hur systemens aktion, som beskriver deras rörelse, är relaterad till olika dimensionlösa tal som Froude- och Rossby-tal. Dessa tal är fundamentala för att förstå förhållandena mellan inerta krafter, rotation och gravitation i geofysiska system som havsströmmar och atmosfäriska flöden. Genom att omvandla dessa till dimensionlösa ekvationer, kan man förenkla de komplexa interaktionerna mellan olika faktorer som påverkar rörelsen i sådana system.

En särskilt intressant aspekt är att genom att betrakta olika dimensionlösa parametrar som Strouhal-tal och Froude-tal kan man beskriva system där vissa krafter är försumbar i förhållande till andra. Till exempel, när rotationen i ett geofysiskt system dominerar över inerta krafter, kan man använda Boussinesq-approximationen för att förenkla ekvationerna genom att bortse från effekterna av densitetsvariationer på de inerta termerna.

Det är också viktigt att förstå att även om dessa ekvationer ger en grundläggande förståelse för rörelser i naturen, är de inte alltid direkt tillämpliga på alla typer av fysiska system. Tillämpningarna av dessa teorier är starkt beroende av specifika konfigurationer och fysiska antaganden som till exempel stratifikation, vertikala och horisontella längdskalor, samt hastighetsförhållanden.

För att utveckla dessa teorier vidare används ofta approximativa modeller, som den Boussinesq-approximationen, för att skapa mer hanterbara ekvationer som kan tillämpas på praktiska problem som havsströmmar, atmosfäriska flöden och andra geofysiska system. Exempel på sådana modeller inkluderar de primitiva ekvationerna och sjömodeller, som gör det möjligt att förutsäga och förstå rörelser i stora vätskesystem under rotation.