Hur integraler definieras för en variabel: En väg till förståelse

Integrering uppfanns för att beräkna areor av geometriska figurer. Detta är förstås ett gammalt problem, och den grundläggande strategin för att lösa det är lika gammal: dela upp figuren i rektanglar och summera deras areor. En matematisk tillfredsställande formulering av denna intuitiva idé är dock förvånansvärt subtil. Det finns en oerhörd mängd sätt att approximera en given figur med en union av rektanglar. Det är inte alls självklart att alla dessa sätt leder till samma resultat. Därför kommer vi inte att utveckla den rigorösa teorin om mått förrän i Volym III. I detta kapitel ska vi enbart behandla det enklare fallet att bestämma arean mellan grafen för en tillräckligt regelbunden funktion av en variabel och dess axel.

För att lägga grunden för att approximera en funktion med en rad rektanglar, kommer vi att se att detta kan reduceras till att närma sig funktionen genom en serie trappstegsfunktioner, det vill säga funktioner som är styckvis konstanta. Vi ska visa att denna idé för approximationer är ytterst flexibel och oberoende av sin ursprungliga geometriska motivation, och vi kommer att nå ett begrepp om integration som gäller för en stor klass av vektorvärda funktioner för en reell variabel. För att exakt bestämma vilken klass av funktioner vi kan tilldela ett integral, måste vi undersöka vilka funktioner som kan approximera med trappstegsfunktioner.

Genom att studera konvergensen under supremumnormen, det vill säga genom att fråga om en given funktion kan approximera uniformt på hela intervallet med trappstegsfunktioner, leder vi fram till klassen av hopp-kontinuerliga funktioner. Avsnitt 1 är tillägnat att studera denna klass. Där kommer vi att se att ett integral är en linjär avbildning på vektorrummet av trappstegsfunktioner. Därefter kommer frågan om att utvidga integrationen till rummet av hopp-kontinuerliga funktioner; utvidgningen bör bevara de grundläggande egenskaperna hos denna avbildning, särskilt linearitet. Denna övning visar sig vara ett specialfall av det allmänna problemet att entydigt utvidga kontinuerliga avbildningar. Eftersom detta utvidgningsproblem är av stor betydelse och förekommer inom många områden av matematiken, kommer vi att diskutera det i detalj i avsnitt 2.

Från den fundamentala förlängningsteoremet för enhetligt kontinuerliga avbildningar härleder vi satsen om kontinuerliga förlängningar av kontinuerliga linjära avbildningar. Detta ger oss en möjlighet att introducera de viktiga begreppen av begränsade linjära operatörer och operatörsnormen, som spelar en fundamental roll i modern analys. Efter denna grundläggande förberedelse, kommer vi i avsnitt 3 att introducera integralen för hopp-kontinuerliga funktioner. Denna, Cauchy-Riemanns integral, förlänger den elementära integralen för trappstegsfunktioner.

I de följande avsnitten kommer vi att härleda dess grundläggande egenskaper. Av stor betydelse (och som namnet antyder) är den fundamentala kalkylsatsen, som förenklat säger att integration upphäver derivation. Genom denna sats kommer vi att kunna explicit beräkna många integraler och utveckla en flexibel teknik för integration. Detta sker i avsnitt 5. I de återstående avsnitten—med undantag för det åttonde—kommer vi att utforska tillämpningar av den hittills utvecklade differential- och integralräkningen. Eftersom dessa inte är avgörande för den övergripande strukturen av analys, kan de hoppas över eller bara snappas upp vid första läsningen. De innehåller dock många av de vackra resultaten från den klassiska matematiken, som är nödvändiga för både ens allmänna matematisk literacy och för ett flertal tillämpningar, både inom och utanför matematiken.

Avsnitt 6 kommer att utforska sambandet mellan integraler och summor. Vi härleder Euler-Maclaurins summaformel och pekar på några av dess konsekvenser. Särskilt viktiga är bevisen för de Moivres och Sterlings formler, som beskriver den asymptotiska beteendet hos fakultetsfunktionen, samt härledningen av flera grundläggande egenskaper hos den berömda Riemanns ζ-funktion. Den senare är särskilt viktig i samband med den asymptotiska fördelningen av primtal, vilket förstås är ett ämne som vi endast kan beröra i korthet.

Hur Bounded Linjära Operatorer och Deras Fortsättningar på Normerade Vektorrum Relaterar till Kontinuitet och Linjäritet

I teorin om linjära operatorer på normerade vektorrum är begreppet av en bounded operator centralt. En operator $A$ mellan två normerade vektorrum $E$ och $F$ tillhör rummet av bounded operatorer $L(E, F)$ om det finns en konstant $M$ sådan att $\|Ax\| \leq M \|x\|$ för alla $x \in E$ . Denna egenskap innebär att en bounded operator bevarar den begränsade storleken hos element i sitt domän, vilket är en av grundläggande kännetecknen för att förstå hur dessa operatorer beter sig när de appliceras på olika vektorer i rummet.

Definitionen av operatornorm spelar här en viktig roll. För en linjär operator $A$ i $L(E, F)$ är normen av $A$ definierad som:

\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| .

Denna definition innebär att man tar det största värdet av $\|Ax\|$ när $\|x\|$ är begränsad av 1. Operatornormen mäter alltså hur mycket en operator kan förändra längden på en vektor i sitt domän.

Det är också viktigt att notera att varje linjär operator som tillhör $L(E, F)$ är Lipschitz-kontinuerlig, vilket innebär att det finns en konstant $M$ sådan att:

\|Ax - Ay\| \leq M \|x - y\| .

Detta visar att operatorn inte bara är linjär utan också kontinuerlig och att den uppfyller ett linjärt växande samband mellan input och output. Därmed kan man också säga att den är uniformt kontinuerlig, en egenskap som är viktig för att säkerställa stabilitet vid approximationer.

Kontinuerliga förlängningar är ett annat centralt tema som dyker upp när man arbetar med operatorer mellan normerade vektorrum. Om $X$ är en tät underdelmängd av $E$ , och $F$ är ett Banachrum, så kan en linjär operator $A \in L(X, F)$ förlängas på ett entydigt sätt till en operator $A \in L(E, F)$ , så länge som $A$ är kontinuerlig. Denna förlängning bevarar både linearitet och operatornorm. För att konkretisera, om $A \in L(X, F)$ , så definieras förlängningen $A$ genom gränsvärdet:

A(e) = \lim_{x \to e} A(x) \quad \text{för alla } e \in E.

Det är viktigt att förstå att denna förlängning inte förändrar operatornormen; alltså gäller:

\|A\|_{L(E, F)} = \|A\|_{L(X, F)}.

Detta säkerställer att den kontinuerliga förlängningen inte orsakar några oväntade avvikelser i operatorns beteende.

En av de mest fundamentala egenskaperna hos linjära operatorer är att de är kontinuerliga om och endast om de är bounded. Om en operator $A$ är kontinuerlig, betyder det att den inte kan orsaka någon "explosion" i storleken på vektorer när de transformeras, vilket är precis vad en bounded operator förutsätter. Denna korrespondens mellan kontinuitet och boundedness spelar en avgörande roll i analysen av operatorer.

För att illustrera den praktiska betydelsen av dessa begrepp kan vi tänka på hur operatorer påverkar strukturen hos rummen de verkar på. Om $A$ är en bounded operator, kommer det att mappar varje begränsad mängd av element i $E$ till en annan begränsad mängd i $F$ . Detta innebär att det inte finns någon risk att operatorn transformerar begränsade objekt till okontrollerat stora objekt.

För operatorer som är surjektiva, det vill säga att de täcker hela målrummet $F$ , är det möjligt att undersöka egenskaper hos deras inverser. För en surjektiv operator $A \in Hom(E, F)$ är det sant att $A^{ -1} \in L(F, E)$ om och endast om det finns en positiv konstant $\alpha > 0$ sådan att:

\alpha \|x\| \leq \|Ax\| \quad \text{för alla } x \in E.

Detta förhållande mellan $A$ och $A^{ -1}$ är viktigt för att kunna studera stabiliteten hos operatorer och deras inverser.

För att knyta ihop dessa olika element är det avgörande att förstå att operatorernas egenskaper — såsom boundedness, kontinuitet och linjäritet — är djupt sammankopplade och avgörande för att kunna arbeta med dessa objekt på ett strukturerat sätt. Dessa egenskaper gör det möjligt att generalisera begreppen om operatorer till mer avancerade teorier, som exempelvis Banach-algebra och Cauchy-Riemann integraler, där operatorernas beteende får en ännu större betydelse.

Hur identifierar vi linjer och cirklar i kurvor?

För att förstå egenskaperna hos kurvor i ett plan är det centralt att identifiera och beskriva deras geometri på ett systematiskt sätt. En av de mest grundläggande egenskaperna är krökningen, som anger hur kurvans form förändras på små skala. För att exakt klassificera linjer och cirklar på en kurva används Frénets formel, som tillhandahåller ett kraftfullt verktyg för att koppla samman geometriska objekt såsom linjer, cirklar och krökning.

En linje segment, till exempel, kan kännetecknas genom att krökningen är noll över hela sin längd. Mer formellt, om vi har en plan kurva $\Gamma = [\gamma]$ som är en regelbunden $C^2$ -kurva, så kan vi definiera att $\Gamma$ är ett linjesegment om och endast om $\kappa(t) = 0$ för alla $t \in J$ , där $\kappa(t)$ är krökningen. Om krökningen är noll, innebär detta att kurvan är rak, och vi kan parametrera kurvan som en linje, dvs. $\eta(s) = a + b s$ , där $a$ och $b$ är konstantvektorer i $R^2$ .

Å andra sidan, om vi har en cirkulär båge, så är krökningen konstant och olika från noll. Om $\Gamma$ är en cirkulär båge med radie $r$ , så gäller att $|\kappa(t)| = \frac{1}{r}$ för alla $t \in J$ . Detta innebär att kurvan parametriseras av en funktion som speglar en cirkel, som till exempel $\gamma(t) = r e^{it} + m$ , där $m$ är en konstant punkt i planet och $r$ är radien. På så sätt definieras varje cirkulär båge genom sin krökning och radie, och vi får en exakt beskrivning av dess form.

För att förstå och exakt beskriva hur en kurva beter sig vid varje punkt, kan vi introducera begreppet den oskulerande cirkeln vid en punkt på kurvan. Detta är en cirkel som berör kurvan vid en viss punkt med samma tangentiella och krökta egenskaper vid denna punkt. För en regelbunden $C^2$ -kurva $\Gamma = [\gamma]$ , om $\kappa(t_0) \neq 0$ vid en punkt $t_0$ , definieras den omedelbara radien vid denna punkt som $r(t_0) := \frac{1}{|\kappa(t_0)|}$ . Den omedelbara oskulerande cirkeln är sedan en cirkel i $R^2$ med centrum vid $m(t_0) = \gamma(t_0) + r(t_0)e_2(t_0)$ och radie $r(t_0)$ .

Egenskaper hos dessa oskulerande cirklar är viktiga för att förstå den lokala geometri som kurvan uppvisar. En intressant observation är att den oskulerande cirkeln vid en punkt på kurvan är den unika cirkeln som vidrör kurvan vid denna punkt upp till andra ordningens approximation.

För att sammanfatta, att identifiera linjer och cirklar i kurvor handlar om att förstå kurvans krökning och hur denna förändras lokalt. Genom att använda Frénets formel och begreppet den oskulerande cirkeln kan vi på ett effektivt sätt beskriva geometri i planet och identifiera linjesegment och cirkulära bågar. Det är också viktigt att förstå begreppen krökning och torsion för att kunna beskriva mer komplexa kurvor i tredimensionella rum, där både krökning och torsion är relevanta för att beskriva hur kurvan beter sig på olika sätt.

För läsaren är det viktigt att förstå att den grundläggande geometriska egenskapen av krökning är starkt kopplad till hur vi uppfattar kurvans form på en lokal skala. Detta gör det möjligt att använda matematiska verktyg som Frénets formel för att korrekt beskriva och klassificera kurvor och deras lokala beteende. Vidare är kunskapen om torsion och oskulerande cirklar avgörande för att ge en fullständig bild av en kurvas geometri och för att förstå dess egenskaper på både mikroskopisk och makroskopisk nivå.

Hur Västvärldens Företag Kan Använda Tekniklokalism för att Hantera Kinesiska Företag
Hur trådlös kommunikation utvecklades genom experiment och innovation
Hur fungerar olika väte-lagringssystem för bränsleceller och deras framtida potential?
Vad ska man tänka på när man grillar på vägen?