Hur kvantilfunktioner och deras inversa funktioner relaterar till sannolikhetsmått och entropi

Inom teorin för sannolikhetsmått och entropi, särskilt när vi behandlar olika typer av fördelningar, är det viktigt att förstå begreppet kvantilfunktion och dess inversa funktion. En kvantilfunktion används för att definiera ett värde av en slumpmässig variabel baserat på ett givet sannolikhetsintervall. På samma sätt som den vanligare kumulativa fördelningsfunktionen (CDF), ger kvantilfunktionen oss en metod för att analysera hur en sannolikhetsfördelning förhåller sig till en specifik observation.

Om vi har en funktion $F$ definierad på ett öppet intervall $(a, b) \subset \mathbb{R}$, och $F$ är strikt växande, kan vi definiera dess inversa funktion $q$, som gör det möjligt att återställa det ursprungliga värdet av en variabel från dess kumulativa sannolikhet. När $F$ inte är strikt växande, t.ex. om den har diskontinuiteter, definieras den inversa funktionen genom att introducera vänster- och högerkontinuerliga versioner: $q^{ - }(s)$ och $q^{+}(s)$, där den vänsterkontinuerliga versionen anger det största $x \in (a, b)$ för vilket $F(x)$ är strikt mindre än $s$, medan den högerkontinuerliga versionen gör det omvända.

Denna distinktion mellan vänster- och högerkontinuerliga inversa funktioner är inte bara en teknisk detalj, utan också central för att förstå hur kvantilfunktionen beter sig vid diskontinuiteter eller "horizontella sträckor" i $F$. När vi arbetar med sannolikheter, exempelvis vid beräkning av entropi eller sannolikhetsmått, kan dessa egenskaper ha avgörande betydelse för den matematiska behandlingen.

Kvantilfunktionen är ett kraftfullt verktyg när vi arbetar med olika typer av sannolikhetsmått. Ett exempel på detta är när vi definierar en Gibbsfördelning $RZ$, där den maximal Shannon-Boltzmann entropin kan härledas. Entropin $S(Q)$ ger ett mått på osäkerheten eller informationsinnehållet i ett sannolikhetsmått $Q$, och enligt de teorem som behandlas i den relaterade teorin har den Gibbsfördelning som är baserad på $R$ maximal Shannon-Boltzmann entropi bland alla sannolikhetsmått som har samma förväntan som $Q$.

När vi byter ut $P$ mot en godtycklig referensmått $R \geq 0$, till exempel det räknande måttet eller Lebesgue-måttet på $\mathbb{R}^d$, kvarstår resultaten i teorin om relativ entropi och entropifunktioner. Det betyder att den Shannon-Boltzmann entropin för en sannolikhetsmått $Q$ relativt ett referensmått $R$ alltid kan jämföras med entropin för Gibbsfördelningen som definieras med $R$.

För att förstå dessa relationer är det viktigt att komma ihåg att entropi inte bara är ett sätt att kvantifiera osäkerhet, utan också ett sätt att jämföra olika sannolikhetsfördelningar. Vid behandling av mått, särskilt i samband med Gibbsfördelningar och deras entropier, blir det klart att de som maximera entropin under vissa betingelser är de mest osäkra i sitt inre innehåll. Detta kan hjälpa oss att förstå system som är i termodynamisk jämvikt eller att analysera andra typer av stokastiska processer.

Vid användning av kvantilfunktioner och deras inversa funktioner är det också av vikt att komma ihåg deras praktiska tillämpningar inom statistik och sannolikhetsteori. För att använda kvantilfunktionen effektivt, särskilt när man arbetar med sannolikheter för större datamängder eller mer komplexa system, krävs en god förståelse för hur dessa funktioner kan utvidgas och anpassas för att hantera olika typer av fördelningar och data. Det är genom dessa detaljer som vi kan gå från abstrakta teorier till praktisk tillämpning.

Det är också centralt att komma ihåg att när en funktion är definierad i termer av en invers kvantilfunktion, måste den uppfylla vissa kontinuitetskrav. Dessa krav garanterar att vi inte får några "språng" i vår analys, vilket annars skulle kunna leda till felaktiga resultat eller svårigheter i tillämpningarna. En kvantilfunktion kan vara ett användbart verktyg för att förstå fördelningar och deras egenskaper, men endast om den hanteras korrekt i alla relevanta kontexter.

Vad kan vi lära oss från teorin om riskhantering och finansmarknader?

Inom den matematiska finansens värld har förståelsen för risk och osäkerhet blivit avgörande för att kunna fatta beslut i en miljö där framtiden alltid är okänd och präglas av osäkerhet. Här har olika riskmått och teorier utvecklats för att kunna beskriva, kvantifiera och hantera dessa risker på ett tillförlitligt sätt. Ett exempel på denna utveckling är användningen av icke-additiva mått, såsom de som beskrivs av Denneberg i hans verk om snedvridna sannolikheter och försäkringspremier. Dessa mått erbjuder en mer sofistikerad syn på osäkerhet än traditionella additiva riskmått, där olika risker betraktas som helt separata och kan adderas samman.

Forskningen har också fokuserat på att utveckla metoder för att förstå och hantera risker i finansiella marknader där alla aktörer inte har samma information eller samma syn på framtiden. Modellen för prissättning av contingent claims (beroende krav), särskilt i närvaro av modellunsäkerhet, är ett exempel på detta. Det är ett område där teorier om osäkerhet och risk har anpassats för att ge mer precisa och robusta verktyg för att hantera sådana situationer. Detta har också lett till diskussioner om hur dynamiska riskmått kan användas för att anpassa riskbedömningen över tid, vilket är centralt för moderna finansiella marknader.

I en dynamisk värld där riskbedömningar och beslut ständigt behöver justeras, betonar Föllmer och hans kollegor vikten av att förstå de grundläggande teoretiska modellerna och de matematiska verktygen bakom riskhantering. Deras forskning om icke-redundanta krav och de matematiska metoder som används för att hedga sådana krav under ofullständig information är ett exempel på hur dessa teorier blir praktiska verktyg för aktörer på finansmarknader.

En central del i teorin om riskhantering är att förstå de olika typerna av riskmått som kan användas. Här talar man ofta om konvexa riskmått, som är avgörande för att kunna fatta beslut under osäkerhet. Dessa mått, som beskrivs av bland andra Föllmer och Schied, bygger på principen att man bör beakta både sannolikheten för förlust och hur allvarlig förlusten skulle vara. Detta innebär att man inte bara fokuserar på medelvärdet av en risk, utan också på andra viktiga aspekter såsom extremvärden och sällsynta men potentiellt katastrofala händelser.

Det är också värt att notera att riskmått inte är statiska, utan förändras beroende på marknadsdynamik och externa faktorer. Ett exempel på detta är den forskning som undersöker hur dynamiska riskmått kan användas för att hantera risk i en förändrad ekonomisk miljö, där faktorer som räntor och marknadsvolatilitet spelar en avgörande roll för riskbedömningen. Denna typ av forskning är viktig, särskilt när man ser till hur marknader utvecklas och hur nya riskfaktorer kan uppstå.

Utöver riskmåtten handlar också mycket av den moderna teorin om att skapa modeller som kan hantera osäkerhet, inte bara genom att kvantifiera risker, utan också genom att ge finansiella aktörer möjlighet att fatta informerade beslut när inte all information är tillgänglig. Ett konkret exempel på detta är teorin om "mean-variance hedging", som är ett sätt att balansera risken mellan avkastning och osäkerhet för att skapa en optimal portfölj i en osäker marknad.

En annan intressant aspekt av detta arbete är teorin om den "minimal entropi martingale" -metoden för prissättning, som Frittelli och andra har bidragit till. Denna teori är intressant eftersom den föreslår ett sätt att hantera risk i ofullständiga marknader genom att minimera entropin i riskbedömningen, vilket ger en mer robust prissättning av finansiella instrument.

Det är också av yttersta vikt att förstå den teoretiska grundvalen för olika typer av modeller. Denna förståelse hjälper till att identifiera deras begränsningar och applicera dem på rätt sätt i praktiska scenarier. Här måste läsaren vara medveten om att även om dessa modeller är kraftfulla, innebär de inte att alla risker kan elimineras eller ens förutses korrekt. Marknader och ekonomiska system är komplexa och innefattar faktorer som ofta är svåra att modellera.

Hur löses kortsiktig riskmätning baserat på nyttjande och hur kan den representeras genom minimala strafffunktioner?

Vi antar utan förlust av allmänhet att $\tilde{r} < r$. Det är uppenbart att $\ell(-X - r) \leq \ell(-X - \tilde{r})$ med strikt positiv sannolikhet. Vår påstående är dessutom att $\ell(-X - r) < \ell(-X - \tilde{r})$ med strikt positiv sannolikhet. När detta påstående bevisas kommer vi att få $E[ \ell(-X - r) ] < E[ \ell(-X - \tilde{r}) ]$, vilket leder till en motsägelse med vår ursprungliga hypotes att både $\tilde{r}$ och $r$ löser ekvationen (4.105).

För att bevisa vårt påstående att $\ell(-X - r) < \ell(-X - \tilde{r})$ med strikt positiv sannolikhet, måste vi först notera att den växande konvexa funktionen $\ell$ är strikt växande på $\ell^{ -1}((\inf \ell, \sup \ell))$ enligt (A.5), och att $\sup \ell = \infty$. Eftersom sannolikheten $P[\ell(-X - \tilde{r}) \geq x_0]$ måste vara strikt positiv och eftersom $x_0 > \inf \ell$, följer det att både $-X - r$ och $-X - \tilde{r}$ tillhör $\ell^{ -1}((\inf \ell, \infty))$ med strikt positiv sannolikhet. Därmed får vi att $\ell(-X - r) < \ell(-X - \tilde{r})$ med strikt positiv sannolikhet.

I det föregående beviset använde vi inte antagandet $x_0 \in (\inf \ell, \sup \ell)$ för att visa att $r = \rho(X)$ löser ekvationen $E[\ell(-X - r)] = x_0$. Detta faktum är också sant om $x_0 = \inf \ell$ och $\ell$ uppnår sitt infimum. Denna observation kommer att användas i beviset för teorem 4.137 i sektion 4.12. Dock användes antagandet att $x_0 \in (\inf \ell, \sup \ell)$ för att härleda unikheten av lösningen $r$ för ekvationen $E[\ell(-X - r)] = x_0$.

Varje lagen-invariant konvex riskmått $\rho$ på $L^\infty$ ger upphov till en funktionell $R$ på en delmängd av rummet $M_b(\mathbb{R})$ av alla Borel-sannolikhetsmått på $\mathbb{R}$ med begränsat stöd: $R(\mu) := \rho(X)$ när $P \circ X^{ -1} = \mu$. Denna delmängd är lika med hela $M_b(\mathbb{R})$ om det underliggande sannolikhetsrummet $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ är atomfritt; se appendix D.4. Om $\rho$ är ett nyttjande-baserat shortfall-riskmått, så visar proposition 4.121 att $R(\mu)$ ges av den unika lösningen $r$ för ekvationen $\int \ell(-x - r) \, \mu(dx) = x_0$. Eftersom vänstra sidan av denna ekvation är en affin funktion av $\mu$, har den funktionella $R$ följande egenskap: Om $R(\mu) = R(\nu) = r$, så gäller $R(\lambda \mu + (1 - \lambda) \nu) = r$ för alla $\lambda \in [0, 1]$. Denna egenskap kallas ibland för konvexiteten hos nivåmängderna på distributionsnivå, eller CxLS, och är kopplad till den så kallade elicitabiliteten hos riskmått. Under vissa förutsättningar karakteriserar det shortfall-riskmått av form (4.104); se [320] och [94] samt referenserna däri.

För ett nyttjande-baserat shortfall-riskmått $\rho$ är $\rho$ kontinuerlig från nedan. Specifikt kan $\rho$ representeras i formen:

där $Q$ är en sannolikhetsmått i $M_1(P)$.

Beviset för detta börjar med att anta att $(X_n)$ är en sekvens i $L^\infty$ som växer $P$-nästan säkert till ett $X \in L^\infty$. Då minskar $\rho(X_n)$ till ett slutet värde $r$. Genom att använda kontinuiteten hos $\ell$ och dominerad konvergens följer det att:

Genom proposition 4.121 är varje av de approcherande förväntningarna lika med $x_0$, och därför är $r$ en lösning till ekvationen (4.105). Därmed är $r = \rho(X)$, vilket bevisar kontinuiteten från nedan.

Exempel 4.125 ger en särskild form för minimal strafffunktion för ett exponentiellt förlustmått $\ell(x) = e^{\beta x}$, där den minsta strafffunktionen kan beskrivas i termer av relativ entropi, och det resulterande riskmåttet överensstämmer med det entropiska riskmåttet.

För mer komplexa förlustfunktioner kan den minimal strafffunktionen uttryckas genom Fenchel–Legendre-transformen eller den konjugata funktionen $\ell^*$ av den konvexa funktionen $\ell$.

Det är viktigt att förstå att denna representation av riskmått är särskilt användbar vid analys av risker i sammanhang där sannolikhetsmåttens stöd är begränsat och där riskmåtten måste vara robusta mot förändringar i dessa sannolikheter.