Hur den virtuella förskjutningsprincipen används för att analysera icke-linjära strukturer

Den virtuella förskjutningsprincipen är en grundläggande metod inom mekaniken för att analysera belastningar och deformationer i fasta kroppar. Den används för att beskriva förhållandet mellan de interna krafterna (stress) och de resulterande deformationerna (sträckningar) i ett objekt som är i jämvikt under ett givet tillstånd. I en icke-linjär analys, där materialets och strukturets beteende inte kan beskrivas med linjära modeller, blir denna princip ett ovärderligt verktyg.

Ytterligare en viktig aspekt är hanteringen av gränsvillkor. En strukturs yta kan delas upp i två delar: en del där yttre yttre krafter (belastningar) är specificerade, och en annan del där förskjutningar är kända. De första kallas naturliga eller mekaniska gränsvillkor, medan de andra kallas geometriska eller rigida gränsvillkor. Det är avgörande att båda typer av gränsvillkor tillgodoses för en exakt lösning.

När vi inför virtuella förskjutningar i analysen, är det viktigt att förstå att dessa är små förskjutningar som läggs till det aktuella jämviktsläget. Eftersom de är virtuella, innebär det att de inte förändrar de faktiska förskjutningarna där förskjutningar redan är givna på strukturets yta.

Genom att använda den virtuella förskjutningsprincipen kan vi formulera det externa virtuella arbetet, som gör det möjligt att beräkna hur de yttre krafter och inre krafter interagerar under deformation:

där $n_j$ är komponenterna av enhetens normalvektor till ytan och $u_i$ är de virtuella förskjutningarna i volymen. Denna formel är grundläggande för att förstå hur externa och interna krafter kopplas samman i ett system under virtuella förskjutningar.

Den virtuella förskjutningens princip utgör inte bara ett nödvändigt och tillräckligt villkor för jämvikten hos ett fast ämne, utan den visar också att spänningarna och de infinitesimala deformationerna är konjugerade i termer av virtuellt arbete. Denna egenskap gör principen användbar vid icke-linjära analyser där materialbeteendet inte kan beskrivas med linjära modeller, eller där de yttre belastningarna inte följer konservativa, vägoberoende mönster.

Ett av de största fördelarna med denna princip är att den inte kräver specifika antaganden om materiallagar eller belastningstyper. Det gör att vi kan applicera den på ett brett spektrum av fysiska system och strukturer, inklusive de som är geometriskt icke-linjära. Genom att inkludera icke-linjära sträckkomponenter i de inkrementella Lagrangian-formuleringarna kan vi ta hänsyn till komplexa deformationsmönster utan att behöva använda sig av förenklade modeller.

För att tillämpa denna princip i praktiska icke-linjära analyser måste referenskonfigurationen noggrant väljas. Vanligtvis används den initiala konfigurationen som referens i Total Lagrangian-formuleringen, medan den senaste beräknade konfigurationen används i den Uppdaterade Lagrangian-formuleringen. Dessa omvandlingar gör att vi kan övervinna de problem som uppstår i icke-linjära problem där den ursprungliga konfigurationen inte är känd innan analysen genomförts.

Det är också viktigt att förstå att den virtuella förskjutningsprincipen är nära kopplad till det fenomen som kallas "arbete". Eftersom arbete är en energiöverföring mellan systemet och omgivningen, innebär det att alla förändringar i de inre krafter och displacementsfält som uppstår under deformation måste beaktas. Genom att använda denna princip i kombination med modern numerisk simuleringsteknik, såsom finit elementmetod (FEM), kan vi lösa komplexa strukturella problem som involverar stora deformationer och icke-linjärt materialbeteende.

Hur man använder den inkrementella-iterativa metoden för icke-linjär analys av ramstrukturer

Vid analys av ramstrukturer med geometriskt icke-linjära beteenden är den inkrementella-iterativa metoden en väsentlig teknik för att modellera och lösa komplexa strukturella problem. Processen innebär flera steg där varje iteration bygger vidare på föregående resultat för att noggrant spåra strukturens svar under varierande belastningar. Den här metoden är särskilt användbar när det handlar om att hantera stora deformationer och att noggrant modellera beteendet vid kritiska belastningspunkter.

För att genomföra en sådan analys börjar man med att definiera det initiala laststeget och bestämma den totala förskjutningen för den första iterationen. Om det initiala värdet för lastparametern, λi1, är negativt, justeras detta genom att multiplicera med −1 för att säkerställa att lastens riktning stämmer överens med den förväntade lastpåverkan. I varje iteration beräknas de obalanserade krafterna och de totala förskjutningarna uppdateras, vilket tillåter en noggrannare beräkning av strukturens beteende.

I varje iteration uppdateras även styvhetsmatrisen för strukturen, vilket är en valfri men viktig åtgärd för att säkerställa att de mekaniska egenskaperna förblir korrekta under analysens gång. Genom att lösa de resulterande ekvationerna för de olika förskjutningsvektorerna får man en uppfattning om hur hela strukturen reagerar på pålagda laster. För att vidare beskriva detta, är det värt att notera att vid varje iteration uppdateras även den totala lastfaktorn och strukturella förskjutningar, vilket gör att man får en mer detaljerad bild av hur hela systemet svarar på förändringar i belastning.

För att avsluta analysen, upprepas processen tills ett tillräckligt noggrant resultat har uppnåtts, vanligtvis genom att kontrollera felet i normala förskjutningar eller liknande kvantiteter. Om den totala lastfaktorn överstiger den maximala tillåtna gränsen, stoppas proceduren för att förhindra att strukturen överbelastas.

Exempel på tillämpningar av denna metod kan ses i numeriska exempel som den tvåledade trussen, som testas för att verifiera tillförlitligheten hos den inkrementella-iterativa metoden. I detta fall analyseras två olika lastfall där ett lastfall introducerar en liten imperfektion i den horisontella lasten och det andra i den vertikala. Resultaten visade att metoden effektivt hanterar kritiska punkter som snap-back och övergångar mellan stabila och instabila tillstånd, vilket gör det möjligt att exakt följa hela last-deformationskurvan utan att missa viktiga förändringar i strukturellt beteende.

För att säkerställa att lösningarna är korrekta måste man beakta geometrins noggrannhet och kontrollera att alla förenklade modeller inte leder till betydande felaktigheter. Till exempel, för bågstrukturer, är det särskilt viktigt att upprätthålla en detaljerad representation av bågens geometri, vilket gör att även små förändringar kan få stor betydelse för resultatet.