Hur magnetisering påverkar tätheten av tillstånd och elektronens koncentration i kvantiserade material

$$n_0 = \left[\frac{U_4}{F}\cdot \frac{1}{2\pi^2}\sum_{n=0}^\infty \left( NB(E) \sqrt{U_{49, \pm}(E, n, \eta_g)}\right)\right]^{1/2}$$

Denna formel visar hur koncentrationen förändras beroende på det externa magnetfältet och andra parametrar som påverkar de magnetiska egenskaperna hos materialet.

Vidare, när man analyserar magneto-dispersionsrelationerna i kvantiserade halvledare som HD Pb₁₋ₓGeₓTe, hittar vi att de är koncentrationsberoende, vilket innebär att koncentrationen påverkar fördelningen av Landau subband. Detta är ett resultat av att materialet bildar bandsvansar, vilket leder till att subbanden får olika energinivåer beroende på elektrontätheten. I detta sammanhang uttrycks magneto-dispersionsrelationen för HD Pb₁₋ₓGeₓTe enligt:

Det är viktigt att notera att dessa subband är koncentrationsberoende och att de exakta relationerna mellan energinivåerna kan variera beroende på hur många fria elektroner eller hål som finns i systemet.

Vid behandling av dessa material under magnetisering används olika modeller för att beskriva magnetiseringens effekt på energinivåerna och densiteten av tillstånd. En sådan modell är den som baseras på Kanes DOS-teknik, som vidareutvecklades av Tsitsishvili och Dyakonov. De fann att den fördelning av spridningspotentialer som förekommer i dessa material följer en Gaussisk fördelning. Detta ledde till ett sätt att numeriskt beräkna densiteten av tillstånd i dessa material och analysera hur spridningspotentialerna påverkar elektronernas rörelse under påverkan av ett yttre magnetfält.

För att beräkna DOS för dessa system, används en metod som involverar att man tar hänsyn till den långsamt varierande spridningspotentialen i kristallen och integrerar över den Gaussiska fördelningen av lokala potentialfluktuationer. Detta gör det möjligt att numeriskt avgöra hur många elektroner som finns i varje subband och hur deras energi förändras under olika förhållanden. Formeln för DOS kan skrivas som:

där $E_1s$ är den energinivå som representeras av Landau subbanden, och $V(r̄)$ är den långsamt varierande spridningspotentialen.

Det är också viktigt att förstå hur materialens fysik under magnetisk kvantisering påverkar materialens optiska och elektriska egenskaper. Till exempel, vid extremt höga koncentrationer av elektroner eller hål, kan effekterna av magnetfältet leda till förskjutningar i subbandens energi, vilket ger upphov till en förändrad elektronisk struktur. Detta kan vara avgörande för tillämpningar där precisa kontroll av elektriska och optiska egenskaper är nödvändiga, såsom i optoelektroniska enheter och sensorer.

Hur bandstrukturen för III-V och II-VI SLs med graderade gränssnitt påverkar elektroniska egenskaper och subbandenergi

De elektroniska egenskaperna hos III-V supergitter (SLs) med graderade gränssnitt bestäms i stor utsträckning av densitetsfunktioner (DOS) och bandstrukturer som definieras av den trebandsmodell som Kane föreslog. Modellen beskriver dispersionen av elektroner genom energi och vågvektorer i material med olika sammansättningar, där elektronernas dynamik i stor utsträckning beror på parametrar som materialets bandgap, dopningsgrad och gränssnittens profil.

När man tar hänsyn till dopning och bandstrukturens förändringar vid gränssnitten, särskilt när gränserna är graderade, påverkas dispersionsrelationerna ytterligare av faktorer som bandförskjutning och gränsskiktspotentialer. Därför måste dessa parametrar noggrant beaktas för att förstå hur de elektroniska egenskaperna förändras i sådana system.

Ett annat viktigt begrepp är subbandenergin, som är den diskreta energinivån för elektroner i kvantwell- eller kvantskiktstrukturer. Subbandenergin hos elektronerna kan uttryckas i termer av de fysikaliska parametrarna som definierar supergitterstrukturen, och dessa energinivåer är avgörande för att förstå transportegenskaper och optiska fenomen i sådana system. Eftersom energinivåerna är kvantiserade i material med kvantmekaniska effekter spelar graden av dopning, såväl som gränssnittens profil, en central roll i att definiera dessa nivåer.

En ytterligare aspekt som påverkar bandstrukturen i III-V och II-VI SLs med graderade gränssnitt är närvaron av bandsvansar, där de elektroniska tillstånden vid energigränser försvagas. I detta sammanhang måste den numeriska utvärderingen av DOS-funktionen beaktas noggrant, eftersom det kan finnas övergångar och icke-idealiska effekter som påverkar de faktiska energinivåerna.

För II-VI supergitter är den generella strukturen liknande, men med skillnader i de materialkonstanter som används i bandstrukturbeskrivningen. Liksom i III-V material måste det tas hänsyn till både longitudinella och transversella effektiva massor, och effekten av dopning och graderade gränssnitt kan förändra det elektroniska spektrumet avsevärt. För att få en fullständig förståelse av dessa system är det avgörande att analysera både dispersionsrelationerna och de associerade energinivåerna för att kunna förutsäga systemets egenskaper under olika fysiska förhållanden.

För att verkligen förstå elektronernas dynamik i sådana system måste man överväga både deras kvantiserade beteende och hur dessa kvantiseringar är kopplade till materialets strukturella och elektroniska konfigurationer. Detta innebär att en detaljerad och numerisk bedömning av densitetsfunktioner är nödvändig för att få exakta värden för subbandenergi och för att identifiera eventuella avvikelser från idealiserade modeller.

Hur beräknas tillståndstätheten i supergitter under tight binding-approximation med hänsyn till ljusvågor och magnetisk kvantisering?

Tillståndstätheten (Density of States, DOS) i supergitter beskrivs med stor noggrannhet under tight binding-approximationen, där man tar hänsyn till effekterna av ljusvågor, magnetisk kvantisering och olika fysikaliska tillstånd. Dispersionrelationerna för olika typer av supergitter—såsom kvantbrunnar, nanotrådar och kvantprickar—kan uttryckas med hjälp av väl definierade funktioner γ(E, λ) som innefattar energinivåer, bandparametrar och ljusvågsparametrar. I dessa system beror den elektroniska strukturen starkt på kvantiseringseffekterna, som i sin tur påverkas av ljusintensitet, våglängd och magnetfält.

Dispersionrelationerna för supergitter under dessa förhållanden kan i allmänhet formuleras som en kombination av koherenta hopptermer och fasfaktorer, vilka sammanlänkar subbandenergier (ESB) och Fermi-energier (EF). Det är särskilt viktigt att notera att subbandenergin kan uttryckas som en funktion av k-värden, kvanttal i olika riktningar (nx, ny, nz), och parametrar som relaterar till supergittrets periodiska struktur och extern påverkan som magnetfält eller ljus.

Elektronmassans effektiva värde, eller EFM (Effective Mass), kan beräknas riktat längs olika axlar i supergittret och är avgörande för att beskriva transportegenskaper. EFM uttrycks ofta som derivator av dispersionsfunktionen och visar hur elektronernas respons varierar med förändringar i energi och vågvektor.

Tillståndstätheten i dessa strukturer kan beräknas via derivatan av dispersionsrelationerna och inkluderar Heaviside-funktioner som anger energitrösklar för tillgängliga tillstånd. För olika dimensioner av kvantisering (1D nanotrådar, 2D kvantbrunnar och 3D kvantprickar) förändras formen på DOS, vilket får stor betydelse för elektrontransport och optiska egenskaper. Vid extrem bärardegenerering uttrycks elektronkoncentrationen n0 som en summa över kvanttillstånd med hjälp av DOS-funktionerna.

Att förstå och korrekt modellera dessa relationer kräver en noggrann behandling av de involverade funktionerna a(EF, ηg), b(EF, ηg) och deras derivator, vilka kodar information om hoppparametrar och externa påverkansfaktorer. Dessa parametrar är ofta kopplade till experimentellt observerbara storheter och kan användas för att förutsäga beteendet hos elektroner i högkvalitativa halvledarstrukturer.

Utöver den matematiska formuleringen är det centralt att beakta hur variationer i strukturella parametrar som periodlängd, sträcka i olika riktningar och den geometriska konfigurationen av supergittret påverkar de kvantmekaniska tillstånden. De fysikaliska förhållanden, såsom närvaro av ljusvågor med olika intensitet och våglängd, samt magnetfältets riktning och styrka, förändrar elektronernas dynamik genom att påverka bandstrukturen och därmed den elektriska ledningsförmågan och optiska övergångar.

För läsaren är det också viktigt att inse att dessa teoretiska modeller ofta bygger på approximationer som tight binding och använder olika förenklingar för att göra problemet hanterbart. I verkligheten kan effekter såsom många-kroppsinteraktioner, defekter och termisk rörelse påverka resultaten, vilket gör att numeriska simuleringar och experimentella bekräftelser är nödvändiga för att verifiera de teoretiska förutsägelserna.

Det är också väsentligt att förstå kopplingen mellan den kvantmekaniska beskrivningen och de praktiska egenskaperna som påverkar till exempel transport, optisk absorption och emission, och hur dessa kan styras genom yttre parametrar. Detta möjliggör design av material och strukturer med önskade egenskaper, såsom hög mobilitet eller selektiv optisk respons.

Hur påverkar de komplexa energispektrumen och svansarna i förbudszonerna densitetstillstånd (DOS) i högdimensionella icke-paraboliska material?

Liknande oscillerande mönster med negativa DOS-värden uppträder även för kurva (b), vilket bekräftar teorins förutsägelser om nya förbjudna zoner även för den trebands Kane-modellen applicerad på material som HD CdGeAs₂. De energivärden där sådana förbjudna zoner uppträder ligger runt –1,7 till –1,8 eV. Det är även tydligt att kurvorna avviker markant för negativa energier, vilket återspeglar olika dynamik för elektronernas tillstånd i de olika modellernas ramverk.

I analyser av HD n-InSb och liknande material framträder komplexa energispektrum där både den reella delen (T31) och imaginära delen (T32) av den perturberade trebandsmodellen spelar viktiga roller. Den imaginära delen av energispektrum, särskilt framträdande när energibandet Eg är mindre än spinn–bana splittringen Δ (såsom i InSb och Hg₁₋ₓCdₓTe), representerar svansar som sträcker sig in i ledningsbandet (E > 0). Dessa svansar är viktiga för förståelsen av elektronernas tillgängliga tillstånd och deras spridningsbeteende, eftersom de modifierar bandkanterna genom att ge upphov till ett icke-trivialt komplex spektrum.

Vidare försvinner den imaginära delen av energispektrum när man betraktar den perturberade tvåbandsmodellen av Kane eller den perturberade parabolmodellen, vilket antyder att dessa enklare modeller inte fångar upp de komplexa elektroninteraktioner som ger upphov till svansar och komplexa tillstånd. De obearbetade banden visar aldrig sådana svansar, vilket innebär att inkluderingen av perturberingar och interbandseffekter är avgörande för realistisk modellering av HD-materialens elektroniska egenskaper.

Oscillationerna i DOS för negativa energier beror på att skillnaden mellan T32 och T31 inte är noll, vilket ger upphov till en fasfaktor ϑ21 som är betydande och leder till svängningar. När ϑ21 överstiger π blir cosinus negativ, vilket skapar negativa DOS-värden och därmed förbjudna zoner. Dessa förbjudna zoner framträder i bandkanterna och förstärker den komplexa strukturen av tillstånd som elektronernas vågfunktion kan anta.

Svansarna i den reella delen av T31(E, ηg) sträcker sig in i förbjudna band och vidare in i spinn-splittringsbandet där de interagerar med föroreningar i materialet. Denna interaktion resulterar i ett komplext energispektrum, vilket är karakteristiskt för HD-material som beskrivs av den trebands Kane-modellen. När bandgapet Eg är ungefär lika med Δ blir den imaginära delen som mest framträdande, medan svansens djup minskar. När Eg är mindre än Δ, såsom i n-InAs, täcker svansen i T31 ett betydande område i det förbjudna bandet och sträcker sig in i spinn-splittringsbandet, vilket accentuerar den komplexa energistrukturen.

Den komplexa energistrukturen och de förbjudna zonerna i bandkanterna har avgörande betydelse för materialens elektrontransport och optiska egenskaper. Förståelsen av dessa fenomen är därför grundläggande för att designa och optimera halvledare och kvantstrukturer med skräddarsydda elektroniska egenskaper.

Det är också viktigt att inse att sådana svansar och komplexa spektra inte bara är teoretiska konstruktioner utan har direkta konsekvenser för experimentella observationer, såsom förändringar i ledningsförmåga och optiska övergångar. Därför bör tolkningar av experimentdata i HD-material alltid ta hänsyn till den komplexa bandstrukturen och de elektroniska tillståndens icke-triviala karaktär som framgår av de avancerade modellerna.

Hur fungerar Density-of-States-funktionen och dess tillämpningar i kvantiserade strukturer?

Density-of-States (DOS)-funktionen är en central parameter när det gäller att beskriva elektriska egenskaper i kvantiserade strukturer, särskilt i nanomaterial och halvledare. Den beskriver antalet tillstånd per energiintervall som är tillgängliga för elektroner eller hål. För material som är kvantiserade i en eller flera dimensioner spelar DOS en avgörande roll för att förstå transportbeteenden, termodynamiska egenskaper och optiska respons.

I nanowires (NW) av halvledarmaterial med högdegenererad doping, som IV-VI material, kan DOS-funktionen skrivas i ett förenklat form som en summa av energiberoende termer. Denna funktion används för att modellera och förutsäga de elektriska egenskaperna av system under kvantiseringsvillkor. Vid analys av dessa funktioner är det viktigt att beakta både den partiella energinivån i bandet och hur den förändras med hjälp av kvantiserade koordinater och de varierande fysikaliska parametrarna som påverkar materialets prestanda.

En av de mest intressanta aspekterna av dessa modeller är hur den diffusa transporten (DMR, Diffusion-Mobility Relation) fungerar under olika betingelser. För 1D-nanowires av olika material, kan vi se hur det elektriska fältet förändras och hur elektroner och hål beter sig i ett system där energinivåerna är starkt kvantiserade. Genom att analysera dessa funktioner får vi en djupare förståelse för ledningsförmåga och det elektriska beteendet i extremt små strukturer, där traditionella modeller för elektrontransport inte längre gäller.

Vidare, när man undersöker sådana material som HD-non-paraboliska halvledare i NW-format, är det inte bara viktigt att förstå densitetsfunktionerna utan också att ta hänsyn till effekten av stress och andra yttre faktorer som kan förändra materialets egenskaper. I många av dessa system är bandstrukturen inte parabolisk utan snarare beskriven av mer komplexa modeller som kan inkludera icke-linjära termer, vilket i sin tur leder till förändringar i både DOS och transportegenskaper.

För att ytterligare förstå och tillämpa dessa modeller effektivt, är det nödvändigt att beakta hur olika parameterkombinationer påverkar resultatet. Faktorer som materialets specifika bandgap, kvantiseringsdimensionerna och det externa elektriska eller magnetiska fältet kan alla ha en djupgående inverkan på både DOS och det elektriska fältets fördelning. Dessa aspekter måste därför inkluderas i modelleringen för att skapa mer realistiska och precisa förutsägelser om materialens beteende vid kvantnivå.

Vidare kan det vara användbart att förstå hur olika modeller och deras tillämpningar, såsom Bangert och Kastner-modellen eller andra relaterade teorier, ger ytterligare insikter i hur systemet fungerar under varierande fysikaliska omständigheter. Dessa modeller ger förslag på hur k-värden i systemet (relaterat till vågvektorer i den kvantiserade strukturen) och elektronens fördelning kan uttryckas i ett övergripande formulär, vilket gör det möjligt att identifiera specifika transportegenskaper i material som annars skulle vara svåra att analysera. Det är också värt att notera att under extrema villkor som t.ex. hög dopning, kan nya fysiska fenomen uppstå, vilket gör det nödvändigt att använda dessa modeller för att få en fullständig förståelse.

En ytterligare aspekt är att när materialet inte uppvisar band-svansbeteende (band tails), kan dess elektroniska egenskaper beskrivas i ett förenklat format som inte kräver att man tar hänsyn till dessa svansar, vilket underlättar analysen av material som inte har vanliga bandstrukturkomplikationer. Detta gör modellerna mer användbara för material som används i specifika tillämpningar där hög grad av renhet eller låga dopningsnivåer är nödvändiga för att upprätthålla vissa prestandaegenskaper.