Hur kan vi karakterisera uniform Doob-dekompositioner under restriktioner?

En av de centrala målsättningarna för denna sektion är att karakterisera de icke-negativa anpassade processer $U$ som kan dekomponeras enligt uttrycket:

där $\xi$ är en förutsägbar $d$-dimensionell process som tillhör $S$, och där $B$ är en anpassad och ökande process sådan att $B_0 = 0$. För det okonstaterade fallet, där $S$ består av alla strategier, har vi redan sett i avsnitt 7.2 att en sådan dekomposition existerar om och endast om $U$ är en supermartingal under varje ekvivalent martingalmått $P^* \in P$. I det nuvarande sammanhanget skulle en första gissning kunna vara att den roll som $P$ spelade nu tas över av $P_S$. Eftersom varje värdeprocess för en strategi i $S$ är en lokal $P_{\tilde{}}$-supermartingal för varje $P_{\tilde{}} \in P_S$, skulle vilken process som helst $U$ som har en dekomposition enligt (9.15) också vara en lokal $P_{\tilde{}}$-supermartingal för $P_{\tilde{}} \in P_S$. Man kan därför misstänka att denna egenskap även skulle vara tillräcklig för att en sådan dekomposition (9.15) ska existera. Detta är dock inte fallet, vilket illustreras av följande enkla exempel.

Anledningen till att dekompositionen (9.15) misslyckas för vissa $P_S$-supermartingaler är att $P_S$ inte reflekterar hela strukturen hos $S$; definitionen av $P_S$ beror enbart på konen $\{\lambda \xi \mid \lambda > 0, \xi \in S\}$ som genereras av $S$. I det tillvägagångssätt som presenteras här kommer strukturen av $S$ att reflekteras av en stokastisk process som vi associerar med varje mått $Q \ll P$.

Vad är den optimala stopptiden och hur påverkar den superhedgingstrategier?

För varje stoppningstid $\tau$ i mängden $T$, kan varje $\rho \in T_{\tau}$ uttryckas på ett visst sätt genom stoppningstider $\rho_1$ och $\rho_2$. Genom att ta det essentiella supremumet över alla $\rho_1$ och $\rho_2$, och tillämpa Proposition 6.37, får vi uttrycket i formeln (9.29). I själva verket är $AQ_{\tilde{\tau}} = AQ_{1 \tilde{\tau}}$ i formel (9.29), vilket vi kommer att bevisa i den följande lemmate.

Beviset bygger på Teorem F.1 och det tillhörande beviset, där det finns en sekvens $(Q_{0n})$ i $Q_S$ så att $\lim_{n \to \infty} \max(\tilde{U}_{Q_0 n} + AQ_n) = \tilde{U}^{\uparrow}$. För varje $Q_k$ definieras mängderna $\Lambda_k^{\delta} \in F_{\tau}$ så att $\Lambda_k^{\delta} \subset \Lambda_{k-1}^{\delta}$, $Q_0[\Lambda_k^{\delta}] \geq 1 - (1 - 2^{ -k})\delta$, och på varje sådan mängd gäller att $\tilde{U}_{Q_k}^{\tau} + AQ_k^{\tau} = \max(\tilde{U}_{Q_0 n}^{\tau} + AQ_0 n^{\tau})$.

När vi nu övergår till att bevisa huvudresultatet i avsnittet, Proposition 9.26, ser vi att för ett givet $Q_0 \in Q_S$, $t \in \{t, \dots, T\}$, och måttet $Q_t(Q_0)$, där vi definierar den övre Snell-envelopen som det essentiella supremumet, gäller att

Det innebär att $\tilde{U}^{\uparrow t} - AQ_0^{t}$ uppfyller en supermartingale-egenskap för varje $Q_0 \in Q_S$, och det är detta faktum som gör att vi kan använda den som en referenspunkt för superhedgingstrategier.

För att konkretisera, om $U$ är en process som dominerar $H$ och $U - AQ$ är en $Q$-supermartingale för varje $Q \in Q_S$, så måste $\tilde{U}_Q^{\uparrow}$ uppfylla kraven för en $Q$-supermartingale och dominerar $H - AQ$. Detta är en grundläggande princip för superhedging där vi vill säkerställa att ingen annan stoppningstid ger ett bättre resultat än den optimala $\tau^*$.

Det är avgörande för läsaren att förstå att den övre Snell-envelopen inte bara representerar en optimal hedgingstrategi utan även den minimala mängd som krävs för att implementera en sådan strategi. Denna mängd beror på en noggrant vald stoppningstid och ett sannolikhetsmått som tillåter en optimalt anpassad lösning i komplexa finansiella marknader där risker och restriktioner är ständigt närvarande.

Vad innebär laginvariant riskmått i finansiell teori och deras tillämpningar?

Riskmått spelar en central roll inom finansiell teori och försäkring, där de används för att kvantifiera osäkerhet och förluster, särskilt när marknader inte är fullständigt homogena eller när det finns oklara risker. Ett av de mest använda begreppen är laginvariant riskmått. Laginvariant riskmått innebär att riskmåttet inte förändras om det sker en omfördelning av sannolikheterna som inte påverkar den ekonomiska beslutsfattaren. Det vill säga, om två osäkra situationer har samma fördelning, kommer deras riskmått att vara lika, oavsett hur de presenteras för beslutsfattaren.

Detta begrepp grundar sig på så kallade koherenta riskmått, som introducerades för att hantera olika former av osäkerhet på ett robust sätt. Koherenta riskmått har fyra grundläggande egenskaper: positiv homogenitet, subadditivitet, translation-invarians och monoteism. En av de mest populära formerna av laginvariant riskmått är Value at Risk (VaR) och Expected Shortfall (ES), som har blivit standardmått inom riskhantering och kapitalkrav för finansiella institutioner.

Det är också viktigt att förstå den dynamiska aspekten av riskhantering. Exempelvis i studier om dynamisk handel under integer- eller diskreta restriktioner (som i arbetet av Gerhold och Krühner, 2018), framgår att beslut om köp eller försäljning inte bara påverkas av aktuella marknadsförhållanden, utan också av de tidigare beslut som fattats i enlighet med riskmåtten. Detta gör att riskmått måste vara tillräckligt flexibla för att hantera dessa föränderliga marknadsförhållanden.

I samband med laginvariant riskmått har det också funnits en stor mängd forskning om arbetslöshet och konsistens av marknadspriser, vilket är avgörande för att fastställa rättvisa och hållbara modeller för finansiella marknader. Krätschmer och Schied (2014) fokuserade på robusta representationer av riskmått och vikten av att säkerställa att dessa mått kan bibehållas även i osäkra marknadssituationer. Deras arbete fördjupar förståelsen av hur marknader, och därmed riskmått, anpassas till förändringar i marknadsdynamik, såsom volatila eller plötsliga prisrörelser.

Ett annat viktigt område som forskningen har belysat är fördelningsinvarians och hur riskmått påverkas av förändringar i fördelningarna. Detta blir särskilt relevant i analysen av försäkringsmodeller och deras tillämpningar i riskhantering, där sannolikhetsfördelningar kan vara komplexa och osäkra. Försäkringsindustrin, särskilt när det gäller livförsäkringar eller katastrofförsäkringar, måste ofta navigera i ett landskap där riskerna inte är fullt kända eller förstådda, vilket gör laginvariant riskmått till en viktig komponent i att skapa pålitliga och stabila modeller.

För att skapa mer robusta och exakta modeller kan man använda stochastic dominance-metoder och optimala riskdelningsmodeller. Gollier och Schlesinger (1996) visade hur stochastic dominance kan tillämpas på riskmått för att identifiera preferenser i osäkra beslutssituationer. Det betyder att för att kunna fatta optimala beslut under osäkerhet, är det avgörande att förstå de underliggande riskmåtten och hur dessa mått förändras med marknadsdynamik och externa faktorer.

En annan viktig aspekt är förståelsen av olika typer av osäkerhet och hur de hanteras i modeller. Det finns skillnader mellan risk och osäkerhet som ofta förväxlas i många finansiella sammanhang. Risk innebär kända sannolikheter för olika utfall, medan osäkerhet handlar om situationer där dessa sannolikheter är okända eller mycket svårbedömda. Kahneman och Tverskys (1979) prospect theory ger ett sätt att hantera osäkerhet genom att undersöka hur människor gör val under risk och osäkerhet, vilket kan påverka både individuella och institutionella beslut i riskhantering.

Laginvariant riskmått är en kraftfull metod för att analysera och förstå risker på finansiella marknader, men det finns många faktorer som påverkar dess tillämpning i praktiken. Förståelsen av dessa mått måste vara kopplad till en djupare förståelse för marknadsdynamik, preferenser hos ekonomiska aktörer och de tekniska verktyg som finns tillgängliga för att modellera risk. Endast genom en sådan integrerad syn på risk kan man effektivt tillämpa dessa teorier i både teori och praktik.

Vad innebär det att en marknad är komplett i dynamisk arbitrage-teori?

I teorin om dynamisk arbitrage behandlar man ofta det centrala begreppet avmartingal-mått, särskilt hur olika mått på sannolikhet kan definieras i en marknadsmodell och hur dessa påverkar de arbitrage-fria priserna på tillgångar och derivat. Ett viktigt resultat här är att i en arbitrage-fri marknad finns det ett unikt sätt att prissätta alla tillgångar, men det är också nödvändigt att förstå hur marknader definieras som kompletta.

En marknad anses vara komplett om varje kontingent krav, det vill säga varje betalningsflöde eller tillgång som kan uppstå vid ett specifikt framtida tillfälle, är tillgänglig att prissätta på ett entydigt sätt. I en sådan marknad existerar ett enda motsvarande martingal-mått som gör det möjligt att korrekt prissätta alla möjliga krav. Detta resultat utgör den andra fundamentala satsen inom tillgångsprissättning, som säger att en marknad är komplett om och endast om det finns exakt ett ekvivalent martingal-mått.

För att förstå detta resultat måste man först och främst vara medveten om definitionen av ett martingal-mått. Ett martingal-mått är ett sannolikhetsmått under vilket de förväntade framtida priserna på tillgångar inte ändras över tid givet den information som är tillgänglig vid en viss tidpunkt. Detta innebär att en tillgång inte förväntas ge någon "överraskning" i form av en systematisk vinst eller förlust, vilket är en viktig egenskap i en arbitrage-fri marknad.

När vi arbetar med tillgångspriser i denna kontext säger vi att marknaden är komplett om alla tillgångar har en entydig prisbestämning baserat på ett enda martingal-mått. I praktiken innebär detta att det finns ett unikt sätt att formulera ett förväntat pris på alla framtida kontingenta krav utan att behöva oroa sig för att det ska finnas något sätt att manipulera eller utnyttja marknaden för att skapa arbitrage.

Det är viktigt att notera att i praktiken innebär marknadsfullständighet att alla relevanta tillgångar kan prissättas och hedgas på ett unikt sätt. Detta sker genom att den information som samlas i marknadsfiltreringen, eller $F_t$, är tillräcklig för att kunna förutsäga alla framtida resultat. Om vi till exempel har en europeisk option med en viss löptid, kan marknaden vara fullständig genom att vi har ett entydigt sätt att beräkna det rättvisa priset på optionen. Detta innebär också att alla möjliga risker kan hanteras genom så kallade självfinansierande strategier som justerar portföljens innehav baserat på utvecklingen i marknaden.

Det är också viktigt att förstå att marknaden blir mer transparent om vi vet att alla tillgångar kan prissättas på ett unikt sätt. Detta gör att vi kan identifiera och eliminera arbitrage-möjligheter – de situationer där en investerare kan skapa risktagande med garanti för vinst genom att utnyttja prisobalanser på marknaden. Ett sätt att göra detta är genom att analysera arbitragefria priser och observera att i en komplett marknad kommer alla sådana priser att vara entydiga och kommer att kunna reproduceras från det ekvivalenta martingal-måttet.

Det är också möjligt att göra en jämförelse mellan olika tillgångar med olika löptider, till exempel två europeiska call-optioner med samma strike-pris men olika löptider. Prissättningen av dessa tillgångar kommer att bero på det ekvivalenta martingal-måttet och den specifika informationen som samlas över tid. Ju längre löptid en option har, desto högre kan priset förväntas vara, eftersom den innefattar mer osäkerhet och potentiella prisrörelser.

För att verkligen förstå de underliggande dynamikerna i marknadsfullständighet är det avgörande att ha en god förståelse för hur olika modeller för tillgångspriser och deras dynamik är sammankopplade. I en komplett marknad där alla krav är tillgängliga och det finns ett unikt martingal-mått, blir det möjligt att exakt prissätta varje tillgång och undvika arbitrage. Det är också en påminnelse om hur teorin om dynamisk arbitrage och marknadsfullständighet ger oss de verktyg vi behöver för att både förstå och navigera i komplexa finansiella system.