De magnetoelastiska egenskaperna hos material, som behandlas i kapitel 4, har en djupgående inverkan på hur dessa material beter sig under olika mekaniska och termiska påfrestningar. Tidigare har modellen för styva ferromagneter utvecklats, men det är lika viktigt att förstå hur termiska och dissipativa effekter påverkar dessa system. Dessa effekter introduceras för att skapa en mer realistisk och komplett beskrivning av ferromagnetiska insulatorer. Detta avsnitt fokuserar på att inkludera dessa effekter i den teoretiska ramen, där vi undersöker balanslagar för energi och den andra termodynamiska lagen.

Det grundläggande energiekvationen som relaterar till både de magnetiska och elastiska egenskaperna måste generaliseras för att inkludera termiska effekter. Den kan uttryckas som en integrerad form av energiutbytet i systemet, där värmeströmmar och kroppens inre värmekällor tas i beaktande. Den generella ekvationen för energibalanser i form av en differentialekvation blir därmed:

∂ϵ∂t+ρr−qi,i=0.\frac{\partial \epsilon}{\partial t} + \rho r - q_i,i = 0.

Där ρ\rho är densiteten och rr representerar värmekällan per enhet massa, medan qq är den termiska flödesvektorn. Denna ekvation skapar en relation mellan mekanisk deformation, magnetisering, värmeflöde och kroppens värmekällor. Det är viktigt att notera att värmeflödet påverkar systemet genom både direkt påverkan på materialets mikroskopiska egenskaper samt indirekt genom att förändra temperaturfördelningen i materialet.

För att säkerställa att den andra termodynamiska lagen fortfarande är uppfylld, införs en termodynamisk ojämlikhet (Clausius–Duhem-olikheten), som styr dissipationen av energi. Det innebär att den totala energiomsättningen i ett system, inklusive värmeflöde och mekaniska förluster, inte kan vara negativ:

∂η∂t+qi≥0.\frac{\partial \eta}{\partial t} + q_i \geq 0.

Där η\eta är entropitätheten per enhet massa. Denna ojämlikhet säkerställer att all energi som tillförs systemet antingen omvandlas till arbete eller förloras som värme, vilket är en grundläggande aspekt av dissipativa system. I närvaro av dämpning och värmeflöde innebär detta att termiska effekter kan orsaka förlust av mekanisk energi, vilket i sin tur påverkar materialets magnetiska beteende.

I modeller av ferromagnetiska material kan man ofta bryta ned den totala magnetiska induktionen i återvinningsbara och dissipativa delar, vilket ger möjlighet att formulera specifika constitutiva relationer som beskriver hur dessa delar relaterar till de olika fysiska variablerna. Dessa relationer tillåter oss att skriva om den magnetiska fluxen i ett sådant system som en funktion av både mekanisk deformation och temperatur, vilket gör det möjligt att beskriva dissipativa effekter på ett mer detaljerat sätt.

Det är här den mer allmänna Landau–Lifshitz–Gilbert ekvationen kommer in, som beskriver magnetiseringen under dämpning och termiska effekter. Den vanliga Landau–Lifshitz ekvationen, som används för att beskriva precessionsrörelser hos magnetisering i ferromagnetiska material, modifieras för att inkludera en dämpningskoefficient, vilket gör att magnetiseringen förändras över tid även i frånvaro av externa fält:

∂M∂t=M×Beff−βM×∂M∂t.\frac{\partial M}{\partial t} = M \times B_{\text{eff}} - \beta M \times \frac{\partial M}{\partial t}.

Denna ekvation tillåter en beskrivning av hur magnetiseringens dynamik kan dämpas genom termiska och dissipativa effekter. För att kunna beskriva sådana system på ett korrekt sätt måste vi inkludera dessa effekter i den teoretiska ramen och säkerställa att de termer som representerar dämpning och energiomsättning är korrekta.

Det är också viktigt att förstå att termiska effekter inte bara påverkar materialets mekaniska egenskaper utan även kan förändra dess magnetiska respons. Till exempel, i vissa material, kan högre temperaturer förändra den magnetiska permeabiliteten, vilket påverkar hur materialet svarar på externa magnetfält och förändringar i det interna magnetiska fältet.

I praktiken innebär detta att för att förstå de komplexa dynamiska egenskaperna hos ferromagnetiska material, särskilt när de är utsatta för externa mekaniska eller termiska belastningar, måste både termiska och dissipativa effekter beaktas i den matematiska beskrivningen. Detta ger en mycket mer detaljerad och realistisk modell som kan förutsäga hur materialet kommer att bete sig under olika förhållanden.

Hur magnetoelastiska och elektromagnetiska vågor samverkar

I ferromagnetoelastiska material, där de magnetiska och elastiska egenskaperna är starkt kopplade, kan både akustiska och elektromagnetiska vågor interagera indirekt genom spinvågor. Denna interaktion, känd som magnons-fotonkoppling, kan beskrivas genom ett system av ekvationer som involverar både elastiska deformationer och elektromagnetiska fält. För att förstå denna samverkan är det avgörande att utforska hur olika vågmodi påverkas av magnetoelastiska och elektromagnetiska effekter, och hur dessa effekter skiljer sig beroende på materialets specifika egenskaper.

Första steget i analysen av sådana material innebär att man beskriver vågorna genom deras dispersionsegenskaper. Ett exempel på detta är studien av den första elastiska modusen för ett material med ett (m, n) = (1, 1) och en vinkelhastighet ω = 1.5717 × 10⁷ rad/s. Vid olika tidpunkter, som ωt = 0 och ωt = π/4, observeras förändringar i fördelningen av magnetiska moment (m), vilket reflekterar den periodiska naturen av elastiska deformationer och deras relation till piezomagnetisk koppling. När (m, n) ökar får man mer komplexa variationer längs koordinaterna x1 och x2, vilket är typiskt för högre ordningens moduser.

Effektiv piezomagnetisk koppling är en central aspekt som bestämmer hur m förändras i olika delar av materialet. I mitten av materialet, där förskjutningsgradienten är liten, är den piezomagnetiska kopplingen svag och m blir noll vid centrum. Det är dessa kopplingar som gör att spinvågorna, och därmed magnetiska fält, kan påverka de elastiska deformationerna i materialet.

Vidare är det viktigt att beakta hur elektromagnetiska och spinvågor samverkar genom Maxwell’s ekvationer, som styr hur de elektromagnetiska fälten förändras i ett ferromagnetoelastiskt medium. I dessa material, där både akustiska och elektromagnetiska vågor kan interagera indirekt via spinvågor, måste man ta hänsyn till en uppsättning av samband mellan elektriska fält, magnetiska fält och magnetiska moment. De viktigaste ekvationerna som styr denna interaktion beskrivs som:

∇⋅dM=0,∇⋅bM=0\nabla \cdot d_M = 0, \quad \nabla \cdot b_M = 0
1c∂bM∂t+∇×eM=0,1c∂dM∂t−∇×hM=0\frac{1}{c} \frac{\partial b_M}{\partial t} + \nabla \times e_M = 0, \quad \frac{1}{c} \frac{\partial d_M}{\partial t} - \nabla \times h_M = 0

Dessa ekvationer beskriver hur de elektriska och magnetiska fälten (e_M och h_M) förändras med tiden, och hur de är kopplade till de elastiska deformationerna och de magnetiska momenten i materialet.

För att analysera dispersionsegenskaperna för dessa vågor, ersätts lösningarna i form av exponentiella funktioner, vilket resulterar i ett system av linjära och homogena ekvationer som styr hur vågorna sprider sig genom materialet. Genom att lösa dessa ekvationer får man fram dispersionrelationerna för kopplade vågor, där både spinvågor och elektromagnetiska vågor samverkar. Det är här den verkliga komplexiteten i ferromagnetoelastiska material ligger, då dessa vågor inte bara påverkar varandra direkt, utan också genom spinvågorna.

Det är också viktigt att förstå att när magnetoelastisk koppling är frånvarande, som i fallet när b44=0b_{44} = 0, reduceras systemet till en uppsättning av oberoende ekvationer för akustiska och elektromagnetiska vågor. För dessa separerade vågor gäller de klassiska dispersionrelationerna:

ρω2−c44ξ2=0fo¨r akustiska va˚gor\rho \omega^2 - c_{44} \xi^2 = 0 \quad \text{för akustiska vågor}
ω2=α2ξ4+α(2P+4π)ξ2+P(P+4π)fo¨r spinva˚gor\omega^2 = \alpha^2 \xi^4 + \alpha (2P + 4\pi) \xi^2 + P (P + 4\pi) \quad \text{för spinvågor}

Däremot, när kopplingen är närvarande, som vid b44≠0b_{44} \neq 0, får vi ett mer komplext system där elektromagnetiska och spinvågor påverkar varandra genom gemensamma dispersionsegenskaper. Detta innebär att resonansfenomen kan uppstå vid specifika frekvenser, vilket leder till intressanta effekter som kan vara användbara för avancerade tekniska tillämpningar som sensorer och mikrovågskommunikation.

En intressant observation här är att i de fall där materialet inte har elektromechaniska kopplingar, finns det ingen direkt interaktion mellan akustiska och elektromagnetiska vågor. Istället förbinds dessa genom spinvågorna, vilket innebär att denna typ av material kan ha unika egenskaper för vissa tekniska applikationer.

För att sammanfatta, förståelsen av hur magnetoelastiska och elektromagnetiska vågor samverkar i ferromagnetoelastiska material är en viktig aspekt vid design och utveckling av avancerade material och enheter. Dessa samverkande vågor kan användas för att skapa nya typer av sensorer, kommunikationssystem och andra innovativa teknologier, som bygger på det komplexa samspelet mellan mekaniska deformationer och elektromagnetiska fält.

Hur kan vi beskriva de mekaniska och elektromagnetiska egenskaperna hos ferromagnetoelastiska material?

I studiet av ferromagnetoelastiska material och strukturer är en central aspekt att förstå hur dessa material reagerar på både mekaniska och elektromagnetiska påfrestningar. Dessa material, som kombinerar ferromagnetism med elastiska egenskaper, följer komplexa mekaniska och elektromagnetiska relationer som styr deras beteende under olika yttre påverkan.

Den linjära rörelsekraften i sådana material är resultatet av ett system där den spinn-kontinuerliga modellen, som är masslös, resulterar i en förenklad form av rörelsekraftsekvationen fM+fL=0f_M + f_L = 0. Här betraktas den totala rörelsen som en samverkan mellan magnetiska krafter och elastiska deformationer. För att förstå detta i detalj måste vi överväga angularmomentumsekvationen, som i det här fallet kan uttryckas genom en utbytestensor AA, enligt ekvationen F=−n⋅AF = -n \cdot A.

Denna relation begränsas av en viktig restriktion, där vi inför en korrektion som säkerställer att alla termer är symmetriska och inte skapar obalans i systemet, vilket representeras av ekvationen A⋅μ′=0A \cdot \mu' = 0. För att detta ska hålla måste vi också beakta divergenssatsen, vilket gör att de dynamiska relationerna mellan de olika variablerna (såsom deformationer och magnetiska fält) följer en differentialform som beskriver deras inbördes beroenden.

Denna differentialform leder oss till den grundläggande formeln för det angulära momentet, som kan beskrivas med hjälp av de olika tensorer som beskriver materialets svar på de olika påverkande fälten. Genom att analysera dessa ekvationer får vi en bättre förståelse för hur de elastiska och magnetiska komponenterna samverkar i ett ferromagnetoelastiskt system.

När vi vidare analyserar rörelse och strömfördelningar i materialet kan vi ställa upp en energi-ekvation som tar hänsyn till både mekanisk arbete och elektromagnetisk energi, enligt lagarna om energibehållning. Här måste vi också införliva ett begrepp om dissipativ energi, som beskriver förluster i systemet orsakade av irreversibla processer som kan uppstå i materialet under deformation.

Genom att använda Legendre-transformen kan vi uttrycka systemets totala energi, och därmed få en relation för materialets energiförbrukning och dess svar på externa krafter. I detta sammanhang är det också viktigt att förstå hur dessa energier kan delas upp i återhämtningsbara och dissipativa delar, där de återhämtningsbara delarna representerar de elastiska svaren som kan återställas efter att påfrestningen avlägsnats, medan de dissipativa delarna representerar irreversibla processer såsom friktion eller andra förluster.

En annan viktig aspekt är hur dessa material beter sig under olika magnetiska fält. Här kan vi använda en constitutiv relation som beskriver hur magnetiska flöden interagerar med det elastiska materialet. Dessa relationer, som är beroende av såväl magnetiska flöden som elastiska deformationer, hjälper oss att förstå hur materialets beteende förändras när det utsätts för varierande elektromagnetiska fält.

Slutligen måste vi beakta de grundläggande symmetrierna i systemet, där objektivitet och rotationsinvarians är viktiga för att säkerställa att materialet uppvisar korrekta fysiska egenskaper under alla möjliga förhållanden. Dessa symmetrier garanterar att den konstanta energiformen förblir bevarad även under komplexa interaktioner mellan elastiska och magnetiska fält.

För att förstå dessa system på djupet behöver vi också beakta kopplingen mellan de olika parametrarna som påverkar materialets uppförande. Det är viktigt att förstå att både de mekaniska och magnetiska delarna är lika betydelsefulla för att förklara materialens reaktioner på yttre påverkningar. Samverkan mellan elastiska och magnetiska fält påverkar inte bara materialets makroskopiska beteende utan även mikroskopiska egenskaper, vilket gör denna analys avgörande för alla tillämpningar som involverar ferromagnetoelastiska material.

Vilka tekniska och ekonomiska utmaningar finns i utvecklingen av väteinfrastruktur?
Hur optimering av underhållssystem kan maximera RUL och minimera underhållskostnader i subsea produktionssystem
Hur man njuter av den autentiska smaken av New Mexico: En guide till chiles, mat och camping i sydvästra USA