Hur man beräknar skärningsmultiplicitet för plan kurvor

Betrakta två plan kurvor definierade av polynom $f$ och $g$ i projektiva planet $\mathbb{P}^2$. När dessa kurvor skär varandra vid en punkt $p$, kallas detta för en skärning med multiplicitet. Multipliciteten vid en given punkt återspeglar hur många gånger kurvorna skär varandra vid den punkten, med beaktande av hur kurvorna böjer sig vid denna punkt.

Exempel på skärning av kurvor visar hur denna teori appliceras i praktiken. För exempelvis polynomen $f = y$ och $g = y - x^n$, där $n$ är ett positivt heltal, kan skärningsmultipliciteten vid origo beräknas genom att ta dimensionen av ringen $K[x, y] / (y, x^n)$. Detta ger multipliciteten som just är $n$, vilket gör intuitionen tydlig eftersom kurvan $g$ kan deformeras till en funktion med $n$ nollställen.

När vi betraktar mer generella kurvor, som $f = y^2 - x^3$ och $g = y^2 - 8x^3$, ser vi att multipliciteten vid origo är 6. Om vi modifierar $g$ genom att lägga till en parameter, så att kurvan $g_t$ deformeras, kommer de resulterande skärningspunkterna närma sig origo när $t$ går mot noll. Detta exempel demonstrerar hur dynamisk deformation av polynom kan ge en geometrisk tolkning av skärningarna.

Det är också centralt att förstå de geometriska och algebraiska konsekvenserna av singulariteter. Om en punkt har multiplicitet 1, så är den en smidig punkt där kurvan inte har några "skarpa" egenskaper. Om multipliciteten är större än 1, har punkten en singularitet, vilket innebär att kurvan "böjer sig" vid den punkten på ett sätt som inte kan representeras som en enkel funktion.

Det är också viktigt att notera att om kurvorna inte delar någon gemensam tangent vid en punkt, så kan deras skärning vara transversal. Detta innebär att de två kurvorna skär varandra utan att "stöta ihop" på något sätt, vilket innebär att varje skärning är enkel och multipliciteten är 1.

Det är väsentligt att förstå att skärningsmultipliciteten inte bara handlar om antalet skärningspunkter utan också om den algebraiska strukturen vid dessa punkter. Genom att analysera dessa detaljer kan vi få en rikare förståelse för de geometriska och algebraiska egenskaperna hos plan kurvor och deras interaktioner.

Hur påverkar förändring av koordinater och algoritmisk uppdelning måtten i lokala ringar och mångfalder?

Antag att vi har en automorfism ϕ på ringen av formella potenser L[[x₁, ..., xₙ]] definierad som ϕ(x₁) = x₁ och ϕ(xᵢ) = xᵢ + aᵢx₁ för i ≥ 2. Denna typ av koordinatförändring är central i analysen av lokala egenskaper hos algebraiska varieteter, särskilt när man undersöker dimensioner och strukturer hos lokala ringar. Om vi tar ett Weierstrasspolynom p för ϕ(f), visar det sig att dimensionen av kvotringen L[[x₁, ..., xₙ]]/(f) förblir oförändrad under denna automorfism. Detta följer direkt genom induktion och tillämpning av teorem 6.4.6, vilket reducerar problemet till att förstå dimensionen av L[[x₂, ..., xₙ]].

Detta faktum har långtgående konsekvenser, inte minst i beräkningar av skärningsmultiplicitet. Vi betraktar två polynom f och g i K[x, y] utan gemensamma faktorer som båda försvinner i origo. Det är då välkänt att deras skärningsmultiplicitet i origo uppfyller i(f, g; o) ≥ mult₀(f)·mult₀(g), där likhet råder exakt när f och g inte har en gemensam tangent i origo. Beviset utnyttjar en lokal omvänd lexiskt ordning, och reducerar polynomen f och g till sina ledande homogena komponenter fₘ och gₙ.

När dessa inte har någon gemensam faktor, kan vi genom linjär förändring och successiva subtraktioner konstruera en Gröbnerbas där varje nytt element har ett ledande monom med strikt lägre grad i x. Denna process visualiseras geometriskt som en trappa som rör sig diagonalt ned mot y-axeln. Om trappan till slut når ett monom y^r, bevaras det område som omfattas under trappan. Det bevisar att i(f, g; o) = m·n. Om däremot fₘ och gₙ har en gemensam faktor, stannar trappan innan den når y-axeln, vilket innebär att arean överskrider m·n — multipliciteten ökar.

I detta sammanhang blir också Mora-divisionen ett centralt verktyg. Grauert’s divisionssats är visserligen kraftfull, men dess bevis ger ingen praktiskt användbar algoritm. Mora introducerar ett konkret förfarande för att dela ett polynom g med ett ändligt antal generatorer f₁, ..., fᵣ under en lokal monomial ordning. Resultatet blir en uppdelning g = u⁻¹(g₁f₁ + ... + gᵣfᵣ + h), där u(0) = 1 och h är en restterm med vissa specificerade egenskaper.

Algoritmen fungerar iterativt. Vid varje steg väljs den fᵢ vars ledande term delar ledande termen i den aktuella resten h, med minsta så kallade "ecart" — skillnaden mellan graden av f och graden av dess ledande term. Om ingen sådan fᵢ existerar som minskar graden på ett tillräckligt sätt, adderas h till uppsättningen D av tillåtna delare. Terminationen garanteras av att idealen som bildas av ledande termer i homogenisering med en ny variabel x₀ stabiliseras. Detta följer från Hilbert’s basteorem, som säger att varje strikt växande kedja av monomiala ideal måste stabiliseras.

Det fascinerande är hur homogenisering används för att överföra problemet till en global monomial ordning. När den homogeniserade sekvensen av resttermer i den homogeniserade ringen k[x₀, ..., xₙ] börjar minska strikt under denna globala ordning, måste algoritmen avstanna. Korrektheten i Mora-divisionen verifieras genom rekursiva uttryck för g i form av kombinationer av fᵢ och tidigare resttermer. Detta garanterar både korrekthet och att u(0) = 1 bibehålls vid varje iteration.

Att dessutom kunna hantera både lokala och globala monomialordningar genom homogenisering och växling av koordinater är avgörande för tillämpningar inom datoralgebra, singularitetsteori och analytisk geometri. Det visar också på den djupt liggande kopplingen mellan formell algebra och konkret geometri, där algebraiska manipulationer återspeglar exakta geometriska transformationer.

Hur bestäms dimensionen av ett linjärt system av plan kurvor med baspunkter?

Dimensionen av ett sådant system ges i allmänhet av en nedre gräns:

  dim L(d; r₁p₁, ..., rₛpₛ) ≥ (d + 2 choose 2) − ∑ (rᵢ + 1 choose 2),

där summan tas över alla s punkter. Likhet gäller under vissa förutsättningar, särskilt när punkterna är generella och graden är tillräckligt stor: d ≥ ∑ rᵢ − 1.

Den algebraiska bakgrunden till denna uppskattning ligger i antalet linjära villkor som multiplicitetskraven vid varje punkt ålägger de koefficienter som definierar polynomen. För en punkt p = (0:0:1) innebär att ett polynom f tillhör L(d; rp) precis att de koefficienter f_α till monom med grad |α| ≤ r måste vara noll. Detta ger (r + 1 choose 2) villkor, vilket motsvarar kodimensionen av delrummet L(d; rp) ⊂ L(d).

Men detta gäller inte alltid. I särskilda konfigurationer kan dimensionen vara strikt större. Till exempel, om fyra punkter ligger på en linje, har systemet L(2; p₁, ..., p₄) dimension 2, medan det generellt skulle ha varit en pencil (dvs. dimension 1). Ett annat exempel ges av systemet L(4; 2p₁, ..., 2p₅), där man trots att den formella nedre gränsen är noll, ändå får en positiv dimension, på grund av förekomsten av en konisk kurva q genom de fem punkterna, vars kvadrat q² är en kvartisk kurva med önskad multiplicitet i varje punkt.

Problemet att exakt karakterisera de multipliciteter (r₁, ..., rₛ) för vilka den förväntade dimensionen realiseras, är fortfarande delvis öppet. Vissa resultat är kända, men en fullständig teori är föremål för aktiv forskning.

När punkterna är generella (vilket i praktiken innebär att de inte ligger i någon speciell geometrisk konfiguration), gäller att dimensionen är exakt lika med det förväntade värdet, så länge detta är icke-negativt. Detta resultat följer av en induktionsprincip och användning av att det existerar öppna Zariski-mängder i parameterutrymmet där dimensionen uppnår sitt minimum.

Flera av dessa aspekter kan illustreras med klassiska resultat i projektiv geometri. Ett exempel är Pascals sats, som säger att om sex punkter ligger på en konisk kurva i P², så ligger skärningspunkterna mellan motstående sidor i det bildade hexagonet på en rak linje. Denna sats kan härledas genom att betrakta en pencil av kubiska kurvor, definierade som linjärkombinationer av två produkter av linjära formler som definierar sidolinjerna i hexagonet. Detta visar på kraften i att använda linjära system för att formulera och bevisa klassiska resultat.

För att förstå dessa strukturer i ett bredare sammanhang måste man också beakta deras beteende som algebraiska varieteter. Det innebär att förstå hur parametrarna för baspunkter och multipliciteter påverkar inte bara dimensionen, utan även de geometriska egenskaperna hos hela familjen av kurvor. I vissa fall kan t.ex. specialisering av punkter leda till degenerering av systemet eller till att tidigare oberoende villkor blir linjärt beroende.

En viktig insikt är att även när den förväntade dimensionen är noll eller negativ, kan systemet ändå innehålla icke-triviala kurvor om punkterna ligger i speciell position. Detta innebär att för att förutsäga ett systems dimension krävs inte bara numeriska data, utan också geometrisk förståelse av konfigurationen.