Hur man löser problem med effektiv hedging i marknadsmodeller utan arbitrage

I de flesta finansiella modeller används riskmått för att kvantifiera och hantera osäkerhet i samband med investeringar. En av de mer kraftfulla teknikerna som används för att minimera risk är att använda så kallad "effektiv hedging" i samband med konvexa riskmått, där målet är att minimera den förväntade förlusten i samband med osäkerhet om framtida värden. Denna strategi bygger på en noggrann bedömning av risker och belöningar för att skapa en optimal försäkring mot potentiella negativa utfall.

För att lösa problemet i detta sammanhang definieras $V^*$ som värdeprocessen för en superhedging-strategi för $Y^*$ med en initial investering som beror på den bästa möjliga förväntade vinsten under en given sannolikhetsfördelning $P^*$. Detta leder till att värdet $V^*$ vid slutet av tidsperioden är större än eller lika med 0, vilket innebär att investeringen inte kan resultera i förluster. Ett resultat av denna typ av modell är att det finns en lösning för den statiska optimeringsproblemet, givet att riskmåttet $\rho$ är nedre halvt kontinuerligt och att marknaden inte tillåter arbitrage.

För specifika riskmått som Average Value at Risk (AV@R), kan det vara möjligt att lösa detta problem genom att använda dualitetsprinciper och minimera den förväntade förlusten genom att justera en parameter som styr risken. För att lösa problematiken kan vi formulera ett minimaxproblem, där maximala förluster minimeras genom att välja rätt parameter. Det finns en särskild representation av AV@R, där den optimala hedging-strategin är att välja ett värde som antingen följer en kvantifiering av sannolikheter eller en specifik kapitalnivå.

Det är viktigt att notera att det finns specifika lösningar för problem av denna typ när man arbetar med icke-arbitrage marknader, där inga riskfria vinster är möjliga. Enligt en teorem kan man visa att när $H$ är i $L^1(P)$ och densiteten $\phi = \frac{dP^*}{dP}$ är definierad, kan problemet lösas om $\phi$ har en kontinuerlig och strikt ökande kvantilfunktion. Detta innebär att vi kan hitta en lösning för hedging-strategin som är unik under vissa villkor.

Det som är centralt att förstå för läsaren är att effektiv hedging i sammanhanget av konvexa riskmått handlar om att minimera den förväntade förlusten genom att noggrant balansera risken mellan olika sannolikheter. Detta är en komplex process som kräver att man noggrant beaktar både den marknadsstruktur man arbetar inom och de riskmått som definierar de tillåtna förlusterna. Genom att använda optimeringstekniker och dualitetsteorem kan vi skapa hedging-strategier som inte bara förhindrar stora förluster utan också maximerar chanserna till vinster under osäkerhet.

Det är också avgörande att förstå att den metod som presenteras här inte är begränsad till statiska marknader eller diskreta modeller. Den kan tillämpas på ett brett spektrum av marknader där sannolikheter och risker kan hanteras genom att justera förväntade resultat. Det innebär att i mer dynamiska marknader måste dessa metoder anpassas för att reflektera de förändringar som sker över tid, och det kan krävas en mer sofistikerad analys av den marknadsdynamik som råder.

Hur uppnås tidskonsistens i dynamiska riskmått?

Tidskonsistens är en central egenskap för dynamiska riskmått och beskriver den interna koherensen av beslut över tid, när risker värderas vid olika tidpunkter i en sekvens. För att ett riskmått ska vara tidskonsistent måste det förbli konsekvent när man ser på riskmåttets värde vid en given tidpunkt, givet förväntningar från framtiden. Detta innebär att värderingen vid en tidpunkt inte ska ändras när den senare tidsperioden blir känd, vilket är avgörande i många finansiella beslut.

Vidare innebär tidskonsistens också att för alla möjliga positioner $X$ som definieras genom ett tillstånd vid tidpunkt $t$ och framtida positioner vid $t+1$, kan värderingen $\rho_t(X)$ inte förändras när vi ser på de framtida resultaten. För att förstå detta kan vi använda den faktum att om sekvensen inte är tidskonsistent, så innebär det att riskmåttet för en position vid tidpunkt $t$ inte är detsamma när vi ser på riskmåttet för en annan position som kan relatera till den i framtiden. Detta gäller till exempel för riskmått som Conditional Value at Risk (CVaR) och Average Value at Risk (AV@R), vilka inte är tidskonsistenta i deras betingade form.

En viktig förutsättning för tidskonsistens är att de betingade riskmåtten måste vara koherenta. Det innebär att de måste uppfylla vissa egenskaper som monotonicitet, skalbarhet och invarianse under pengar. Om dessa egenskaper inte är uppfyllda, leder det till inkonsekventa beslut över tid. Ett exempel är den betingade värderingen baserad på avkastningens risk, som inte är tidskonsistent om den inte är tillräckligt koherent.

I praktiken är det också nödvändigt att förstå hur olika stopp-tider och deras relation till de betingade riskmåtten påverkar denna konsistens. Om vi har en stopp-tid $\tau$ som representerar den tidpunkt då alla beslut om riskbedömning måste vara tagna, så måste riskmåtten vid denna tidpunkt spegla den sammanlagda effekten av de tidigare riskbedömningarna, utan att förändras efter att $\tau$ har inträffat. Detta kräver att varje tidpunkt är relaterad till de tidigare bedömningarna genom en konsekvent process, vilket ytterligare förstärker behovet av rekursivitet.

Tidskonsistens innebär också att en sekvens av riskmått bör vara känslig för förändringar i de sannolikhetsmått som används. Om ett riskmått inte är känsligt, kan det inte korrekt anpassa sig till förändringar i den underliggande osäkerheten, vilket gör det svårt att fatta pålitliga och hållbara beslut. I detta avseende är tidskonsistens och känslighet nära besläktade egenskaper, där känsligheten är en viktig indikator på att riskmåtten inte bara är tidskonsistenta, utan även relevanta för aktuella marknadsförhållanden och riskbedömningar.

Hur robusta nyttomaximeringsproblem kan lösas genom standardoptimering med avseende på en mått Q0

För att visa att funktionen $f(\phi_0)$ uppfyller kapitalrestriktionen, börjar vi med att använda den lägre Hardy–Littlewood-olikheten från Teorem D.13:

Här kan vi ersätta $qX(1 - t) = h(t)$ med $E_\lambda[h | q_\phi](t) = f(q_\phi(t))$. Vi får då följande uttryck:

Således uppfyller $f$ de önskade egenskaperna.

Antag nu att $X^*$ löser (3.42). Första steget är att visa att $X^*$ måste vara en $Q_0$-måttbar slumpvariabel. Om vi antar motsatsen, att $Y := E_Q[X^*|\phi_0] \neq X^*$, gäller att strikt konvexitet för $u$ och Jensens olikhet ger att:

Om vi definierar $\tilde{f}$ enligt (3.46) med $qY$ som ersättning för $qX$ och $\tilde{h}(t) := qY(1 - t)$, får vi, som tidigare:

Men detta leder till en motsägelse, vilket innebär att $X^*$ är nödvändigtvis $\sigma(\phi_0)$-måttbar och kan därför skrivas som en funktion av $\phi_0$. Om vi definierar $f^*$ enligt (3.46) med $X^*$ som ersättning för $X$, är $f^*(\phi_0)$ den terminala förmögenheten för en annan lösning i $B$. Det är uppenbart att:

Vidare gäller:

Således kan vi formulera och bevisa huvudresultatet i denna sektion:

Teorem 3.53. Antag att $Q$ har ett minst ogynnsamt mått $Q_0 \approx P^*$. Då är det robusta nyttomaximeringsproblemet (3.42) ekvivalent med det standardiserade nyttomaximeringsproblemet avseende $Q_0$, det vill säga:

Därmed är värdena för de korresponderande optimeringsproblemen lika, oavsett om en lösning finns eller inte:

Beviset till teorem 3.53 följer från proposition 3.52, som implicerar att vi kan begränsa oss till utdelningar som är avtagande funktioner av $\phi_0$. Eftersom de robusta nyttovärdena för sådana utdelningar är lika med de förväntade nyttovärdena med avseende på $Q_0$, och eftersom samma sak gäller för standardproblemet, är de två problemen ekvivalenta.

Hur derivatkontrakt kan användas för att skapa komplexa portföljstrategier

Derivatkontrakt, såsom call- och put-optioner, är grundläggande byggstenar i den finansiella världen, där de används för att skapa komplexa betalningsstrukturer och för att hantera risk. Dessa kontrakt kan kopplas till olika typer av underliggande tillgångar, såsom aktier, valutor, eller index, och används av investerare för att minska risken eller för att spekulera på prisrörelser. En viktig aspekt av derivat är hur olika strategier kan kombineras för att skapa nya betalningsprofiler, vilket gör att investerare kan anpassa sina portföljer för att bättre hantera osäkerhet och potentiella marknadsrörelser.

När vi talar om ett derivat, såsom en call- eller put-option, refererar vi till ett avtal som ger innehavaren rätt, men inte skyldighet, att köpa eller sälja en underliggande tillgång till ett förutbestämt pris (strike price) vid en viss tidpunkt. För en put-option gäller det att innehavaren får en viss betalning om priset på den underliggande tillgången sjunker under strike-priset. Detta skapar en asymmetrisk payoff-struktur där investeraren skyddas mot stora prisfall men inte missar uppsidan om marknaden stiger.

I marknader där det inte är möjligt att direkt handla med index, som t.ex. S&P 500, handlas optionerna på dessa index vanligtvis genom kontantavräkning. För aktier och ETF:er används ofta fysiska leveranser, vilket innebär att aktier överförs när en option utnyttjas. En option kan dessutom vara föremål för en multiplikator, vanligtvis 100, vilket betyder att varje kontrakt representerar 100 aktier av den underliggande tillgången.

Förhållandet mellan call- och put-optioner kan uttryckas genom en formel, där priserna på optionerna relateras till varandra via så kallad put-call paritet. Om priset på en call-option är känt, kan priset på den motsvarande put-optionen härledas linjärt, vilket visar hur olika typer av optioner samverkar för att skapa en jämvikt på marknaden.

En annan vanlig strategi är att använda "covered calls", där en investerare som äger en tillgång säljer en call-option på den tillgången för att generera inkomst från premiebetalningen. Denna strategi ger investeraren möjlighet att behålla aktier samtidigt som de tjänar på premiebetalningen från optionen, men den begränsar också uppsidan, eftersom aktierna kan bli tvingade att säljas om optionen utnyttjas.

För den som vill skydda sin portfölj mot nedgångar eller spekulera på att marknaden kommer att röra sig i en viss riktning, kan en "put spread" vara användbar. En sådan strategi innebär att en investerare köper och säljer två put-optioner på samma tillgång men med olika strike-priser. Genom att kombinera dessa två positioner kan investeraren minska den initiala kostnaden för att köpa en enskild put-option, samtidigt som risken för stora förluster är begränsad.

Tack vare möjligheten att kombinera olika typer av optioner kan investerare skapa en mängd olika bettingsstrategier, såsom en "bear put spread" eller en "bull call spread". En bear put spread innebär att man säljer en put-option med ett högre strike-pris samtidigt som man köper en put-option med ett lägre strike-pris. Denna strategi är användbar när man förväntar sig en nedgång i den underliggande tillgången, men vill minska kostnaden för att skydda sig mot stora förluster. På liknande sätt kan en bull call spread användas när man förväntar sig en uppgång.

Ytterligare en intressant strategi är "straddles", där en investerare köper både en put- och en call-option på samma tillgång med samma strike-pris. Denna strategi är en satsning på att tillgången kommer att röra sig kraftigt i en av två riktningar, men investeraren har ingen specifik förväntan om vilken riktning detta ska vara. En "iron condor" är en mer avancerad strategi som kombinerar både en call- och en put-spread och syftar till att utnyttja marknader med låg volatilitet, där man förväntar sig att priset på den underliggande tillgången kommer att hålla sig inom ett visst intervall.

Det är avgörande att förstå hur olika optioner kan kombineras för att skapa en position som passar den specifika riskprofilen eller marknadssynen, och att ha en klar uppfattning om hur priserna på de underliggande tillgångarna påverkar den slutliga betalningen. Vidare kan avancerade strategier som att syntetisera en icke-linjär payoff med hjälp av optionskontrakt kräva en djupare förståelse för både de teoretiska och praktiska aspekterna av derivatmarknader.

Vad betyder arbitragefria priser för amerikanska fordringar?

I den finansiella teorin definieras ett arbitragefritt pris som ett pris som inte tillåter någon möjlighet för riskfri vinst, vilket innebär att ingen part kan exploatera skillnader i pris mellan två marknader utan att ta någon risk. För att ett pris på en amerikansk fordring (H) ska vara arbitragefritt, måste det uppfylla två huvudsakliga villkor: det får inte vara för högt och det får inte vara för lågt. Detta säkerställer att varken köparen eller säljaren kan göra en riskfri vinst genom att utnyttja ett orimligt pris på fordringen.

Från köparens perspektiv, om priset på H vid tidpunkten t = 0 är π ≥ 0, så bör det finnas åtminstone en stoppstrategi τ för vilken det föreslagna priset π inte är för högt. Det vill säga, det bör finnas ett pris π′ ∈ Π(Hτ) sådant att π ≤ π′. Detta säkerställer att köparen inte betalar för mycket för fordringen i förhållande till de förväntade betalningarna vid exercise.

För att göra denna idé mer exakt definieras ett arbitragefritt pris π för en amerikansk fordring H genom två huvudvillkor:

1. Priset π ska inte vara för högt, vilket innebär att det finns ett stoppdatum τ ∈ T och ett pris π′ ∈ Π(Hτ) sådant att π ≤ π′.

2. Priset π ska inte vara för lågt, vilket innebär att det inte finns något stoppdatum τ′ ∈ T där π < π′ för alla π′ ∈ Π(Hτ′).

Detta definierar en uppsättning arbitragefria priser Π(H) för fordringen H. Om man fortsätter med dessa definitioner så ser man att varje arbitragefritt pris för H måste också vara ett arbitragefritt pris för någon stoppstrategi τ. Det här innebär att det finns en noggrant definierad uppsättning priser där man kan förvänta sig att marknaden är i balans, utan att någon aktör kan utnyttja skillnader i priser för att göra en riskfri vinst.

Det är viktigt att förstå att alla arbitragefria priser för en sådan fordring finns inom ett intervall med övre och undre gränser, som definieras av de övre och undre priserna för de olika stoppstrategierna. Dessa gränser kallas πsup(H) och πinf(H), där πsup(H) är det högsta arbitragefria priset och πinf(H) är det lägsta.

När marknaden inte är fullständig, och när det finns flera möjliga sannolikhetsmått, måste man ta hänsyn till alla möjliga scenarier och strategier för att bestämma den arbitragefria prissättningen. Detta innebär att även om det finns en uppsättning arbitragefria priser för H, så är det möjligt att det inte finns något specifikt pris som är unikt för alla aktörer på marknaden. Detta skapar ett intervall av priser snarare än ett enskilt pris.

För att illustrera denna teoretiska konstruktion, föreställ dig en marknad där det finns flera möjliga externa tillstånd, som kan påverka värdet på en amerikansk fordring H. Genom att använda olika stoppstrategier kan aktörer på marknaden påverka vilken betalning som realiseras vid olika tidpunkter. Ett exempel är när en marknad förväntar sig en förskjutning i sannolikheter beroende på externa faktorer, vilket leder till att det arbitragefria prisintervallet för en given fordring kan vara ett öppet intervall.

I vissa modeller är det möjligt att vissa av de arbitragefria priserna kan vara mer exakta än andra, beroende på marknadens fullständighet eller brist på fullständighet. Till exempel, i en fullständig marknad med en unik martingal mått, skulle ett pris som är arbitragefritt vara exakt definierat och kunna upprepas utan att skapa möjligheter till arbitrage. I mindre kompletta modeller, däremot, skulle arbitragefria priser inte vara lika entydiga, vilket gör att det finns ett intervall av priser som är acceptabla.

Vad man bör förstå när man hanterar sådana priser i praktiken är att arbitragefria priser inte bara handlar om att hitta ett pris för en fordring, utan också om att förstå marknadens strukturer och dynamik. För att korrekt sätta ett pris måste man också beakta hur olika aktörer på marknaden reagerar på förändringar i sannolikheter och hur dessa förändringar reflekteras i stoppstrategierna.