Hur Geometriska Karakteriseringar Av Spekulationsfria Modeller Påverkar Arbetsmarknader

I teorin om finansiella marknader är ett centralt begrepp definitionen av spekulationsfria modeller, där inte finns några arbitrage-möjligheter. För att förstå de geometriska egenskaperna hos sådana modeller, behöver vi börja med att granska den matematiska struktur som beskriver mängder av sannolikhetsmått och deras relationer.

Genom att definiera öppna bollar och använda σ-additiviteten hos ν, kan man visa att komplementet till varje sådan mängd S är en öppen mängd. Det resulterar i att stödet är den minsta sluten mängd där mätningsresultat är icke-noll, vilket är en grundläggande förståelse i finansiell teori.

När vi betraktar den konvexa hullen av stödet, Γ(μ), och hur den relaterar till mängder som Mb(μ) och M(μ), får vi en tydlig förståelse för hur denna geometri styr möjligheterna för arbitrage. Det visade sig att i fallet där μ = 2(δ−1 + δ+1) är stödet av μ lika med {−1, +1} och den konvexa hullen Γ(μ) är intervallet [−1, +1]. I detta exempel är den relativa inre av Γ(μ) den faktiska mängden av barycentra av sannolikhetsmåtten, vilket inte bara formaliserar, utan även visualiserar, hur man kan definiera den spekulationsfria modellen.

För att fördjupa oss i de geometriska egenskaperna, behöver vi introducera begreppet relativt inre av en konvex mängd. Om C är en konvex mängd i ℝd, definieras det relativa inre som mängden av alla punkter x ∈ C, för vilka varje punkt y ∈ C kan kopplas till x via en linje som inte lämnar C. Denna definition är central eftersom den ger oss möjlighet att formalisera konceptet för barycenter i spekulationsfria modeller, och är nödvändig för att förstå hur dessa modeller fungerar i praktiken.

Teorem 1.51 ger en exakt geometrisk beskrivning av mängder som Mb(μ) och M(μ). Teoremet säger att mängden av alla barycenter för sannolikhetsmått ν som är ekvivalenta med μ sammanfaller med det relativa inre av den konvexa hullen av μ:s stöd, det vill säga Mb(μ) = M(μ) = ri Γ(μ). Detta teorem visar hur de spekulationsfria modellerna faktiskt är förankrade i de geometriska egenskaperna hos den underliggande sannolikhetsfördelningen μ.

För att ytterligare förstå hur denna teori tillämpas i ekonomiska modeller, kan vi tänka på hur dessa strukturer kan påverka marknadsdesign och riskhantering. Den geometriska förståelsen av Mb(μ) och M(μ) ger oss verktyg för att analysera och förutsäga marknadsdynamik, särskilt i relation till prissättning av tillgångar och förvaltning av finansiella instrument.

Vad är kvantilfunktioner och deras tillämpningar?

Om vi definierar en kvantilfunktion $q : (0, 1) \to \mathbb{R}$ som en invers funktion till en kumulativ fördelningsfunktion $F$, så måste $F(q(s)^{ - }) \leq s \leq F(q(s))$ för alla $s \in (0, 1)$. De vänster- och högerkontinuerliga inverserna, $q^{ - }(s) = \sup \{ x \in \mathbb{R} | F(x) < s \}$ och $q^{+}(s) = \inf \{ x \in \mathbb{R} | F(x) > s \}$, kallas de lägre och övre kvantilfunktionerna.

Det är viktigt att förstå att varje invers funktion till en kumulativ fördelningsfunktion, som vi kallar en kvantilfunktion, ger oss information om fördelningen av den stokastiska variabeln. Denna relation mellan fördelningsfunktioner och kvantilfunktioner gör att vi kan beskriva och analysera fördelningen av stokastiska variabler på ett mer exakt sätt.

En annan användning är inom statistiken för att konstruera konfidensintervall och genomföra hypotesprövningar. Genom att använda kvantilfunktionen kan man exakt bestämma de kritiska värden som används för att testa statistiska hypoteser eller för att beräkna sannolikheter för olika händelser baserade på kumulativa fördelningsfunktioner.

Vikten av att förstå kvantilfunktionens roll i samband med stokastiska variabler ligger i förmågan att exakt identifiera specifika värden på en fördelning, vilket gör det möjligt att bättre förstå och förutsäga fenomen i både praktiska och teoretiska sammanhang.

I praktiken innebär detta att om vi har en stokastisk variabel med en kumulativ fördelningsfunktion $F_X$, så kan vi via kvantilfunktionen $q_X$ generera prover från den fördelningen genom att applicera den på en variabel som är uniformt fördelad på intervallet (0, 1). Denna teknik används ofta inom statistisk simulering, där vi vill generera data som följer en viss fördelning utan att behöva direkt beräkna eller approximera fördelningen för varje enskilt exempel.

För att knyta ihop begreppen: kvantilfunktioner spelar en central roll inom många områden där stokastiska variabler är involverade, från teoretiska bevis inom sannolikhetsteori till tillämpningar som riskhantering och statistisk analys. Deras användning underlättar förståelsen och modelleringen av komplexa system och fördelningar, vilket gör det möjligt att göra mer exakta förutsägelser och analyser i både teoretiska och praktiska sammanhang.

Hur man optimerar kontingenta krav under stokastiska dominansrestriktioner

För att förstå de optimala lösningarna på ett visst finansiellt problem, är det nödvändigt att använda teorier om stokastisk dominans. Den grundläggande idén är att jämföra olika investeringar eller finansiella positioner baserat på deras förväntade värde och den risk som är förknippad med dem. I den här diskussionen undersöks hur optimalisering under stokastiska dominansrestriktioner kan leda till en "reservation price" och minimera den totala kostnaden.

För att lösa optimeringsproblemet där $X^*$ är den optimala lösningen, använder vi den första Hardy-Littlewood-olikheten, som leder oss till att:

Här är $q_X(t)$ kvantilfunktionen för $X$, och $X^*$ är den optimala positionen som uppfyller de stokastiska dominansvillkoren. För att visa att denna lösning är optimal, noterar vi att den förväntade nyttan från $X^*$ är större än eller lika med nyttan från andra positioner.

För att optimera $X^*$ vidare använder vi ett resultat som säger att om fördelningen av $\varphi$ är kontinuerlig, så kommer den optimala lösningen $X^*$ att ha samma lag som $X_0$, och den löser följande kostnadsminimeringsproblem:

Detta resultat är viktigt för att förstå hur man kan minimera den ekonomiska kostnaden för en finansiell position samtidigt som man bibehåller samma fördelning.

För att kontextualisera detta, kan man tänka på en situation där vi försöker sälja en finansiell position till ett pris som reflekterar marknadens preferenser och risknivåer. Detta leder till begreppet "reservation price" för en position $X_0$, vilket definieras som det lägsta priset där $X$ är föredraget över $X_0$ enligt en given relation.

Det är också viktigt att förstå att den optimala lösningen för en finansiell position inte nödvändigtvis innebär att den ger högsta möjliga vinst. Snarare handlar det om att hitta den lösning som bäst balanserar risk och avkastning under de givna dominansrestriktionerna.

För läsaren som är intresserad av hur dessa resultat kan tillämpas på konkreta finansiella problem är det värdefullt att förstå hur de stokastiska dominansprinciperna kan användas för att identifiera de mest kostnadseffektiva lösningarna på marknaden, samtidigt som man beaktar risk och förväntad avkastning på lång sikt.

Vad innebär modellfri superhedging med likvida optioner?

Anta att vi har en enda riskfylld tillgång S1 där S10 är en positiv konstant och att S0 representerar en riskfri obligation med räntan r = 0. Därmed är den diskonterade prisprocessen för den riskfyllda tillgången given av Xt = S1t ≥ 0 för t = 0, . . . , T. Som den underliggande rymden för scenarier använder vi produktrymden Ω T := [0, ∞). Vi definierar Xt(ω) = xt för ω = (x1, . . . , xT) ∈ Ω och betecknar med Ft den σ-algebra som genereras av X0, . . . , Xt; notera att F0 = {0,Ω}. Ingen sannolikhetsmått P ges på förhand.

Låt oss nu introducera ett linjärt rum X av FT-mätbara funktioner som det minsta linjära rummet där följande villkor är uppfyllda: (a) 1 ∈ X. (b) (Xt − Xs) 1A ∈ X för 0 ≤ s < t ≤ T och A ∈ Fs. (c) (Xt − K)+ ∈ X för K ≥ 0 och t = 1, . . . , T. Funktionerna i rummet X kommer att tolkas som (diskonterade) återbetalningar för likvida derivat. Den konstanta funktionen 1 i (a) motsvarar en enhetlig investering i den riskfria obligationen. Funktionen Xt − Xs i (b) motsvarar återbetalningen av ett terminskontrakt på den riskfyllda tillgången, utfärdat vid tidpunkt s för priset Xs och som löper ut vid tidpunkt t. Beslutet att köpa ett sådant terminskontrakt vid tidpunkt s kan bero på marknadens situation vid tidpunkt s, vilket beaktas genom att tillåta återbetalningar (Xt − Xs) 1A med A ∈ Fs.

Anta nu att en linjär prissättningsregel Φ ges på X. Värdet Φ(Y) kommer att tolkas som marknadspriset för det likvida värdepapperet Y ∈ X. Priset för en europeisk köpoption med strike-pris K och löptid t betecknas med C + t(K) := Φ((Xt − K)+).

För att denna prissättningsregel ska vara fri från arbitrage krävs att den uppfyller vissa naturliga villkor. Först och främst, om Φ ska vara en giltig prissättningsregel utan arbitrage, måste den uppfylla att Φ(1) = 1, vilket innebär att priset på den riskfria obligationen är 1. Vidare krävs att Φ(Y) ≥ 0 om Y ≥ 0, vilket innebär att priset på en positiv återbetalning inte kan vara negativt. Detta hindrar arbitrage genom att säkerställa att ingen aktör kan sälja en rättighet att ta emot något positivt belopp till ett negativt pris. Dessutom måste Φ uppfylla villkoret att Φ((Xt − Xs) 1A) = 0 för alla 0 ≤ s < t ≤ T och A ∈ Fs, vilket säkerställer att prissättningen är förenlig med priset på terminskontrakt. Slutligen krävs att den europeiska köpoptionens pris när strike-priset går mot oändligheten går mot noll, vilket innebär att när strike-priset är tillräckligt högt blir den europeiska köpoptionen värdelös.

När dessa villkor är uppfyllda, kan vi visa att varje sådan prissättningsregel Φ är förenlig med den modell där priset för varje värdepapper är den förväntade diskonterade återbetalningen under en martingalåtgärd P∗. Detta innebär att det finns en sannolikhetsmått μt för varje t så att priserna på de likvida optionerna kan uttryckas som integraler av μt. Med denna förståelse kan vi bygga vidare på modellen och utnyttja prissättningen för att identifiera rättvisa priser på mer komplexa och exotiska optioner.

Vid tillämpning är det dock viktigt att komma ihåg att även om superhedgingstrategier, som vi har sett, ofta ger teoretiskt korrekta resultat, kan de vara praktiskt dyra. Detta innebär att det är avgörande att förstå hur man kan använda dessa strategier på ett kostnadseffektivt sätt. I kapitel 8 kommer vi att undersöka hur superhedging kan användas för att konstruera alternativa strategier som är mer effektiva med avseende på både kostnad och risken för kortfall.