I en generell vektorrum $E$ definieras en funktion $f: C \rightarrow [-\infty, +\infty]$ som konvex om dess epigraf, det vill säga mängden $\text{epi} f := {(x, \alpha) \in E \times \mathbb{R} \mid f(x) \leq \alpha}$, är en konvex mängd. Funktionens effektiva domän definieras som $\text{dom} f := {x \in C \mid f(x) < \infty}$. En konvex funktion sägs vara "riktig" om domänen inte är tom och om funktionens värde inte är minus oändligt.

Om en funktion $f: C \rightarrow \mathbb{R}$ är konvex, gäller att för alla $x, y \in C$ och $\alpha \in [0, 1]$ så uppfyller funktionen villkoret $f(\alpha x + (1 - \alpha)y) \leq \alpha f(x) + (1 - \alpha) f(y)$. Detta kallas för den definierande egenskapen hos en konvex funktion, och den innebär att funktionens värde vid en konvex kombination av $x$ och $y$ inte överstiger den konvexa kombinationen av värdena på dessa punkter.

En funktion är också konvex om den uppfyller det så kallade barycentriska villkoret, där vi för ett antal punkter $x_1, x_2, ..., x_n \in E$ med vikter $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \geq 0$ som summerar till 1, får $f(\lambda_1 x_1 + ... + \lambda_n x_n) \leq \lambda_1 f(x_1) + ... + \lambda_n f(x_n)$. Detta villkor fångar kärnan i konvexitetens definition.

En funktion sägs vara konkav om $-f$ är konvex. På samma sätt som en konvex funktion är en konkav funktion "riktig" om den inte antar värdet minus oändligt.

Vidare kan konvexa funktioner definieras på större rum, som exempelvis det reella rummet $\mathbb{R}$. Om en funktion $f$ är en riktig konvex funktion på $\mathbb{R}$ och om domänen är ett intervall, så kan vi beskriva funktionens egenskaper mer detaljerat. Enligt Proposition A.7 är en sådan funktion $f$ kontinuerlig och lokalt Lipschitz-kontinuerlig på sin inre domän. Vidare existerar både vänster- och högerderivator vid varje punkt i domänen.

För funktioner som är konvexa och definierade på hela rummet, finns det en intressant koppling mellan funktionen och dess Fenchel–Legendre-transform. Om $f$ är en riktig konvex funktion på $\mathbb{R}$, definieras dess Fenchel-transform som $f^*(y) := \sup_{x \in \mathbb{R}} (yx - f(x))$. Denna transform behåller många av de konvexa egenskaperna hos originalfunktionen och är en viktig metod inom optimeringsteori.

En annan viktig aspekt av konvexa funktioner är deras relation till derivator och deras beteende vid extremvärden. I en konvex funktion kan vi ofta identifiera minimipunkter där derivatan existerar och är noll, och dessa punkter spelar en central roll i optimeringsproblem. Eftersom konvexa funktioner har den egenskapen att alla lokala minimipunkter är globala minimipunkter, är det ofta möjligt att hitta lösningar till optimeringsproblem genom att endast undersöka funktionens beteende vid extrema punkter.

Det är också värt att notera att för konvexa funktioner på $\mathbb{R}$, gäller att om $f$ är nedre semicontinuerlig, så kommer den dubbeltransformerade funktionen $f^{}$ att vara lika med den ursprungliga funktionen, det vill säga $f^{}(x) = f(x)$. Detta är en grundläggande egenskap som fördjupar vår förståelse av relationen mellan en funktion och dess Fenchel-transform.

Sammanfattningsvis är konvexa funktioner fundamentala inom både matematik och ekonomi, särskilt inom områden som optimering och spelteori. De grundläggande egenskaperna hos konvexa funktioner - såsom deras relation till derivator, Fenchel-transformer och minimipunkter - ger kraftfulla verktyg för att lösa många typer av problem, och deras struktur gör att de är enklare att hantera än mer allmänna funktioner.

Vad innebär andra ordningens stokastisk dominans och hur relaterar det till fördelningar?

För en god förståelse av begreppet andra ordningens stokastisk dominans, eller ≽icv, är det viktigt att först känna till de grundläggande egenskaperna hos denna relation. Det är en partiell ordning på mängden av alla sannolikhetsfördelningar MM, och det är en relation som kan beskrivas som ett mått på att en fördelning μ\mu är att föredra framför en annan ν\nu, i termer av förväntad nytta, givet vissa specifika funktioner. Man kan uttrycka detta så här: μ≿icvν\mu \succsim_{icv} \nu, vilket innebär att μ\mu är att föredra framför ν\nu i den bemärkelsen att alla funktioner som är ökande och konkava kommer att ge högre värden när de tillämpas på μ\mu jämfört med ν\nu.

Denna relation uppfyller tre viktiga egenskaper: reflexivitet, transitivitet och antisymmetri. Reflexivitet innebär att varje fördelning är lika med sig själv i denna ordning, transitivitet betyder att om μ≿icvν\mu \succsim_{icv} \nu och ν≿icvλ\nu \succsim_{icv} \lambda, så gäller också att μ≿icvλ\mu \succsim_{icv} \lambda. Antisymmetri säger att om både μ≿icvν\mu \succsim_{icv} \nu och ν≿icvμ\nu \succsim_{icv} \mu gäller, då måste μ=ν\mu = \nu.

En annan viktig egenskap är att relationen är mononton och riskavers, vilket innebär att för två distributioner δy\delta y och δx\delta x där y≥xy \geq x, så gäller att δy≿icvδx\delta y \succsim_{icv} \delta x. Dessutom är fördelningen av medelvärdet av μ\mu också ordnad på samma sätt, så att δm(μ)≿icvμ\delta m(\mu) \succsim_{icv} \mu. Denna egenskap gör att relationen inte är svag i samma bemärkelse som en svag preferensrelation, eftersom den inte är komplett, enligt de definitioner som presenteras i relaterade teorem.

För att bevisa dessa egenskaper och de ekvivalenta uttrycken för μ≿icvν\mu \succsim_{icv} \nu, används flera avancerade verktyg inom matematisk statistik och sannolikhetsteori, som stokastiska kärnor och kvantilfunktioner. En stokastisk kärna är en mätbar funktion som gör det möjligt att omvandla en fördelning μ\mu till en annan genom en så kallad Markov-kärna. Denna tekniska aspekt är användbar för att formalisera relationen mellan olika fördelningar och för att kunna genomföra jämförelser mellan deras förväntade värden på ett rigoröst sätt.

Det är viktigt att förstå att ≽icv kan relateras till kvantila funktioner och de kumulativa fördelningsfunktionerna (CDF) för två fördelningar μ\mu och ν\nu. Om de kumulativa fördelningsfunktionerna FμF_{\mu} och FνF_{\nu} uppfyller en viss integreringsegenskap, som att ∫Fμ(x)dx≤∫Fν(x)dx\int F_{\mu}(x) dx \leq \int F_{\nu}(x) dx, så innebär det att μ≿icvν\mu \succsim_{icv} \nu. Detta är en central del av teoremet som tillhandahåller ett sätt att jämföra fördelningar utan att behöva uttryckligen jämföra alla möjliga utfall.

För en djupare förståelse av de ekvivalenta villkoren för att μ≿icvν\mu \succsim_{icv} \nu, introduceras flera matematiska resultatsformuleringar. Bland annat innebär ett av dessa resultat att om en fördelning μ\mu är stokastiskt dominerad i andra ordningen av ν\nu, så gäller att μ\mu kommer att ha ett högre eller lika stort medelvärde än ν\nu, givet att μ≿icvν\mu \succsim_{icv} \nu. Denna egenskap är av stor betydelse inom beslutsteori och riskbedömning, där man ofta jämför olika risker genom att analysera deras fördelningar.

En annan användbar implikation är att för vissa typer av fördelningar, som de normala fördelningarna N(m,σ2)N(m, \sigma^2), kan man direkt jämföra medelvärde och varians för att avgöra vilken fördelning som föredras. För exempelvis två normalfördelningar N(m,σ2)N(m, \sigma^2) och N(m̃, \sigmã^2) gäller att N(m, \sigma^2) \succsim_{icv} N(m̃, \sigmã^2) om och endast om m≥m~m \geq m̃ och \sigma^2 \leq \sigmã^2. Detta resultat är av stor betydelse för att kunna rangordna fördelningar av ekonomiska tillgångar eller andra variabler inom områden som finans och ekonomi.

Denna teori om stokastiska ordningar är också kopplad till viktiga praktiska tillämpningar, särskilt inom områden som beslutsfattande under osäkerhet, där risk och preferens måste beaktas på ett formellt sätt. Här spelar andra ordningens stokastiska dominans en central roll i att fatta informerade beslut när man står inför olika risker och osäkerheter.

En annan viktig aspekt att förstå är att ≽icv inte alltid är komplett i termer av alla möjliga fördelningar. Detta innebär att det kan finnas situationer där det inte går att bestämma ett klart förhållande mellan två fördelningar, eftersom det inte finns tillräcklig information för att etablera en preferens. I sådana fall är det viktigt att använda andra metoder eller att fördjupa analysen för att få ett mer nyanserat svar.

Hur ett Arrow-Debreu-jämvikt uppstår i finansiella marknader

Ett Arrow–Debreu-jämvikt uppstår när varje agent a∈Aa \in A maximerar sin nytta Xa∗X_a^* givet en prisdensitet ϕ∗\phi^*. Denna prisdensitet decentraliserar den globala resursallokeringsproblemet genom att justera agenternas budgetuppsättningar så att efterfrågan på marknaden respekterar marknadsbalansen, även om varje agents efterfrågan är bestämd utan hänsyn till denna globala begränsning.

Antag att varje agent a∈Aa \in A har en exponentiell nytta funktion med parameter αa>0\alpha_a > 0. I det här fallet finns ett unikt jämvikt, vilket enkelt kan beskrivas. För en given prisuppsättning P∗≈PP^* \approx P, där Wa∈L1(P∗)W_a \in L_1(P^*) för alla a∈Aa \in A, kan nyttaoptimeringsproblemet för varje agent lösas om och endast om relativ entropi H(P∗∣P)H(P^*|P) är ändlig. Den optimala efterfrågan ges av:

Xa∗=−log⁡(ϕ∗)1+w∗αaH(P∣P)aX_a^* = - \log(\phi^*) \frac{1 + w^*}{\alpha_a H(P|P)_a}

Där wa∗:=E∗[Wa]w_a^* := E^* [ W_a ]. Marknadsbalansvillkoret tar då formen:

W=−log⁡(ϕ∗)1+w∗∑αa+H(P∣P)aα∈AW = - \log(\phi^*) \frac{1 + w^*}{\sum \alpha_a + H(P|P)_a \alpha \in A}

För att säkerställa existens av en lösning krävs att E[∣Wa∣e−αW]<∞E[|W_a| e^{ -\alpha W}] < \infty för alla a∈Aa \in A, vilket är uppfyllt om de stokastiska variablerna WaW_a är begränsade nedåt. Om detta villkor är uppfyllt, är den optimala fördelningen för agent aa givet av:

Xa∗=wa∗+(W−E[W])X_a^* = w^*_a + (W - E[W])

Där ∑wa∗=E∗[W]\sum w_a^* = E^* [ W]. Detta garanterar att fördelningen Xa∗X_a^* är genomförbar, och vi har konstruerat ett Arrow–Debreu-jämvikt.

Vidare, om vi introducerar det finansiella marknadsmodellen från tidigare, där den initiala tillgången för agent a∈Aa \in A ges av portföljen ηa∈Rd+1\eta_a \in \mathbb{R}^{d+1}, så kan den optimerade anspråksprofilen för agenten aa i ekvationen ovan skrivas som:

Xa∗=ηa⋅πS+r1+rX_a^* = \eta_a \cdot \pi \frac{S + r}{1 + r}

Där π\pi är marknadsportföljen och ∑ηa=η\sum \eta_a = \eta. Det optimala anspråket kan härledas genom att formulera jämviktproblemet inom det mindre rummet av uppnåeliga avkastningar X=VX = V, vilket ger samma jämviktallokering.

För att beskriva jämviktens struktur vidare, antar vi nu att uppsättningen av tillåtna anspråk är given av X=L0+(Ω,F,P)X = L_0^+(\Omega, \mathcal{F}, P), och att agent a∈Aa \in A har en kontinuerligt deriverbar nytta funktion. Agenternas initiala tillgångar WaW_a antas vara icke-negativa, och vi antar också att E[W]<∞E[ W ] < \infty och E[ua(W)]>−∞E[ u_a(W)] > -\infty för alla a∈Aa \in A.

En funktion ϕ∈L1(Ω,F,P)\phi \in L_1(\Omega, \mathcal{F}, P) sådan att ϕ>0 P−a.s.\phi > 0 \, P-a.s. är en prisdensitet om E[ϕW]<∞E[\phi W] < \infty, vilket är uppfyllt så länge ϕ\phi är begränsad. Givet en prisdensitet ϕ\phi, står varje agent inför exakt samma optimeringsproblem som beskrivs tidigare, men nu i termer av en prisuppsättning PϕP_\phi.

En marknadsbalans definieras av villkoret att summan av agenternas efterfrågan matchar den totala tillgången:

∑Xa∗=W\sum X_a^* = W

Därmed bestäms den optimala fördelningen Xa∗X_a^* som en kontinuerlig och växande funktion av WW. I praktiken innebär det att för att uppnå ett Arrow-Debreu-jämvikt måste efterfrågan på marknaden respektera marknadsbalansens krav, samtidigt som varje individs nytta maximeras enligt deras individuella preferenser och riskaversion.

För att verkligen förstå denna typ av jämvikt är det avgörande att förstå hur riskaversion påverkar marknadsdynamiken. Även om agenternas beslut fattas utan direkt hänsyn till den globala marknadsbalansen, så påverkar den sättet på vilket individuella riskpreferenser interagerar med marknadsdynamiken. Därmed kommer agenternas individuella krav på derivat, såsom optioner, att förändras beroende på deras riskpreferenser och hur deras förväntade avkastningar samspelar med andra agenters beslut.

Hur man hittar en superhedging-strategi för amerikanska optioner i ofullständiga marknader

När vi talar om amerikanska optioner och superhedging-strategier inom finansmatematiken, rör vi oss ofta inom ramarna för teorier som involverar mått och processer, som till exempel Snell-envelopper och martingalrepresentationssatser. En av de centrala frågorna är hur vi kan finna en superhedging-strategi för en amerikansk option, särskilt i marknader som inte är fullständigt informerade eller i de fall där ett amerikanskt krav inte är uppnåeligt. Här ska vi utforska detta och ge en bild av de matematiska verktygen som används för att lösa sådana problem.

För att bevisa existensen av en superhedging-strategi för en amerikansk option H i en ofullständig marknad, introducerar vi en stoppningstid τ\tau som definieras som τ:=inf⁡{t≥0∣Ht=Vt}\tau := \inf \{t \geq 0 | H_t = V_t\}, där VtV_t och HtH_t är prisprocesserna för tillgångarna och den amerikanska optionen, respektive. Om vi antar att P[τ=∞]=0P[\tau = \infty] = 0, innebär det att det vid någon tidpunkt tt måste vara så att Vt=HtV_t = H_t, vilket leder oss till en motsägelse: att H skulle vara en uppnåelig amerikansk krav.

I en fullständig marknadsmodell kan vi tillämpa Doob-dekompositionen och martingalrepresentationsteoremet för att bestämma en superhedging-strategi för den amerikanska optionen. Genom att analysera Doob-dekompositionen av Snell-enveloppen UtP∗U^{P^*}_t av HH får vi ett konkret verktyg för att hitta den minimala initiala kapitalinsatsen som krävs för att skydda mot förluster från en sådan option. För en amerikansk option som är uppnåelig i en komplett marknad, kommer priset på den amerikanska optionen att vara exakt lika med det som vi kan kalla för det "arbitragefria" priset U0P∗U^{P^*}_0. Det är detta pris som definierar kostnaden för superhedging.

I en ofullständig marknad, där HH inte är uppnåelig, måste vi ersätta UtP∗U^{P^*}_t med den så kallade "övre" Snell-enveloppen Ut↑U^{↑}_t av HH. I dessa modeller kan vi fortfarande tillämpa en Doob-dekomposition, men nu i en uniform version, som ger oss möjlighet att konstruera en superhedging-strategi med hjälp av en förutsägbar process ξ\xi och en växande process BB. Det centrala här är att vi ser att denna strategi inte enbart garanterar att portföljvärdet överstiger värdet på den amerikanska optionen, utan även att vi kan säkerställa att portföljen har ett tillräckligt värde vid varje given tidpunkt, oavsett när köparen väljer att utnyttja optionen.

När vi vidare undersöker superhedging och tillhörande resultat, ser vi att även om den uppnåeliga optionen kan ha ett pris som är det lägsta möjliga kapitalet för att genomföra en superhedging-strategi, innebär det inte att detta är det pris som säljaren får för att sälja optionen. För säljarens del kan den initiala kapitalinsatsen vara större än det arbitragefria priset på grund av det faktum att säljaren är tvungen att tillhandahålla ett extra kapitalflöde genom BB för att hålla portföljen säker, även om den underliggande tillgången är osäker.

Vidare gäller att om det amerikanska kravet HH inte är uppnåeligt, så kommer det pris som definieras för superhedging, πsup(H)\pi_{sup}(H), inte att vara ett arbitragefritt pris för HH. Den här skillnaden är viktig eftersom den implicerar att det faktiskt kan finnas arbitrage-möjligheter om HH handlas till πsup(H) \pi_{sup}(H). Genom att sälja HH för detta pris och köpa in sig i en superhedging-strategi ξ\xi skapas en arbitrage-möjlighet där saldo vid t=0t = 0 är noll, men där värdeprocessen VV inte kan nås genom någon övningsstrategi.

Slutligen, när vi går vidare till att studera superhedging-dualitetsatsen och strategier för köparen av den amerikanska optionen, ser vi att köparen med en initial investering π\pi söker efter en övningsstrategi och en självfinansierad handelsstrategi η\eta, så att portföljvärdet täcker upp optionens payoff. Detta ger upphov till ett koncept där man kan finna en maximal investering πinf(H)\pi_{inf}(H), vilket är det högsta kapital som krävs för att genomföra en sådan strategi. Här definieras Ut↓U^{↓}_t som den nedre Snell-enveloppen för HH, och resultatet innebär att köparens problem är kopplat till att hitta den största initiala insatsen för vilken en sådan superhedging-strategi är möjlig.

Det som är väsentligt att förstå här är att en superhedging-strategi i ofullständiga marknader inte alltid kommer att ge ett exakt arbitragefritt pris på den amerikanska optionen. I stället handlar det om att säkerställa att en viss initial investering täcker för eventuella framtida förluster, samtidigt som det finns en garanti för att portföljen kommer att ha ett tillräckligt värde när köparen av optionen väljer att utnyttja den.

Hur man sköter och odlar lökar, kormer, rhizomer och tuber i Florida
Hur fungerar självrenande och självläkande beläggningar och vad är deras praktiska betydelse?
Hur USA:s Strategi gentemot Kina har Påverkat Globala Relationer och Ekonomi
Hur man skapar en affärsprocesskarta: En guide till att förstå företagets funktioner och processer
Hur man arbetar med Python-datatyper: Mängder och ordböcker
Vad kan man förvänta sig från en MR-undersökning av bröstet?