I denna studie fokuserar vi på en enkel variant av CBSEP, en dynamisk process som modellerar förflyttningen av tomma platser i ett givet system. Modellen definieras genom ett grafområde G=(V,E)G = (V, E), där V={1,…,T}dV = \{1, \dots, \mathbb{T}\}^d representerar nätverket av noder, och varje nod har en viss tillståndsrymd som är begränsad till värdena 0 eller 1, där 0 indikerar en tom plats och 1 indikerar en upptagen plats.

Som vanligt i denna typ av modeller definieras ett delmängd C+\mathcal{C}^+ av tillståndsrymden som alla konfigurationer där minst en nod är tom. När vi överväger varje kant e={x,y}∈Ee = \{x, y\} \in E, hänvisar vi till (ωx,ωy)∈{0,1}x,y(\omega_x, \omega_y) \in \{0, 1\}^{x,y} som tillståndet för kanten ee i konfigurationen ω\omega, där ωx\omega_x och ωy\omega_y representerar tillstånden för respektive noder xx och yy.

En viktig del av analysen är att definiera sannolikhetsmåttet π\pi som en produkt av Bernoullis sannolikheter, där varje nod är tom med sannolikheten pp, vilket ger oss ett mått μ(⋅):=π(⋅∣C+)\mu(\cdot) := \pi(\cdot | \mathcal{C}^+). Modellen CBSEP är en Markovkedja i kontinuerlig tid som beskriver dynamiken i systemet där varje kant, där minst en av noderna är tom, resamplas med en viss hastighet i enlighet med πe\pi_e.

Dynamiken i CBSEP kan delas upp i tre typer av rörelser: SEP-rörelsen, som flyttar en tom nod till en annan nod på kanten med en viss hastighet, branching-rörelsen, som skapar en extra tom nod vid den upptagna änden av kanten, och coalescing-rörelsen, där en av de två tomma noderna på en kant blir upptagen. Dessa rörelser är avgörande för att förstå hur systemet utvecklas över tid.

Det är också värt att påpeka att även om CBSEP och FA-1f-modeller är nära besläktade, har CBSEP flera fördelar som gör det enklare att studera. En av de största fördelarna är att CBSEP bevarar den naturliga stochastiska ordningen för interagerande partikelsystem, vilket gör det enklare att analysera dynamiken på lång sikt. Vidare tillåter CBSEP en kontinuerlig tidsrandom walk på grafen GG, vilket innebär att en tom plats alltid kan placeras vid en viss punkt WtW_t för alla t≥0t \geq 0. Denna egenskap är svår att uppnå med FA-1f-modellen.

I fråga om tidskomplexitet är ett viktigt resultat i CBSEP den så kallade relaxeringstiden. Om d≥2d \geq 2 och vi betraktar en sekvens av boxar Tn\mathbb{T}_n med storlekar och parametrar pnp_n, där pnTnd→∞p_n \mathbb{T}_n^d \to \infty och pn→0p_n \to 0, kan relaxeringstiden för CBSEP uttryckas som TCBSEPrel≤Clog⁡3(1/pn)/pnT_{\text{CBSEP}}^{\text{rel}} \leq C \log^3(1/p_n) / p_n, vilket ger en övre gräns för hur snabbt systemet når en stationär fördelning.

För att förstå denna relaxeringstid är det nödvändigt att använda renormaliseringstekniker som omvandlar systemet till ett mer hanterbart tillstånd där beräkningarna kan genomföras enklare. Genom att dela upp boxarna i mindre enheter och använda sig av så kallade "superbra" händelser, kan man visa att det är sannolikt att systemet förblir stabilt och att alla renormaliserade platser förblir i det önskade tillståndet över tid.

Denna typ av analys visar på styrkan i CBSEP-modellen när det gäller att beskriva dynamiken för system med tomma och upptagna platser och erbjuder ett praktiskt sätt att förstå de långsiktiga egenskaperna hos sådana system. Genom att undersöka de olika rörelserna och deras påverkan på systemets tillstånd, får vi en djupare förståelse för hur dessa dynamiska processer fungerar.

Det är också viktigt att notera att även om denna teori har använts för att beskriva CBSEP-modellen, kan dessa resultat överföras till andra liknande modeller inom området för interagerande partikelsystem. Den noggranna analysen av relaxeringstider och dynamiska rörelser ger värdefulla insikter som kan användas för att förstå en mängd olika fysiska och matematiska fenomen.

Vilka beteenden är möjliga inom kinetiskt begränsade modeller i en dimension och två dimensioner?

I denna kapitel undersöker vi universialitet inom kinetiskt begränsade modeller (KCM) och fokuserar på att förstå de beteenden som kan uppstå inom dessa modeller. Målet är att identifiera möjliga beteenden och klassificera uppdateringsfamiljer baserat på deras egenskaper. Universialitetsteorin hjälper oss att förstå hur vissa mönster och egenskaper kan upprepas i olika system, trots att de kan ha helt olika detaljer. Denna teori tillämpas på både en- och tvådimensionella modeller.

Vi inleder med att titta på en-dimensionella KCM. Här finner vi att det finns tre grova universialitetsklasser som representeras av de tre närmaste grannmodellerna som diskuterades i kapitel 4. För att analysera dessa beteenden måste vi definiera vad som menas med "stabila riktningar". I en-dimensionella system är universialiteten för de olika modellerna tydlig: FA-1f, East och FA-2f modellerar de enda möjliga beteendena. Varje modell har en specifik stabil riktning, som styr om tomma platser kan återupprepas eller inte.

KCM Universialitet i en dimension

För att belysa universialitetsresultaten i en dimension, påminner vi oss om att i de föregående satserna i kapitel 4, såg vi att korrekt skalning av Trel (eller τ0) för FA-1f är proportional mot 3^1/q, medan det för East KCM är exp((log(1/q))²/(2 log 2)). För FA-2f är qc = 1. Dessa skalningsbeteenden utgör en central del av resultatet som visar att de enda möjliga beteendena i en dimension är FA-1f, East och FA-2f.

Definieringen av stabila riktningar hjälper oss att förstå när en modell är stabil. En stabil riktning definieras genom att man undersöker om det finns uppdateringsfamiljer som är instabila. Om det finns två instabila riktningar, innebär det att qc = 0 och skalningen för τ0 följer en logaritmisk lag. Om det finns en instabil riktning gäller en annan logaritmisk skala, medan inga instabila riktningar innebär att qc = 1.

Universialitet inom Bootstrap Perkolation (BP) i två dimensioner

När vi rör oss till två dimensioner, måste vi också förstå universialitet inom bootstrap perkolation (BP) innan vi går vidare med kinetiskt begränsade modeller. BP-teorin har blivit väl etablerad för att förstå kritiska beteenden i tvådimensionella modeller. För att applicera denna teori på KCM krävs det att vi generaliserar definitionen av stabila riktningar från en dimension till två dimensioner.

I tvådimensionella modeller, som i fallet med BP, definieras stabila riktningar med hjälp av enhetssfären. Denna tvådimensionella definition av stabila riktningar gör det möjligt att kategorisera och klassificera olika uppdateringsfamiljer på ett mer komplett sätt. Stabilitet spelar en viktig roll när det gäller att definiera de universella beteendena i dessa system. Här krävs det mer sofistikerade matematiska verktyg för att förklara de exakta skalningslagarna och kritiska beteendena.

För att sammanfatta, universialitet inom KCM och BP visar oss att trots det stora antalet olika uppdateringsfamiljer och modeller, kan de alla klassificeras enligt deras stabila riktningar. Det finns endast ett begränsat antal universella beteenden som kan uppträda, och dessa beteenden kan noggrant förstås och förutses genom att studera modellernas stabilitetsegenskaper.

Viktigt att förstå

För att verkligen förstå universialitet inom kinetiskt begränsade modeller och bootstrap perkolation måste läsaren vara medveten om att det handlar om att identifiera de grundläggande mekanismer som styr systemens långsiktiga beteende. Det är inte bara de specifika detaljerna i modellerna som är viktiga, utan hur de kan förenas i bredare universella klasser. Modeller som verkar helt olika på ytan kan ha gemensamma kritiska beteenden beroende på deras stabilitetsstrukturer. Denna insikt är avgörande för att fördjupa sig i teorier om kritiska fenomen och metastabilitet.

Vad händer när en vätska blir en glasfas?

Vid tillräcklig kylning hindras kristallbildningen i en vätska, och den går in i ett metastabilt tillstånd som kallas superkyld vätska. Här är inte molekylerna tillräckligt snabbt omorganiserade för att bilda en ordnad kristallstruktur, utan de rör sig allt långsammare och bildar så småningom ett tjockt sirapsliknande tillstånd, och till slut fastnar de i den strukturfria glasfasen. Även om det inte är termodynamiskt stabilt, kan superkylda vätskor för alla praktiska ändamål betraktas som ett jämviktsystem. Detta beror på att när systemet förlorar sin förmåga att omorganisera sig på grund av sin långsamma rörelse, kan en avslappningstid definieras och experimentellt mätas via viskositet, vilket leder till att fluktuationer och dissipation förknippas med externa drivkrafter och korrelationsfunktioner.

I takt med att temperaturen sjunker ökar viskositeten dramatiskt, ofta med över 14 ordningars magnitud, vilket innebär en drastisk bromsning av dynamiken i vätskan. Detta sker framför allt eftersom molekylerna tenderar att blockera varandra när densiteten ökar, vilket får dem att röra sig allt mer kooperativt. Detta kallas dynamisk heterogenitet och innebär att vissa regioner av vätskan stelnar och stoppar upp, medan andra fortfarande uppvisar rörelse. Ett tydligt exempel på denna dynamiska heterogenitet är att när glaset svalnar, sker inte nedbromsningen på ett enhetligt sätt – det finns både snabba och långsamma områden i vätskan, vilket resulterar i olika rörelsemönster.

En av de mest intressanta observationerna när det gäller superkylda vätskor är att självdiffusionskoefficienten och viskositeten inte längre följer den förväntade relationen mellan varandra som gäller för homogena vätskor. I normala vätskor är sambandet mellan diffusionskoefficienten och viskositeten enligt Stokes–Einstein relationen: Dsη/T = konstant, där Ds är självdiffusionen, η viskositeten och T temperaturen. Men i superkylda vätskor, när temperaturen närmar sig glasövergången, bryts detta samband ned, vilket innebär att diffusiviteten inte ökar i samma takt som viskositeten.

Denna decoupling mellan självdiffusion och viskositet är en av de mest påtagliga bevisen på dynamisk heterogenitet i dessa system. Detta fenomen är en viktig aspekt att förstå för att kunna förklara hur material rör sig nära glasövergången. Även om detta har observerats experimentellt finns det fortfarande ingen enhetlig teori som kan förklara alla de observerade fenomenen, som åldrande, hysteres, förnyelse eller anomal transport i glasfasen. Ett gemensamt konsensus om teorin bakom glasövergången saknas än idag i den fysikaliska forskningen.

Det är också viktigt att förstå att glasövergången inte är en "vanlig" övergång, såsom de som inträffar vid första eller andra ordningens fasövergångar, som t.ex. smältning eller kokning. Istället uppvisar glasövergången en blandad karaktär, där de divergerande tid- och längdskalorna från andra ordningens fasövergångar kombineras med ett diskontinuerligt ordningsparameter, vilket kännetecknar första ordningens övergångar. Detta innebär att övergången från vätska till glas inte sker på ett jämnt och kontinuerligt sätt.

Ett viktigt fenomen som relaterar till förståelsen av glasövergången är fenomenet "jamming", som också förekommer i andra system som t.ex. kolloidala suspensioner, skum eller granulerade material. Dessa jammingövergångar är dynamiska fenomen som är relaterade till glasövergången i vätskor. Forskningen kring glasövergången ger därför inte bara insikter i vätske-glas övergången, utan kan också användas för att bättre förstå hur olika komplexa system uppträder när de visar kollektiva beteenden.

Ett verktyg som används för att förstå glasfasens dynamik är kinetiskt begränsade modeller (KCM), som är förenklade modeller för vätske-glas och jammingövergångarna. KCM bygger på idén att dessa fenomen inte enbart beror på statiska interaktioner, utan snarare på dynamiska faktorer där lokala cagingmekanismer (där molekyler fastnar) bromsar ned dynamiken vid låg temperatur eller hög densitet. KCM uppvisar många dynamiska egenskaper som återfinns i verkliga material som genomgår glas- eller jammingövergångar, t.ex. anomal ergodicitetbrytning, perkolering av blockerade strukturer och dynamiska heterogeniteter. Därmed kan KCM användas för att beskriva fenomenen på ett förenklat sätt.

Men även om KCM är användbara för att få insikter om de dynamiska aspekterna av glasfasövergångar, finns det fortfarande mycket osäkerhet kring hur man exakt ska definiera och identifiera dessa begränsade tillstånd på molekylär nivå. Därför är användningen av KCM fortfarande en förenkling av verkliga system, och de har både sina styrkor och begränsningar när det gäller att efterlikna det komplexa beteendet hos riktiga material.

Hur grundläggande observationer av naturen förändrade världen: Aristoteles och hans inflytande på vetenskapen
Hur man gör unika örhängen med sterlingsilver och glasdetaljer
Hur du skapar kreativa porträtt: tekniker och övningar