Hur man förstår och tillämpar varians-optimal hedging i finansiell teori

Varians-optimal hedging, ett ämne som utvecklades av Duffie och Richardson [116], och vidareutvecklades av Schweizer och andra forskare [149, 298], utgör en central del inom finansmatematik. Syftet med denna strategi är att minimera risken, specifikt variansen, som uppstår vid hedging av finansiella positioner. I en idealisk värld, där alla parametrar är kända och förutsägbara, skulle den optimala hedgingstrategin vara den som minimerar variansen av vinster och förluster.

Men verkligheten är mycket mer komplex, och därför måste man i praktiken ofta förlita sig på approximativa metoder. Schweizer och hans kollegor introducerade konceptet av varians-optimal hedging för att ta hänsyn till sådana osäkerheter, och den diskreta teorin för denna metod, som presenteras i avsnitt 10.3, bygger på deras arbete. I deras formulering tas hänsyn till situationer där man inte strikt kräver att vinströrelserna är kvadratintegrerbara vid mellanliggande tidpunkter, som ofta är ett krav i traditionella modeller för riskhantering. Melnikov och Nechaev [246] ger en explicit formel för en varians-optimal strategi utan att använda den klassiska förutsättningen om kvadratintegrerbarhet. Deras arbete visar att deras metod kan användas i ett bredare spektrum av finansiella modeller.

För att verkligen förstå varians-optimal hedging och dess tillämpningar är det också viktigt att förstå skillnaden mellan den klassiska modellen och de nya tillvägagångssätten. Till exempel, i den klassiska teorin för hedging, särskilt i kontinuerliga tidsmodeller, används vanligtvis en Bellman-liknande princip för att lösa problem där vi försöker minimera risken i varje ögonblick. Det är en optimal kontrollstrategi som förutsätter att aktiekurser och andra faktorer är kända och följer förutbestämda statistiska regler.

Men även när vi arbetar med en mer realistisk modell, som den som introduceras i Schweizer och andra arbeten, måste vi överväga den dynamiska aspekten av marknader. Priser och risker förändras hela tiden, och en strategi som är optimal vid en tidpunkt kanske inte är det längre när marknaderna utvecklas. För att hantera detta introduceras ofta riskmått och dynamiska riskjusteringar, där vissa justeringar måste göras beroende på förändringar i riskprofilen över tid.

För att ge en konkret bild, antag att du som investerare är intresserad av att säkra din portfölj mot prissvängningar i en viss tillgång, t.ex. en aktie eller en option. En varians-optimal strategi innebär då att du justerar din exponering till denna tillgång baserat på variansen av vinsterna från den, med målet att minimera den totala risken. Det är inte bara en statisk åtgärd utan en kontinuerlig justering som måste göras vid varje tidpunkt. Det är därför den diskreta modellen, som presenteras av Schweizer [298], är särskilt användbar i sådana situationer.

För att förstå hur dessa strategier fungerar är det också viktigt att känna till de grundläggande matematiska verktygen bakom varians-optimal hedging. Exempelvis kan man använda en funktion som representerar den förväntade kvadratiska avvikelsen för att definiera en optimal hedgeportfölj. I praktiken innebär detta att man måste hitta ett tillvägagångssätt för att beräkna den bästa vikten för olika finansiella instrument i portföljen, vilket är ett klassiskt problem inom finansmatematiken.

Vad som också är viktigt för att fördjupa sin förståelse av varians-optimal hedging, är att titta på hur denna strategi förhåller sig till andra typer av riskhantering, såsom maximalt risktåliga strategier, som presenteras av Bion-Nadal [33, 34]. Förändringen mellan olika strategier och deras påverkan på portföljens avkastning och risk är ett viktigt ämne för den som vill förstå den finansiella marknadens dynamik.

I det vidare perspektivet är det också nödvändigt att inse att varians-optimal hedging är ett exempel på hur teoretiska modeller kan påverka praktiska beslut inom finans. Att förstå risker i investeringar och kunna förutsäga hur dessa risker kommer att utvecklas under olika marknadsförhållanden är centralt för alla finansiella aktörer, från individuella investerare till stora institutioner.

Genom att applicera varians-optimal hedging kan en investerare minska risken för stora förluster, men det innebär också att man kan missa potentiella vinster. Det är därför en strategi som måste anpassas till den riskprofil och de mål man har som investerare. Som alltid inom ekonomi och finans finns det ingen "universell lösning", utan det handlar om att välja de metoder som bäst stämmer överens med individens specifika behov och marknadens förutsättningar.

Hur von Neumann-Morgenstern Representation Fungerar för Ekonomiska Val

I teorin om ekonomiskt beslutsfattande representeras varje möjliga val av en agent av en sannolikhetsfördelning över ett givet antal scenarier. I detta sammanhang definieras mängden $X$ som en delmängd av mängden $M_1(S, S)$ , som består av alla sannolikhetsfördelningar på ett mätbart rum $(S, S)$ . Elementen i $M$ kallas ibland lotterier. I denna teori antas att $M$ är konvex, vilket innebär att varje blandning av två lotterier också är ett lotteri. Syftet med denna teori är att karakterisera de preferensordningar $\succ$ på $M$ som tillåter en numerisk representation av formen:

U(\mu) = \int u(x) \, \mu(dx)

där $u$ är en reell funktion definierad på $S$ . Detta innebär att varje preferensordning på $M$ kan representeras av en funktion som är en linjär kombination av individens uppfattningar om de olika möjliga scenarierna.

En sådan representation kallas en von Neumann-Morgenstern-representation och har den egenskapen att den är affinitiv på mängden $M$ , vilket betyder att:

U(\alpha \mu + (1-\alpha) \nu) = \alpha U(\mu) + (1-\alpha) U(\nu)

för alla $\mu, \nu \in M$ och $\alpha \in [0, 1]$ . Detta betyder att om en agent föredrar $\mu$ framför $\nu$ , så kommer denne också att föredra en blandning av $\mu$ med en annan distribution $\lambda$ framför en blandning av $\nu$ med $\lambda$ , oavsett valet av $\lambda$ .

De Axiomatiska Kraven

För att en preferensordning ska ha en von Neumann-Morgenstern-representation krävs att den uppfyller två grundläggande axiom: självständighetsaxiomet och Archimedesaxiomet. Självständighetsaxiomet innebär att preferenser mellan två lotterier $\mu$ och $\nu$ bevaras under en konvex blandning med en tredje, valfri fördelning $\lambda$ :

\mu \succ \nu \implies \alpha \mu + (1 - \alpha) \lambda \succ \alpha \nu + (1 - \alpha) \lambda

Detta kallas ibland för substitutionsaxiomet och säger att om en agent föredrar $\mu$ framför $\nu$ , kommer denne också föredra en blandning där $\mu$ blandas med någon annan fördelning $\lambda$ , framför en blandning av $\nu$ med samma $\lambda$ .

Archimedesaxiomet säger att om en agent föredrar $\mu$ framför $\nu$ , och $\nu$ i sin tur föredras framför en tredje fördelning $\lambda$ , då finns det vikter $\alpha$ och $\beta$ som gör att en blandning av $\mu$ och $\nu$ med dessa vikter kommer att föredras framför $\lambda$ , och $\lambda$ kommer att föredras framför en annan blandning av $\mu$ och $\nu$ .

Exempel på Tillämpningar

Archimedesaxiomet är mindre intuitivt än självständighetsaxiomet, men det är centralt för att förstå agentens beteende när denne står inför osäkerhet eller risk. Till exempel, om en agent har valet mellan ett säkert belopp på 10 e eller en riskfull fördelning där denne med viss sannolikhet riskerar livet, skulle det vara förväntat att denne inte föredrar ett lottospel med en viss risk av att dö (t.ex. en blandning där $\mu$ representerar den riskfyllda fördelningen och $\lambda$ representerar det säkra alternativet). Däremot, när det gäller vardagliga beslut som att köra bil för att få ett stort belopp (t.ex. 1000 e), kan Archimedesaxiomet ge insikter om hur agenter kan väga små risker mot stora belöningar.

Det är också viktigt att notera att de von Neumann-Morgenstern-representationer som följer från dessa axiom är unika upp till positiva affina transformationer. Detta innebär att det finns en specifik funktion som representerar agentens preferenser, men denna funktion kan justeras genom en linjär transformation, där den enda skillnaden mellan två representationer är en skalning och en translation av värdena.

Särskilda Fall: Enkla Sannolikhetsfördelningar

I vissa särskilda fall, som när $M$ består av alla enkla sannolikhetsfördelningar på $S$ , gäller att en preferensordning som uppfyller både självständighetsaxiomet och Archimedesaxiomet alltid kommer att ha en von Neumann-Morgenstern-representation. En enkel sannolikhetsfördelning är en sannolikhetsmått $\mu$ på $S$ som kan skrivas som en konvex blandning av Dirac-massor, det vill säga:

\mu = \sum_{i=1}^N \alpha_i \delta_{x_i}

där $\delta_{x_i}$ är Dirac-massan vid punkten $x_i$ , och $\alpha_i$ är vikterna för varje element i mängden $S$ . För sådana sannolikhetsfördelningar innebär det att preferensordningen kan representeras av en funktion $u(x)$ , vilket gör att von Neumann-Morgenstern-representationen kan specificeras för dessa enklare fall.

Det är värt att påpeka att även om affinitet innebär att en numerisk representation kan existera, betyder det inte att varje affinitiv representation är von Neumann-Morgenstern-representation. I vissa fall är det ändå så att en affinitiv representation redan har de egenskaper som krävs för att vara von Neumann-Morgenstern-form.

Hur Convexa Riskmått Relaterar till Förväntad Nytta och Förlust

För att analysera riskmått i finansiella marknader är det viktigt att förstå relationen mellan de olika matematiska begreppen och hur dessa tillämpas på finansiella positioner. I ett scenario där risk bedöms utifrån förlust eller nedgång, har modeller som utgår från konvexa riskmått en central roll. Konvexa riskmått ger en kvantifiering av risken för en finansiell position, där beslut fattas på grundval av förväntad förlust eller förlustens grad.

I de modeller som presenteras här, definieras ett konvext riskmått i termer av ett acceptansset som begränsar mängden positioner för vilka en viss risknivå är accepterad. Specifikt är ett acceptansset A definierat som alla positioner X där förväntad förlust, uttryckt som $E[\ell(-X)]$ , inte överstiger ett visst tröskelvärde $x_0$ . Detta innebär att positioner vars förväntade förlust inte överstiger denna tröskel, anses vara acceptabla i termer av risk.

Vidare, om vi överväger en förlustfunktion $\ell(x)$ , som är strikt växande och konvex, så representerar den nedgången i förmögenheten hos en risk-avers investerare. För att minimera risk tar investeraren i praktiken hänsyn till förlustens förväntade värde, som kan uttryckas som en funktion av positionens förlorade värde. Denna metod för att mäta risk är en grundläggande byggsten i att definiera riskmått på finansiella marknader.

Ett exempel på ett vanligt använt riskmått är Value at Risk (VaR), som kan ses som en specifik instans av den metod som beskrivs. VaR på nivå $\lambda$ för en finansiell position $X$ är det värde $m$ som minimerar sannolikheten att positionen underskrider noll med en sannolikhet $\lambda$ . Detta innebär att positionen anses vara acceptabel om den inte underskrider en viss förlustgräns med högre än en viss sannolikhet.

För att förstå förhållandet mellan konvexa riskmått och förväntad nytta måste vi också ta hänsyn till investerares beteende i relation till förlust. En riskavert investerare är benägen att acceptera lägre avkastning för att undvika stora förluster. För denna typ av investerare definieras riskmåttet genom en förlustfunktion, där en investering som leder till ett förväntat negativt utfall bedöms baserat på den förväntade förlusten.

Denna typ av riskmått är nära kopplad till förväntad nytta. Om vi betraktar förväntad nytta $E[u(-X)]$ , där $u(x)$ är en nytta- eller förlustfunktion, så kan denna funktion tolkas som en förlustfunktion $\ell(x)$ som är strikt konvex. Maximeringen av förväntad nytta motsvarar därmed minimisering av den förväntade förlusten, vilket påminner om hur risk mäts och bedöms i finansiella beslut.

Vidare är det viktigt att förstå att konvexa riskmått kan vara antingen normerade eller icke-normerade beroende på det specifika tröskelvärdet $x_0$ som definierar acceptansenivån för risk. Ett riskmått anses vara normerat om tröskelvärdet sätts till $x_0 = \ell(0)$ , vilket innebär att förväntad förlust för en neutral position är noll. När $x_0$ inte är lika med $\ell(0)$ , innebär det att riskmåttet inte är normerat och att det finns en fast förlustnivå som måste beaktas vid bedömning av positionens acceptabilitet.

Konvexa riskmått som definieras på denna metod kan beskrivas som utility-baserade kortfallriskmått. Dessa riskmått är specifika fall av det bredare begreppet riskmått som beaktar förväntad förlust och hur denna förlust påverkar den totala nytta för en investerare. För en given position $X$ kan riskmåttet $\rho(X)$ definieras som den minsta förlusten som gör att den förväntade nyttan av positionen är acceptabel, vilket innebär att $\rho(X) = \inf\{m \in \mathbb{R} | E[\ell(-X - m)] \leq x_0\}$ .

För investerare som är intresserade av att undvika stora förluster är dessa riskmått särskilt användbara, eftersom de ger ett sätt att kvantifiera den acceptabla risken i termer av förväntade förluster. Dessutom kan konvexa riskmått användas för att definiera strategier för att minska risker, som kan vara särskilt användbara vid riskhantering och i förvaltningen av finansiella portföljer.

Det är viktigt att förstå att medan konvexa riskmått ger en matematiskt robust metod för att bedöma och hantera risk, kräver deras tillämpning en noggrann förståelse för den underliggande förlustfunktionen och de specifika egenskaperna hos de finansiella tillgångar som bedöms. Detta innebär att man måste vara medveten om hur olika riskmått kan påverka beslutsfattande i en dynamisk och osäker marknadsmiljö.

Vad innebär stabilitet under sammanfogning av sannolikhetsmått och dess tillämpning på amerikanska kontingenta krav?

Inom den finansiella teorin och speciellt vid prissättning och värdering av amerikanska kontingenta krav, är begreppet stabilitet under sammanfogning av sannolikhetsmått (eller pasting) centralt. För att förstå denna stabilitet är det viktigt att först definiera vad ett stoppande tidsmått är och hur det används i samband med värderingen av derivat och andra finansiella produkter.

Antag att vi har ett stoppande tidsmått $\sigma$ som är $F_T$ -mätbart, vilket innebär att det är en slumpmässig tidpunkt som bestäms av en viss marknadsprocess. Ett av de mest grundläggande resultaten i denna kontext är att det finns en $F_T$ -mätbar stoppande tid $\sigma$ för vilken $H_\sigma = \max_{0 \leq t \leq T} H_t$ , där $H$ representerar ett amerikanskt krav. Vi ser senare att $H$ kan vara uppnåeligt enligt Definition 6.33, om och endast om $V_t \geq H_t$ för alla $t$ , och $V_\sigma = H_\sigma$ för något stoppande tidsmått $\sigma$ .

Detta är viktigt för prissättningen av amerikanska krav, särskilt när marknadsmodellen är komplett. I ett sådant fall är varje amerikanskt krav $H$ uppnåeligt, vilket innebär att det finns en strategi för att skapa en portfölj som exakt matchar detta krav. Enligt teorem 6.11 och korollarium 6.22, är den minsta initiala investeringen för att köpa en säkringsstrategi för $H$ lika med det unika priset för $H$ utan arbitrage. I en allmän, eventuellt ofullständig marknadsmodell, gäller att varje uppnåeligt diskonterat amerikanskt krav $H$ uppfyller integrabilitetsvillkoret (6.19) och har ett unikt arbitragefritt pris, vilket är lika med den initiala investeringen för en säkringsstrategi.

Det finns även ett starkare resultat som kopplar samman dessa begrepp. Teorem 6.34 visar att för ett diskonterat amerikanskt krav $H$ som uppfyller integrabilitetsvillkoret, är följande villkor ekvivalenta:

$H$ är uppnåeligt,
$H$ har ett unikt arbitragefritt pris $\pi(H)$ , dvs. $\Pi(H) = \{\pi(H)\}$ ,
$\pi_{sup}(H) \in \Pi(H)$ .

Om $H$ är uppnåeligt, kommer $\pi(H)$ att vara lika med initialinvesteringen för en säkringsstrategi för $H$ .

För att analysera dessa resultat mer ingående, måste vi först förstå begreppet pasting av två sannolikhetsmått vid en given stoppande tid. Detta är en operation som spelar en viktig roll i analysen av nedre och övre Snell-kurvor, vilket behandlas i nästa sektion. För att förbereda för beviset av minimaxidentiteten (6.20), som används vid karakteriseringen av arbitragefria priser för amerikanska krav, definieras följande:

Låt $\tau$ vara en stoppande tid. Den $\sigma$ -algebra som representerar de händelser som är observerbara fram till tidpunkten $\tau$ definieras som $F_\tau := \{ A \in F \mid A \cap \{\tau \leq t\} \in F_t \text{ för alla } t \}$ . Här framgår det att ett stoppande tidsmått $\tau$ skapar en viss struktur som gör det möjligt att analysera processer och krav som är beroende av denna tidpunkt.

Vidare, om $\tau$ och $\sigma$ är två stoppande tider, och om $Y$ är $F_\tau$ -mätbart, visar Lemma 6.36 att både $Y1_{\{\tau \leq \sigma\}}$ och $Y1_{\{\tau < \sigma\}}$ är $F_\tau \cap F_\sigma$ -mätbara. Detta faktum är centralt för att förstå hur olika stoppande tider interagerar och hur man kan sammanfoga sannolikhetsmått på ett korrekt sätt.

För att konkretisera detta begrepp, antas nu att vi har två sannolikhetsmått $Q_1$ och $Q_2$ , och en stoppande tid $\sigma$ . Pasting av $Q_1$ och $Q_2$ vid $\sigma$ definieras som ett nytt sannolikhetsmått $\tilde{Q}$ , vilket gör det möjligt att beskriva en sannolikhetsfördelning som är konsekvent med båda de ursprungliga måtten vid olika tidpunkter.

En viktig observation här är att den resulterande processen för $\tilde{Q}$ bevarar de ursprungliga måtten på alla $F_\sigma$ -mätbara händelser, vilket innebär att detta mått är konsekvent i den del av processen som är relaterad till $\sigma$ . Detta är ett centralt resultat som används för att definiera och bevisa egenskaper hos arbitragefria priser och att visa att dessa priser inte bara existerar utan också är unika när de är väl definierade i sammanhanget av stoppande tider.

Därmed kan man säga att stabiliteten under pasting är en nyckeloperation i teorin för amerikanska krav, eftersom den gör det möjligt att formulera arbitragefria prissättningar även i ofullständiga marknader där olika stoppande tider och sannolikhetsmått spelar en avgörande roll för att förstå hur olika marknadsinformationer interagerar och påverkar prissättningen av finansiella derivat.

Hur fungerar post-förbränning CO2-fångst och vad innebär det för kraftverk?
Hur fungerar semantiska funktioner och deras betydelse i språket?
Vad är de centrala begreppen i metrologi och hur definieras de?