Hur man representerar dynamiska riskmått och deras robusta formulering: en översikt

I en dynamisk modell för riskmått är representationen av riskrelaterade kvantiteter genom en uppsättning av sannolikhetsmått av central betydelse. Specifikt, när vi arbetar med en sekvens av villkorliga riskmått, är det avgörande att förstå hur riskbedömningarna för en finansiell position vid olika tidpunkter hänger ihop. I detta avseende belyser ett centralt resultat, Lemma 11.3, en relation mellan den förväntade minimala bestraffningen för ett riskmått och ett essentiellt supremum, vilket ger en grundläggande byggsten för vidare analys.

Låt oss först beakta de villkor som gäller för en familj av riskmått. Antag att $Q \in Q_t$ och $0 \leq s \leq t$ . Enligt Lemma 11.3 gäller att:

E[\min Q[\alpha_t (Q) | F_s]] = \text{ess sup} \, E_Q[-Y | F_s],

där $Y \in A_t$ . Detta innebär att den förväntade minimala bestraffningen över alla möjliga åtgärder i $A_t$ , givet den tillgängliga informationen vid tidpunkt $F_s$ , är lika med det essentiella supremumet av de förväntade värdena av $-Y$ . Enligt definitionen innebär detta att vi kan representera riskmåttet för $Q$ som en suprema över en ökning av denna förväntan, och i synnerhet, när $s = 0$ , får vi en direkt relation till den maximala risken genom:

E[\min Q[\alpha_t (Q)]] = \sup E_Q[-Y].

Det är värt att notera att detta resultat också kan generaliseras till en något mindre uppsättning av sannolikhetsmått, $P_t^{min}$ , där:

P_t^{min} = \{Q \in P_t | E[\alpha_t (Q)] < \infty\}.

Detta gör det möjligt att använda representationen även för uppsättningar $Q$ där $P_t \subseteq Q \subseteq Q_t$ , vilket är avgörande för att göra de teoretiska konstruktionerna mer flexibla.

Ett exempel på en sådan representation ses i fallet med exponentiella nyttjandefunktioner. Om preferenser karakteriseras av en exponentiell nyttjandefunktion $u(x) = 1 - \exp(-\beta x)$ , där $\beta > 0$ , är det villkorliga förväntade nyttovärdet för en finansiell position $X$ vid tidpunkt $t$ :

U_t^\beta(X) = E[1 - \exp(-\beta X) | F_t].

Detta leder till en acceptansmängd $A_t$ som är definierad av de $X$ där förväntningen är mindre än eller lika med ett visst tröskelvärde. Den resulterande villkorliga riskmåttet ges av:

\rho_t(X) = \text{ess inf} \{Y \in L_t^\infty | X + Y \in A_t \}.

För en exponentiell funktion kan detta formuleras som:

\rho_t(X) = \beta \log E[\exp(-\beta X) | F_t],

vilket ger en mycket konkret representation av riskmåttet. Dess robusta formulering, med minimal strafffunktion $\alpha_t(Q) = \beta H_t(Q|P)$ , där $H_t(Q|P)$ är den villkorliga relativa entropin, ger ytterligare en teoretisk grund för att modellera risk under osäkerhet.

När vi övergår till koherenta riskmått som har Fatou-egenskapen, som beskrivs i Korollar 11.6, ser vi att representationen förenklas ytterligare. För sådana mått ges den villkorliga representationen av:

\rho_t(X) = \text{ess sup} E_Q[-X | F_t],

där $Q \in P_t^{\rho}$ är uppsättningen av alla sannolikhetsmått $Q$ för vilka $\alpha_t(Q) = 0$ P-a.s. Denna representation innebär att koherenta riskmått har en enklare formulering där man kan använda den essentiella supremen av $-X$ över alla möjliga mått $Q$ .

Slutligen, det är viktigt att förstå att dessa representationer inte bara är teoretiska utan också praktiska. De möjliggör en exakt beräkning av risken för en finansiell position under olika förhållanden och gör det möjligt att hantera olika typer av osäkerheter och risker på ett robust sätt. Samtidigt är det väsentligt att komma ihåg att dessa modeller bygger på antaganden om kontinuitet och konvexitet, vilket kan påverka hur lämpliga de är för specifika tillämpningar.

Hur man förstår och hanterar utility-baserade kortsiktiga riskmått

Inom den aktuella teorin har vi antagit att $\kappa \leq J(0) \leq J(z) < \infty$ för ett godtyckligt $z \in I$ . Nu ska vi visa att $J(0)$ faktiskt är lika med $\kappa$ . Vi har redan sett att $J(0)$ är ändlig. Därför får vi $J(z)z \to 0$ när $z \downarrow 0$ . Således ger den vänstra identiteten i (4.114) att $\ell(J(z)) + \ell^*(z) \to 0$ när $z \downarrow 0$ . Som nämnts ovan är $\ell^*$ kontinuerlig på sitt effektiva domän. Del (a) i detta lemma ger därför att $\ell^*(z) \to - \inf \ell$ när $z \downarrow 0$ . Därmed måste vi ha att $\ell(J(z)) \to \inf \ell$ , vilket endast är möjligt om $J(z) \downarrow \kappa$ när $z \downarrow 0$ .

Låt oss nu bevisa satsen 4.126. Fixera $Q \in M_1(P)$ och beteckna med $\varphi := dQ/dP$ dess densitet. Först visar vi att det räcker att bevisa påståendet för $x_0 > \ell(0)$ . Om inte, kan vi hitta ett $a \in \mathbb{R}$ sådant att $\ell(-a) < x_0$ , eftersom $x_0 > \inf \ell$ . Låt $\tilde{\ell}(x) := \ell(x - a)$ , och $\tilde{A}_\infty := \{ \tilde{X} \in L \mid E[\tilde{\ell}(-\tilde{X})] \leq x_0 \}$ . Då gäller att $\tilde{A} = \{ X - a \mid X \in A \}$ , och därmed blir $\sup E_Q[-\tilde{X}] = \sup E_Q[-X] + a$ (4.115).

Den konvexa förlustfunktionen $\tilde{\ell}$ uppfyller kravet $\tilde{\ell}(0) < x_0$ . Om påståendet nu bevisas för detta fall, finner vi att

\sup_{X \in \tilde{A}} E_Q[-X] = \inf_{\lambda > 0} (x_0 + E[\ell(\lambda \varphi)]) + a.

Här har vi använt det faktum att Fenchel–Legendre-transformen $\tilde{\ell}^*$ av $\tilde{\ell}$ uppfyller $\tilde{\ell}^*(z) = \ell^*(z) + az$ . Tillsammans med (4.115) bevisar detta att reduktionen till fallet $x_0 > \ell(0)$ är verkligen motiverad.

För varje $\lambda > 0$ och $X \in A$ ger (4.111) att

-E[X\varphi] \leq \lambda(-X)(\lambda \varphi) \leq \lambda(\ell(-X^*) + \ell(\lambda \varphi)).

Därmed, för varje $\lambda > 0$ , får vi

\min \alpha(Q) \leq \sup_{X \in A} \left(E[\ell(-X)] + E[\ell(\lambda \varphi)]\right).

Så det återstår att bevisa att $\min \alpha(Q) \geq \inf_{\lambda > 0} (x_0 + E[\ell(\lambda \varphi)])$ om $\alpha(Q) < \infty$ .

För att göra detta behövs vissa extra antaganden om $\ell$ , dess Fenchel–Legendre-transform $\ell^*$ , och den högra derivatan $J$ av $\ell^*$ . Bland annat måste $\ell$ uppnå sitt infimum, $\ell^*$ måste vara ändlig på $(0, \infty)$ , och $J$ måste vara kontinuerlig på $(0, \infty)$ . Dessa antaganden leder till att

\lim_{z \to 0} \ell(J(z)) - x_0 \leq \lim_{z \to 0} (\ell(J(z)) + \ell(z)) = 0.

Därmed visar kontinuiteten av $J$ och de angivna lemman att för alla tillräckligt stora $n$ finns det ett $\lambda_n > 0$ sådant att

E[\ell(J(\lambda_n \varphi)1_{\{\varphi \leq n\}})] = x_0.

Definiera nu $X_n := -J(\lambda_n \varphi)1_{\{\varphi \leq n\}}$ . Då är $X_n$ begränsad och tillhör $A$ . Därför får vi från (4.111) att

\min \alpha(Q) \geq E_Q[-X_n] = \lambda_n E_Q[\ell(-X_n) + \ell(\lambda_n \varphi)].

Detta leder till den slutgiltiga slutsatsen att

\min \alpha(Q) \geq \liminf_{n \to \infty} \left(x_0 - \ell(0) \cdot P[\varphi > n] + E[\ell(\lambda_n \varphi)1_{\{\varphi \leq n\}}]\right).

Genom att använda Fatou's lemma kan vi nu säga att

\min \alpha(Q) \geq \liminf_{n \to \infty} \left(x_0 + E[\ell(\lambda_\infty \varphi)]\right),

vilket bevisar påståendet.

För att sammanfatta är det viktigt att förstå att när vi arbetar med utility-baserade riskmått handlar det inte bara om att hantera konvexa förlustfunktioner, utan också om att säkerställa att dessa funktioner uppfyller specifika egenskaper som kontinuitet och minimiuppfyllelse under förändrade parametrar. Den praktiska betydelsen av dessa resultat handlar om hur man kan använda optimering och riskmätning för att förstå och kontrollera risker i finansiella modeller på ett systematiskt sätt.

Hur man läser virkbeskrivningar och behärskar grundläggande tekniker för nybörjare
Varför är inte fler företag implementerande fyra dagars arbetsvecka, trots de tydliga fördelarna?
Hur uppstod och utvecklades tidiga teknologier och samhällsinnovationer i forntiden?
Hur man förbereder marinerat nötkött och ägg, okonomiyaki och gyoza från grunden
Hur Desinformation och Propaganda Påverkar Demokratiska Debatter och Beslutsfattande