För att analysera skalförändringen i (4.5), där fif_i är definierat som i (4.4), noterar vi att för alla ii, åtminstone för stora ∣v∣|v|, fi(v)≈∣v∣hf_i(v) \approx |v|^h, där hh är definierad i (4.13). Detta ger oss ett viktigt resultat för problemet definierat i (4.4)–(4.5). Lokalt i rummet och för stora ∣v∣|v|, får vi samma skalförändring som för den motsvarande stokastiska partiella differentialekvationen (SPDE) för den skalära okända funktionen uu:

∑du−udt=∣u∣hdt+αcdνθk(ak,α⋅∇)u∘dWt,u(0)=u0,\sum d u - u dt = |u|^h dt + \sqrt{\alpha} c d\nu \theta_k (a_k, \alpha \cdot \nabla) u \circ d W_t, \quad u(0) = u_0,

där ak,αa_k, \alpha är som definierat i (4.8). Genom att resonera som i [4, Subavsnitt 5.2.2] eller [6, Subavsnitt 1.4] kan man kontrollera att lösningar till (4.5) är (lokalt) invarianta under mappningen u→λ1/(h−1)u(λ⋅,λ1/2⋅)u \rightarrow \lambda^{1/(h-1)} u(\lambda \cdot, \lambda^{1/2} \cdot), där λ>0\lambda > 0. Vi betonar att sådan invarians också gäller i närvaro av transportbuller.

Ett rum (av initialdata) sägs vara kritiskt (i PDE-sammanhang) för (4.31) om det är (lokalt) invariabelt under den inducerade mappningen på initialdata, det vill säga u0→λ1/(h−1)λ1/2u0(λ⋅)u_0 \rightarrow \lambda^{1/(h-1)} \lambda^{1/2} u_0(\lambda \cdot). Ett exempel på sådana rum är Bessel-potentialrummet Hq,h−1(Rd)H^{q, h-1}(\mathbb{R}^d) för q∈(1,∞)q \in (1, \infty). Den homogena versionen av detta rum uppfyller för alla q∈(1,∞)q \in (1, \infty):

∥u0(λ)∥Hq,h−1≈∥u0∥Hq,h−1.\| u_0(\lambda) \|_{H^{q, h-1}} \approx \| u_0 \|_{H^{q, h-1}}.

Detta gör att vi kan förstå den "kritiska slättheten" för att uppnå starka lösningar (dvs. lokal välställdhet) för RDE:erna (4.5). Dessa kritiska rum har Sobolev-index −2h−1-2h - 1, vilket är oberoende av qq. Detta värde särskiljer mellan rum som har "mindre", "mer" eller "kritisk" slätthet för att vara starka lösningar till (4.5).

Det är också viktigt att förstå att med hänsyn till den parabolisk skalförändringen, rummet Lr(0,T;Hs,q(Rd))L_r(0, T; H^{s, q}(\mathbb{R}^d)) har Sobolev-index −2+s−d-2 + s - d och det är sub-, super- eller kritiskt om −2+s−d-2 + s - d är större, mindre eller lika med −2rh−1-2r h^{ -1}. För ett Sobolev-rum Hs,q(Rd)H^{s, q}(\mathbb{R}^d) är Sobolev-indexet givet av s−d/qs - d/q.

Den ovanstående diskussionen antyder att en avkortning av icke-linjäriteten i (4.5) (se (4.25)) för att vara användbar i kontexten av starka lösningar till (4.5) måste göras i ett rum med Sobolev-index −2+s−d>−2-2 + s - d > -2. Detta utesluter det kritiska fallet (dvs. r=qr = q) eftersom vi redan förväntar oss en skalförändring i (c) som diskuterades i kapitel 4.3.2.1, där viss regularitet går förlorad för att uppnå kompakthet. Om vi tillåter likheten −2+s−d=rq−2-2 + s - d = r q - 2, kan kompakthetsargumentet inte tillämpas samtidigt som vi fortfarande befinner oss i ett rum med Sobolev-index ≥−2h−1\geq -2h^{ -1}, vilket är nödvändigt för starka lösningar.

Vid detta stadium är det oklart varför vi bör välja s=0s = 0 och q=1q = 1 istället för att välja s>d/2−2h−1s > d/2 - 2 h^{ -1}, r=∞r = \infty och q=2q = 2, vilket skulle undvika behovet av Lp(Lq)L^p(L^q)-tekniker. Motivation för det tidigare valet ges i nästa avsnitt, där det är relaterat till regularitetsproblem som uppstår från skalförändringen i (c).

För de fysiskt relevanta fallen av (4.5), har man typiskt h≥3h \geq 3 och d=3d = 3, och därför d/2−2h−1≥1/2d/2 - 2h^{ -1} \geq 1/2, om man insisterar på att undvika Lq(Rd)L^q(\mathbb{R}^d)-rum med q=2q = 2.

I sammanhanget av energi-metoder, för att hantera icke-linjäriteten fif_i i (4.5) med energi-metoder, måste man använda normen L∞(0,T;Hs)L^\infty(0, T; H^s) med s>d/2−2h−1s > d/2 - 2h^{ -1}. Enligt skalförändringen i (c), om vi ersätter Lr(0,T;Lq)L_r(0, T; L_q) med L∞(0,T;Hs)L^\infty(0, T; H^s), behöver vi en uniform uppskattning i L∞(0,T;Hs)L^\infty(0, T; H^s) för lösningar till (4.25) med θ=θn\theta = \theta_n. Denna metod är dömd att misslyckas på grund av bristen på uniform släthet som visas i (4.34). Därmed krävs en annan ansats för att hantera dessa stokastiska PDE:er med grova koefficienter, som Moser uppskattningar.

Vad är de stokastiska primitiva ekvationerna och hur skiljer de sig från de deterministiska?

De primitiva ekvationerna, som har sitt ursprung i Bjerknes tidiga arbete kring väderprognoser, är en förenklad version av Navier-Stokes ekvationerna, som används för att modellera vädersystem och andra geofysiska flöden. I sin ursprungliga form, kallas de även för hydrostatiska Navier-Stokes ekvationer, och de utgör en grundläggande uppsättning av liknelser för att beskriva vädrets dynamik. Den hydrostatiska approximationen innebär att vertikal hastighet hos en vätska antas bero på det yttre trycket, vilket förenklar modellens komplexitet. Denna metod, som introducerades i början av 1900-talet av Bjerknes, skapade grunden för meteorologi som en exakt vetenskap.

Men när man tillämpar dessa ekvationer i verkliga scenarier, där osäkerheter och externa störningar är vanliga, blir det nödvändigt att ta hänsyn till stokastiska faktorer, som ger ett mer realistiskt och dynamiskt synsätt på systemet. De stokastiska primitiva ekvationerna tar just denna aspekt i beaktande, genom att införa transportbrus och stokastiska randvillkor som skapar variation och fluktuationer i systemen. Dessa stokastiska effekter gör modellen mer flexibel och kapabel att hantera den osäkerhet som finns i exempelvis väderprognoser och andra geofysiska modeller.

För att förstå hur de stokastiska primitiva ekvationerna fungerar, är det viktigt att först förstå hur den deterministiska versionen ser ut. De deterministiska primitiva ekvationerna, som är en förenkling av Navier-Stokes ekvationerna för att kunna hantera komplexiteten hos väder- och atmosfärsflöden, kan lösas med hjälp av klassiska numeriska metoder. Dessa metoder har historiskt sett använts för att ge precisa och pålitliga simuleringar av väderförhållanden, särskilt i situationer där det inte finns mycket osäkerhet.

I den stokastiska versionen av de primitiva ekvationerna används ett antal tekniker för att beakta osäkerheten i systemet, som till exempel stokastiska maximi-Lp-regelmetoder. Dessa metoder gör det möjligt att analysera och lösa stokastiska differentialekvationer som inkluderar både transportbrus och stokastiska randvillkor. Transportbrus innebär att externa, slumpmässiga störningar, såsom vindar eller temperaturvariationer, påverkar systemet på ett sätt som inte kan förutses exakt. Stokastiska randvillkor, å andra sidan, tar hänsyn till att de yttre gränserna för systemet – såsom jordens yta eller atmosfärens gräns – också kan påverkas av osäkerhet.

Stokastiska primitiva ekvationer med transportbrus och stokastiska randvillkor är av särskilt intresse inom områden som meteorologi och oceanografi, där osäkerheter är vanliga och där det är avgörande att kunna göra förutsägelser trots dessa fluktuationer. Att förstå dessa modeller och hur man kan lösa dem är grundläggande för att utveckla mer robusta prognosverktyg som kan hantera komplexiteten och osäkerheten i verkliga system.

Därför är det också viktigt att inte bara förstå de grundläggande resultaten av denna forskning utan också de metoder som används för att lösa dessa stokastiska ekvationer. Många av de nuvarande tillvägagångssätten bygger på avancerade matematiska verktyg och numeriska tekniker, som ofta är bortom de klassiska metoderna för deterministiska system. Genom att kombinera olika matematiska tekniker kan man utveckla effektiva lösningar som inte bara är teoretiska utan också tillämpbara i praktiken.

Utöver att bara förstå ekvationernas struktur är det också avgörande att vara medveten om att de stokastiska primitiva ekvationerna är dynamiska och inte statiska. Detta innebär att de måste lösas iterativt med hjälp av moderna beräkningsmetoder, vilket gör att deras lösningar kan förändras över tid och i olika sammanhang. Detta skapar nya utmaningar för forskare och ingenjörer som arbetar med dessa modeller.

En annan viktig aspekt är att de stokastiska modellerna inte bara handlar om att lösa differentialekvationer. De handlar också om att förstå och hantera de osäkerheter som finns i systemet. Denna osäkerhet kan påverka både de initiala villkoren och de randvillkor som används för att definiera systemets dynamik. Genom att hantera dessa osäkerheter korrekt kan man få en bättre förståelse för hur systemen fungerar och förbättra precisionen i de simuleringar som görs.

Hur kan stötande krafter påverka de primitiva ekvationerna och turbulensbalansen?

De primitiva ekvationerna, som grundar sig på de kompressibla Navier–Stokes ekvationerna, spelar en central roll i förståelsen av dynamiken hos fluider, särskilt när det gäller strömmar som drivs av densitetsvariationer som till exempel i atmosfären och haven. Dessa ekvationer har traditionellt härletts genom Boussinesq- och hydrostatiska approximationer för att förenkla de komplexa beteendena hos dessa system under olika fysiska förhållanden. I den stötande versionen av dessa ekvationer uppstår ytterligare komplexitet, där turbulens och dess inverkan på flödet kräver noggrant övervägande.

I den klassiska, deterministiska framställningen av de primitiva ekvationerna används Boussinesq- och hydrostatiska approximationer för att härleda ekvationerna. Men för att förstå effekten av osäkerhet och turbulens måste vi gå bortom deterministiska antaganden. Genom att introducera stötande krafter och variationer i de termodynamiska variablerna, som temperatur och densitet, kan vi få en mer realistisk beskrivning av systemet.

En av de viktigaste förskjutningarna i dessa stötande modeller är införandet av ett så kallat "icke-isotermt turbulensbalans", där turbulens inte längre betraktas som enbart en funktion av konstanta egenskaper utan istället inkluderar en form av gradientstötande kraft. Detta skapar en stochastisk term som påverkar de horisontella rörelserna i flödet, vilket gör att nya komplexiteter i flödet blir möjliga att modellera. Till exempel, när vi ser på gradientstyrd turbulens med hjälp av en stötande term i de primitiva ekvationerna, kan det förutses att detta ger upphov till icke-linjära system, där osäkerhetens roll i turbulensen inte bara påverkar storleksordningen av flödet utan även dynamiken på mikroskala.

När vi går vidare till att använda en stötande Boussinesq-approximation, görs vissa antaganden för att förenkla de ursprungliga ekvationerna. Bland annat antas densiteten vara konstant, vilket gör att alla termer som involverar densitet i den ursprungliga ekvationen ersätts med ett stötande förhållande. Detta gör det möjligt att applicera klassiska tekniker för att förenkla flödesberäkningarna, men det inför också nya villkor som gör att ekvationerna fortfarande kan representera turbulenta strömmar.

För att ytterligare förfina dessa approximationer måste vi också ta hänsyn till hur olika skalor av rörelse, så kallade "storskaliga" och "småskaliga" rörelser, interagerar i det totala flödet. Denna tvåskala-ansats för att beskriva flödet gör att vi kan ta hänsyn till både småskaliga och storskaliga turbulenta effekter i den övergripande dynamiken. Detta är särskilt relevant när vi ser på vertikala och horisontella flödeskomponenter i fluiddynamiken, där olika typer av turbulens spelar olika roller beroende på vilken skala vi tittar på.

För att lösa dessa stötande primitiva ekvationer krävs a priori-bounds, vilket gör det möjligt att härleda starka lösningar för flöden i närvaro av turbulens och stötande krafter. Detta är fortfarande ett aktivt forskningsområde, och även om det finns framsteg, som i arbetet av Agresti, som ger hopp om att svagare inställningar kan leda till globala lösningar, är det tydligt att fullständig förståelse och lösningar för dessa system är långt ifrån triviala.

Vikten av att förstå dessa fenomen ligger i att stötande krafter och turbulens inte bara är störande faktorer i dynamiken, utan också centrala element som driver flödets komplexitet. För att till fullo förstå och förutsäga beteendet hos fluiddynamiska system krävs det att vi tar hänsyn till dessa stötande krafter och deras inverkan på hela systemet, från mikroskala till makroskala.

Slutligen, även om den deterministiska synen på de primitiva ekvationerna ger en användbar modell för att förstå flöden i stabila system, är den stötande varianten avgörande för att förutsäga och hantera osäkerheter i turbulenta, dynamiska miljöer. Detta tillvägagångssätt är särskilt viktigt när man försöker modellera komplexa vädermönster eller strömmar i havet, där både småskaliga och stora rörelser måste beaktas för att uppnå en realistisk och användbar simulering.

Hur derivieras de stokastiska sjöekvationerna och deras betydelse

För att härleda de stokastiska sjöekvationerna följer vi samma sekvens av approximationer som för de primitiva ekvationerna, genom att använda Lagrangian för de roterande grunda vattnets ekvationer för att få fram åtgärden för sjöekvationerna. För de stokastiska primitiva ekvationerna sätts Strouhal-talet lika med ett. För att härleda de stokastiska sjöekvationerna måste vi konfrontera Lagrange-multiplikatorn som tvingar rigid lock-kravet. Eftersom den ska sätta lösningen på en stokastisk partiell differentialekvation (SPDE) till ett deterministiskt profil, krävs det Lagrange-multiplikatorer som kan hantera denna stokastiska komponent. På samma sätt som för inkompressibilitetskravet i de primitiva ekvationerna, sätts här den totala trycket p∘dSt=p0dt+∑i=1∞pi∘dWi(t)p \circ dSt = p_0 dt + \sum_{i=1}^{\infty} p_i \circ dW_i(t).

Med denna Lagrangian (7.90) kan vi sätta upp åtgärden med det stela lock-kravet t^2^.Slake=1t2 RSWdt−⟨p,η−h⟩∘dS=2t:clake∘dSt\hat{t} \hat{2} .Slake = 1 t2 \, \mathrm{RSW} dt - \langle p, \eta - h \rangle \circ dS = 2 t : c_{\text{lake}} \circ dSt. Variationsderivatorna leder till att den stokastiska hastighetslikningen får formen:

dudt+(u⋅∇)u+fu⊥+1Fr2∇p0=0+∑i=1∞[(ξi⋅∇)u+(∇ξi)T⋅u]+1Roξi⊥+1Fr2∇pi∘dWi(t)\frac{du}{dt} + (u \cdot \nabla)u + f u^\perp + \frac{1}{\text{Fr}^2} \nabla p_0 = 0 + \sum_{i=1}^{\infty} \left[ \left( \xi_i \cdot \nabla \right) u + \left( \nabla \xi_i \right)^T \cdot u \right] + \frac{1}{\text{Ro}} \xi^\perp_i + \frac{1}{\text{Fr}^2} \nabla p_i \circ dW_i(t)

och kontinuitetsekvationen ger en bottenformtopografiviktad inkompressibilitetsvillkor:

∑i=1∞∇⋅(hu)dt+∇⋅(hξi)∘dWi(t)=0.\sum_{i=1}^{\infty} \nabla \cdot (h u) dt + \nabla \cdot (h \xi_i) \circ dW_i(t) = 0.

Tillsammans med randvillkoren ∑i=1∞u⋅n dt+ξi⋅n∘dWi(t)=0\sum_{i=1}^{\infty} u \cdot n \, dt + \xi_i \cdot n \circ dW_i(t) = 0, samt de elliptiska problem för att bestämma trycken 1Fr2∇⋅(h∇p0)=−∇⋅h(u⋅∇)u+1hfu⊥\frac{1}{\text{Fr}^2} \nabla \cdot (h \nabla p_0) = - \nabla \cdot h(u \cdot \nabla) u + \frac{1}{h} f u^\perp, har vi ett slutet system av ekvationer.

De stokastiska sjöekvationerna kan sedan reduceras till ett enklare system när vi tar bort rotationen genom att sätta f=0f = 0, vilket ger oss de stokastiska sjöekvationerna som:

∑i=1∞(dudt+(u⋅∇)u+∇p0dt+(ξi⋅∇)u+(∇ξi)T⋅u)+1Fr2∇pi dWi(t)=0,\sum_{i=1}^{\infty} \left( \frac{du}{dt} + (u \cdot \nabla) u + \nabla p_0 dt + \left( \xi_i \cdot \nabla \right) u + \left( \nabla \xi_i \right)^T \cdot u \right) + \frac{1}{\text{Fr}^2} \nabla p_i \, dW_i(t) = 0,

och inkompressibilitetsvillkoret:

∑i=1∞∇⋅(hu)dt+∇⋅(hξi)∘dWi(t)=0.\sum_{i=1}^{\infty} \nabla \cdot (h u) dt + \nabla \cdot (h \xi_i) \circ dW_i(t) = 0.

Med passande randvillkor och en lämplig initialvillkor kan man lösa de stokastiska sjöekvationerna, som har lokala lösningar i tiden, vilket bevisas av Crisan och Lang. Vidare ger den stokastiska versionen av Kelmins cirkulationsteorem att:

d(u⋅dx)=0,d \left( u \cdot dx \right) = 0,

vilket innebär att cirkulationen bevaras. Den potentiella virveln qq, definierad enligt (7.96), transporteras materiellt, vilket innebär att den uppfyller:

dq+(dχt⋅∇)q=0.dq + (d \chi_t \cdot \nabla) q = 0.

Detta följer direkt från att den potentiella virveln är en Lagrangianinvariant, och med hjälp av randvillkoren har man en oändlig familj av bevarande lagar:

C=∫(q)d2x,C = \int (q) d^2x,

där qq åtminstone är C2C^2.

För att få en bättre förståelse för dessa stokastiska sjöekvationer är det viktigt att tänka på deras fysiska relevans. Genom att inkludera stokastisk brus i modellerna via den stokastiska variationalprincipen bevaras de viktigaste geometriska bevarande lagarna, vilket gör dessa modeller användbara för att analysera lösningarnas beteende. Detta kan vara avgörande när man undersöker komplexa system där osäkerheter och variationer spelar en central roll, vilket är vanligt i många naturfenomen, som havsströmmar och atmosfärdynamik.

Hur notation och axiomer påverkar gruppteorins förståelse
Hur En Dröm Om Revolution Blev Till Aska: En Berättelse Om Förlorade Idealer
Hur man undviker vanliga misstag i PCB-design och förbättrar felsökning
Hur kan simuleringsprogramvara förbättra forskningen inom svärmrobotik?
Hur hanteras data och heterogenitet i IoT – vilka utmaningar kräver designval?