Vid denna tidpunkt kan vi ge en kort analys av metoder för multiplicativ dualsummabilitet. Man kan se att sekvensen vnv_n reduceras till sekvensen unu_n på följande sätt:

∏k=1∞vn=bln⁡yknk∏k=1∞∏j=1∞ln⁡(k)=b∏j=1∞ln⁡xjnj\prod_{k=1}^\infty v_n = b \ln y_k n_k \prod_{k=1}^\infty \prod_{j=1}^\infty \ln(k) = b \prod_{j=1}^\infty \ln x_j n_j
=aln⁡xjnj=un= a \ln x_j n_j = u_n

Här observerar vi att produktionen inte kan vändas, och därmed är metoderna A och B inte nödvändigtvis ekvivalenta. De partiella produkterna på höger sida av ekvationerna (1.52) och (1.53) är kopplade av relationen:

∏m∏k=1m(ln⁡yk aln⁡x ak)=aln⁡ymnm\prod_{m} \prod_{k=1}^m \left( \ln y_k \, a \ln x \, a k \right) = a \ln y_m n_m

För varje fast n∈N0n \in \mathbb{N}_0 gäller att om ett av produkterna på höger sida av (1.52) och (1.53) konvergerar för ett givet nn, så konvergerar den andra sidan om och endast om:

lim⁡m→∞aln⁡ymnm=zn\lim_{m \to \infty} a \ln y_m n_m = z_n

Om detta håller, får vi från (1.54) att un=vnznu_n = v_n z_n för alla nn. Följaktligen, om yny_n har en ∗*-gräns med någon av metoderna A och B, är det multiplicativt gränsbar med den andra metoden om och endast om lim⁡n→∞zn=α\lim_{n \to \infty} z_n = \alpha.

Metoderna A och B för sekvenserna unu_n och vnv_n är därmed multiplicativt gränsbara med varandra om och endast om α=1\alpha = 1. Om α≠1\alpha \neq 1, innebär detta att metoderna är inkonsekventa. Detta reflekterar en grundläggande egenskap av dessa metoder: deras gränser skiljer sig åt beroende på värdet av α\alpha.

En annan viktig aspekt av detta arbete är att det förlänger den icke-Newtonska kalkylen till en icke-Newtonsk reell kalkyl för att behandla reellvärda funktioner. Några av analogierna mellan (CC)(CC) och (NC)(NC) demonstreras genom teoretiska exempel. Bland de viktiga olikheterna som används i (NC)(NC) är den icke-Newtonska triangeln och Minkowskis olikhet. Dessa olikheter spelar en central roll i förståelsen och tillämpningen av icke-Newtonsk kalkyl.

Vidare härleds de klassiska sekvensrummen i termer av icke-Newtonsk kalkyl och försöker förstå deras struktur som icke-Newtonska vektorrum. I allmänhet handlar vårt arbete om vektorrum relaterade till fysik och datavetenskap. I många sammanhang kan en kombination av den klassiska kalkylen och icke-Newtonsk kalkyl förenkla analysen av komplicerade fenomen inom fysik, ingenjörsvetenskap, biologi och till och med ekonomi.

Nyligen har Talo och Başar undersökt vissa uppsättningar av sekvenser av suddiga tal och infört klassiska uppsättningar som ℓ∞(F)\ell_\infty(F), c(F)c(F), c0(F)c_0(F), och ℓp(F)\ell_p(F), som består av begränsade, konvergenta, noll och absolut p-summabla sekvenser av suddiga tal. I deras arbete definierades även α-, β- och γ-dualer av sekvenser av suddiga tal, och de gav en karaktärisering av klasser av oändliga matriser av suddiga tal som transformerar en klassisk uppsättning till en annan.

Den här typen av arbete med sekvenser av suddiga tal är en utgångspunkt för att vidareutveckla icke-Newtonsk kalkyl och dess tillämpningar på olika typer av problem, som exempelvis biologiska och finansiella problem. Genom att använda exponentiell kalkyl, som är en variant av icke-Newtonsk kalkyl, kan vi förenkla och analysera sådana fenomen på ett mer effektivt sätt.

Vidare är det värt att notera att metoder för att definiera α-, β- och γ-dualer för sekvenser av icke-Newtonska reella tal, och att undersöka matristransformationer mellan klassiska sekvensrum över den icke-Newtonska reella fältet R(N)R(N), kan ge ytterligare insikter i den struktur som sekvenser och funktioner i denna kalkylform besitter. Det är också möjligt att få liknande resultat genom att använda en annan typ av kalkyl än den icke-Newtonska kalkylen, vilket kan leda till nya sätt att förstå de underliggande matematiska strukturerna.

Således representerar de metoder som behandlas här en omfattande generalisering av klassiska kalkylmetoder och kan ha stor betydelse för framtida tillämpningar inom olika vetenskapliga och tekniska områden.

Hur definieras ∗-derivata och ∗-integral i icke-Newtoniansk kalkyl?

Inom ramen för icke-Newtoniansk kalkyl definieras ∗-derivatan och ∗-integralen för en funktion f på ett sätt som skiljer sig från de klassiska definitionerna. Här introduceras begrepp som ∗-gräns, ∗-medelvärde och ∗-integral, vilka möjliggör en mer allmän form av analys av funktioner och deras egenskaper över icke-standardiserade numeriska system.

En funktion f är ∗-deriverbar vid punkten a om gränsen:

(D∗f)(a)=lim⁡x→a[f(b)−f(a)][ι(b)−ι(a)](D^*f)(a) = \lim_{x \to a} \frac{[f(b) - f(a)]}{[\iota(b) - \iota(a)]}

existerar, där ∗-derivatan definieras genom en ∗-gräns. Om denna gräns finns, säger vi att f är ∗-deriverbar vid a, och värdet på derivatan är ett element i B. Detta innebär att ∗-derivatan ger oss ett mått på hur funktionen förändras vid en viss punkt, fast på ett mer allmänt sätt än i den klassiska kalkylen.

Det är viktigt att notera att den klassiska derivatan och den ∗-deriverade inte nödvändigtvis existerar samtidigt eller är lika. Men om vissa specifika gränser existerar, kan de klassiska och ∗-derivatorna koexistera och vara lika.

Den ∗-integral som definieras för en ∗-kontinuerlig funktion f på intervallet [a,b][a, b] ges av:

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nι(kn)×f(a1)+⋯+ι(kn)×f(an−1)\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \iota(k_n) \times f(a_1) + \cdots + \iota(k_n) \times f(a_{n-1})

där a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n är en α-partition av intervallet och knk_n är en specifik sekvens. Den ∗-integralen representerar ett viktat ∗-medelvärde och erbjuder ett sätt att summera funktionens värden på ett mer generaliserat sätt än den klassiska integralberäkningen. För en klassiskt kontinuerlig funktion och när β=I(x)=x\beta = I(x) = x, reduceras den ∗-integralen till en Stieltjes-integral.

En viktig egenskap är att ∗-derivatan och ∗-integralen är omvända relaterade enligt följande satser:

  1. Om f är ∗-kontinuerlig på intervallet [a,b][a, b] och g(x) = f för varje x i intervallet, då gäller D∗g=fD^*g = f på [a,b][a, b].

  2. Om D∗hD^*h är ∗-kontinuerlig på [a,b][a, b], då gäller:

∫abD∗h(x) dx=h(b)−h(a)\int_a^b D^*h(x) \, dx = h(b) - h(a)

Dessa relationer visar på den nära kopplingen mellan derivator och integraler i denna utvidgade kalkyl, där derivatan kan ses som en "vägledning" för att beräkna förändringen av funktioner över ett intervall.

För att koppla samman begreppen med den klassiska kalkylen definieras relationerna mellan de ∗-deriverade och klassiska derivatorna som följer:

Om f är en ∗-kontinuerlig funktion på intervallet [a,b][a, b], så är den ∗-medelvärde:

M^*_{a}^{b} f = \beta M_{a}^{b} f

och den ∗-integralen kan uttryckas som:

∫abf(x) dx=β∫abf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx = \beta \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Därmed kan vi se att den ∗-deriverade och den klassiska derivatan koexisterar, och om de existerar, är de relaterade genom en skalär multiplikation.

En annan viktig aspekt är definitionen av det så kallade ∗-komplexa talet. Ett ∗-komplex tal definieras som ett ordnat par z^* = (a^\dot, b^{\ddot}), där a^\dot \in A och b^{\ddot} \in B. De ∗-komplexa talen kan adderas och multipliceras enligt specifika regler, och avståndet mellan två ∗-punkter ges av en ∗-distans, som är definierad som:

d^*(z^*_1, z^*_2) = \sqrt{(a^\dot_1 - a^\dot_2)^2 + (b^{\ddot}_1 - b^{\ddot}_2)^2}

Denna ∗-distans introducerar en metrik för att mäta avståndet mellan två ∗-komplexa tal, vilket möjliggör analys av funktioner över ∗-komplexa tal. Vidare är C∗ ett fullständigt metrum, vilket innebär att alla Cauchy-sekvenser av ∗-komplexa tal konvergerar i C∗, och därmed är C∗ en Banachrum.

För att definiera funktioner över ∗-komplexa tal introduceras mängden av ∗-kontinuerliga funktioner C∗(Ω)C^*(\Omega) på en delmängd Ω⊂C∗\Omega \subset C^*, vilket bildar ett normerat rum med norm:

d∗(f,g)=max⁡z∈Ω∣f(z)−g(z)∣d^*(f, g) = \max_{z \in \Omega} |f(z) - g(z)|

Detta normerade rum är också ett metriskt rum, där avståndet mellan två funktioner ges av den maximala skillnaden mellan deras värden över Ω\Omega. Denna uppsättning av funktioner, C∗(Ω)C^*(\Omega), är också ett Banachrum, vilket innebär att det är komplett under den definierade metriska normen.

Det är också viktigt att förstå att de matematiska strukturerna som beskrivs här är fundamentalt annorlunda från de klassiska kalkyloperationerna. Genom att använda ∗-kalkyl kan vi behandla funktioner på ett mer allmänt sätt, vilket ger större flexibilitet för att lösa problem som inte kan hanteras med traditionell kalkyl.

Hur geometrisk kalkyl omdefinierar komplexa tal och sekvensrum

Geometrisk kalkyl, eller (GC), erbjuder ett alternativ till den klassiska Newtonianska kalkylen (CC) för att hantera problem inom olika matematiska och fysikaliska områden. Den grundläggande idén bakom denna metod är att använda exponentfunktionen exp⁡\exp som en generator för att definiera aritmetik över komplexa tal och reella tal. Detta ger upphov till en mängd nya strukturer, som geometriska tal, som skiljer sig från de traditionella talen i klassisk kalkyl.

En viktig definition i denna kontext är mängden R(G)R(G) av geometriska reella tal, där R(G):={ex:x∈R}R(G) := \{ e^x : x \in \mathbb{R} \}. Denna mängd är strikt positiv och utesluter noll, vilket innebär att de geometriska reella talen är alla exponenter av e för reella värden. På samma sätt definieras geometriska komplexa tal som C(G):=C∖{0}C(G) := C \setminus \{ 0 \}, där komplexa tal inte kan vara noll. För att representera dessa tal använder vi generatorn α(z)=ez\alpha(z) = e^z, där α−1(z)=ln⁡(z)\alpha^{ -1}(z) = \ln(z). Denna konstruktion gör att varje komplex tal får en unik geometrisk motsvarighet, vilket skapar en ny form av aritmetik där addition, subtraktion, multiplikation och division definieras på ett geometriskt sätt.

Till exempel, geometrisk addition av två tal zz och ww ges av z⊕w=e(ln⁡z+ln⁡w)=z⋅wz \oplus w = e^{(\ln z + \ln w)} = z \cdot w, vilket innebär att det motsvarar den klassiska multiplikationen i traditionell kalkyl. På samma sätt definieras geometrisk subtraktion, multiplikation och division enligt logaritmiska regler. Den geometriska kalkylen ersätter således de klassiska operationerna med logaritmiska motsvarigheter, vilket gör att alla operationer blir exponentiella i sin natur. Om α\alpha är den identiska funktionen, återgår operationerna till de klassiska aritmetiska reglerna.

En särskilt intressant aspekt av denna geometriska kalkyl är hur den hanterar noll och ett. I den geometriska världen är noll definierad som e0=1e^0 = 1, medan ett definieras som e1=ee^1 = e, där ee är den naturliga logaritmens bas. Detta innebär att de geometriska heltalen bildar mängden Z(G)={em:m∈Z}Z(G) = \{ e^m : m \in \mathbb{Z} \}, vilket skiljer sig från de klassiska heltalen Z\mathbb{Z} genom att noll inte är inkluderad i denna mängd.

Vidare kan den geometriska kalkylen även tillämpas på komplexa tal. Här definieras addition och multiplikation genom de geometriska operationerna på logaritmer: z⊕w=e(ln⁡z+ln⁡w)=z⋅wz \oplus w = e^{(\ln z + \ln w)} = z \cdot w, och z⊙w=e(ln⁡z⋅ln⁡w)=zln⁡wz \odot w = e^{(\ln z \cdot \ln w)} = z^{\ln w}. Dessa definitioner leder till nya insikter i komplexa funktioner och sekvenser när man tillämpar geometriska operationer, vilket särskilt är användbart när man studerar sekvensrum över komplexa tal.

För att vidare förstå geometrisk kalkyl är det nödvändigt att känna till flera fundamentala begrepp, som geometrisk absolutvärde och geometrisk rot. Geometriskt absolutvärde definieras som ∣z∣G=e∣x∣|z|_G = e^{|x|}, där xx är det komplexa talets logaritmiska representation. Geometriska rötter definieras genom exponentiation: Gx=eln⁡x2\sqrt{G} x = e^{\frac{\ln x}{2}}, vilket ger en formel för att hantera rötter på ett sätt som skiljer sig från klassisk algebra.