Hur lyfts kartor mellan grafar till inbäddningar?

För att förstå hur kartor mellan grafar lyfts till inbäddningar, måste vi först definiera vissa begrepp och etablera relationer som gör det möjligt att göra en sådan lyftning. Vi börjar med att betrakta relationen $x R y$ som gäller när ett par $(x, y)$ ligger i en viss mängd $s(|K(2) \sim |)$. Denna relation är antisymmetrisk och irreflexiv, vilket betyder att den endast behöver uppfylla egenskapen transitivitet för att vara en strikt ordning. Transitivitet innebär att om $x R y$ och $y R z$, så måste $x R z$. Denna egenskap kan uttryckas genom en mängd villkor av formen: $x R y \land y R z \rightarrow x R z$.

För att förstå denna process i mer detalj, överväger vi en boolean-formel $\varphi$, där $C$ betecknar mängden av sammanhängande komponenter av $|(2) K_f |$, och där involutionen $\tau$ på $|(2) K_f |$ inducerar en involution på $C$. Om vi antar att täckningsmappen $p_2$ är trivial, är denna involution fri från fixpunkter. Låt oss nu definiera variabler som är kopplade till varje element i en sådan orbit $O_i$, där varje $O_i$ består av ett element $C_i$ och dess involution $\tau(C_i)$.

För varje orbit $O_i$ associerar vi en variabel $x_i$ med $C_i$, och en negation $\neg x_i$ med $\tau(C_i)$. Detta innebär att varje sammanhängande komponent $C$ i $C$ kopplas till en booleanvariabel eller dess negation. Denna koppling kallas en literal och betecknas som $\alpha_C$.

För att representera relationsstrukturer som kan uppstå mellan dessa komponenter definieras en mängd ordnade tripplar $(C, D, E)$, där $C \neq E$ och $D \neq E$. Dessa tripplar motsvarar relationer mellan olika komponenter där det finns tre noder $a, b, c$ i $V(K)$ som uppfyller $(a, b) \in C$, $(b, c) \in D$, och $(a, c) \in E$. Formeln för $\varphi$ blir då $\land \land \varphi(x_1, \ldots, x_n) = ((\alpha_C \land \alpha_D) \rightarrow \alpha_E) = (\neg \alpha_C \lor \neg \alpha_D \lor \alpha_E)$ för alla tripplar $(C, D, E)$.

Det är viktigt att förstå att trots att vi kan omordna klausuler och variabler, är den enda källan till variation i formen av $\varphi$ valet av representanter för orbits $O_i$. När en klausul som $\neg \alpha_C \lor \neg \alpha_D \lor \alpha_E$ har lagts till, följer också klausulen $\alpha_C \lor \alpha_D \lor \neg \alpha_E$ från de definierade relationerna. Därmed är formen av $\varphi$ unik, förutom omordning av klausuler och variabler.

Lifting och inbäddning

En viktig sats i denna kontext är Theorem 16.4, som säger att om $f: K \to L$ är en icke-degenererad simplikartad karta, så kommer den motsvarande styckevisa linjära mappen $|f| : |K| \to |L|$ att lyftas till en inbäddning om och endast om följande villkor är uppfyllda:

1. Täckningsmappen $p_2 : |(2) K_f | \to |(2) K \sim_f |$ är trivial.

2. Formeln $\varphi$ är tillfredsställande (satisfiable).

Detta betyder att det finns ett bijektivt samband mellan de tilldelningar som gör $\varphi$ sann och isotopiklasser av lyftningar. Beviset bygger på att först anta att en lyftning $| \tilde{f} | : |K| \to |L| \times \mathbb{R}$ existerar, vilket innebär att $p_2$ är trivial. En kontinuerlig ekvivalent karta $H$ kan definieras mellan $|(2) K_f |$ och $S^2$, där kartan är konstant på de sammanhängande komponenterna av $|(2) K_f |$. Vi definierar variabeltilldelningar baserat på om $H(C_i) = \text{id}$ eller inte, och visar att detta resulterar i en tilldelning som uppfyller formeln $\varphi$.

Det omvända beviset, där vi börjar med en tilldelning som gör $\varphi$ sann, visar att en sådan tilldelning definierar en binär relation $R$ på $(2) V(K_f)$. Denna relation är antisymmetrisk, irreflexiv och transitiv, vilket gör den till en linjär ordning på mängder av noder i $V(K)$. En sådan ordning leder till en lyftning av $f$, som vi kan bevisa genom att använda Theorem 16.2.

Viktiga slutsatser och insikter

Det är viktigt att förstå att dessa resultat inte bara gäller simpliciala komplex utan också kan tillämpas på multigrafiska strukturer och homomorfier av sådana grafar. Även om teorin om lyftning i första hand behandlar simpliciala kartor, är de underliggande principerna överförbara till mer komplexa grafiska strukturer, vilket gör den här teorin flexibel och bred i sin tillämpning.

Exempel som Giller’s exempel, där en 2-sfär inte kan lyftas till en inbäddning i 3-dimensionellt rum, illustrerar de fall där vissa kartor inte kan lyftas till inbäddningar, trots att täckningsmappen är trivial. Det är här de komplexa relationerna mellan komponenterna i grafen spelar en avgörande roll för att avgöra om en lyftning är möjlig eller inte.

Vad är nödvändigt för att en karta mellan grafer ska kunna lyftas till en inbäddning?

Låt oss betrakta ett viktigt resultat i teorin om kartor mellan grafer och deras lyftning till inbäddningar. Vi börjar med att analysera ett exempel, vilket visar att stabiliteten hos kartor är en nödvändig förutsättning för att kunna lyfta en karta från en graf till en inbäddning. Exemplet 16.4 belyser detta när vi studerar en karta $f: G \to J$, där $G$ triangulerar cirkeln $S^1$. Detta exempel illustrerar att även om kartan $f$ är approximabel med inbäddningar, kan den inte lyftas till en inbäddning på grund av existensen av ett hinder i form av en 2-obstruktion. Hinder i sådana situationer uppstår när kartan inte kan "anpassas" utan att tvingas till en konflikt i sin struktur, vilket gör att den inte kan lyftas till en inbäddning i en högre dimension.

För att förstå detta i mer detaljerad form behöver vi tänka på ett viktigt begrepp, nämligen $Z_2$-approximabilitet. Definitionen av en $Z_2$-approximering innebär att för varje par av ej sammanlänkade kanter $e$ och $g$ i $G$, ska mängden $j(|e|) \cap j(|g|)$ vara ändlig och bestå av ett jämnt antal punkter. Denna egenskap är avgörande för att kartan ska vara approximabel av inbäddningar. Ett resultat av betydelse här är teoremet 16.8, som visar att om en karta är $Z_2$-approximabel, så är den också approximabel av inbäddningar. Detta innebär att kartan kan avbildas på ett sätt som inte bryter mot de strukturella reglerna för inbäddningar, vilket är en viktig egenskap för många tillämpningar i topologi och geometri.

För att förstå när en karta kan lyftas till en inbäddning krävs en fördjupad förståelse av de topologiska strukturerna bakom kartorna. När vi arbetar med grafer och deras inbäddningar på ytor, som i fallet med ett inbäddat graf $H$ i en yta $S$, måste vi vara medvetna om begreppet ko-homologi och de kochain som beskriver de strukturer som kan hindra ett lyft. Om en karta $f: G \to H$ är stabil och om $f$ är $Z_2$-approximabel, kan vi använda van Kampens obstruktion för att härleda villkor för existensen av ett lyft till en inbäddning. Van Kampens teori ger en metod för att avgöra om det finns ett hinder i form av obstruktioner i kartan som skulle förhindra lyftningen till en inbäddning.

Vidare, när vi arbetar med stabila kartor, finns det en viktig sats (Teorem 16.10) som förklarar sambandet mellan de två ko-homologiklasserna $wf$ och $vf$. Den säger att om $wf = 0$, så innebär det att kartan $f$ kan lyftas till en inbäddning. Om denna ko-homologi är noll, innebär det att inga obstruktioner hindrar lyftningen. Detta resultat är grundläggande för att förstå vilka kartor som kan omformas till inbäddningar i högre dimensioner.

En ytterligare aspekt som kan vara av intresse är studiet av inbäddningar av träd i segment och hur stabilitet och approximabilitet påverkar dessa inbäddningar. Träd är en särskild typ av graf där de enklaste strukturerna leder till de mest grundläggande topologiska frågorna om hur kartor kan lyftas eller approximera inbäddningar. För kartor från träd till segment krävs en särskild uppmärksamhet på hur dessa kartor fungerar när de sätts in i tvådimensionella ytor.

Det är också viktigt att förstå att en kartas stabilitet inte alltid garanterar att den kan lyftas till en inbäddning om inte alla nödvändiga topologiska förutsättningar är uppfyllda. Specifikt handlar det om att de nödvändiga ko-homologiska klasserna inte får vara noll, vilket säkerställer att inga hinder finns i kartans struktur som skulle förhindra dess lyftning.

Hur kan vi förstå och tillämpa topologiska begrepp som hemomorfism och inbäddning inom de generiska kartläggningarna?

En karta $f$ definieras som en funktion mellan två topologiska rum, där vissa topologiska strukturer bevaras, och de flesta användbara kartläggningarna är de som är hemomorfa. Hemomorfismen bevarar både öppna mängder och kontinuitet, vilket gör att vi kan behandla dessa topologiska objekt som om de vore lika i sina topologiska egenskaper, även om de inte nödvändigtvis är lika i andra aspekter, som geometrisk form eller storlek.

Det är värt att undersöka en mer teknisk beskrivning där vi arbetar med inbäddningar och hur olika typer av kartläggningar kan tolkas genom sådana begrepp. När vi pratar om en "inbäddning" i denna kontext menar vi en karta som är både kontinuerlig och som dessutom har en invers funktion som också är kontinuerlig, vilket innebär att topologiska egenskaper bevaras exakt och direkt.

När $f$ är en generisk funktion på ett rum $N$, där $f: N \rightarrow f^\circ$, säkerställer detta att $f$ ger en viss struktur, där varje punkt i $f^\circ$ är klart definierad och topologiskt representerad. Den största betydelsen av detta är att kartläggningen skapar en relation mellan elementen, vilket gör att vi kan utföra olika topologiska manipulationer och analysera rumens strukturer och förhållanden. Detta är centralt för att förstå hur dubbelpunkter och andra singulära egenskaper kan manipuleras utan att bryta den topologiska integriteten hos rummet.

Vid undersökning av två kopior av ett rum, säg $\pi^\circ$ och $\pi^\bullet$, som är hemomorfa, kommer vi fram till att de kan sammanfogas för att skapa en mer omfattande bild av topologin i det generiska fallet. Med $f$ som en generisk funktion på $N^\circ$, skapar vi en situation där de olika delarna av detta rum enkelt kan interagera och sammanflätas genom naturliga hemomorfiska relationer. Att förstå detta i termer av hur olika punkter i rummet kan agera tillsammans för att skapa ny topologisk struktur är fundamentalt.

Låt oss nu titta närmare på den mer konkreta aspekten av denna teori. När $f$ är generisk på $N^\circ$, innebär det att varje punkt i kartläggningen kommer att ha en viss kontinuitet med sina närliggande punkter. I synnerhet gör detta att vi kan påvisa att om vi har två olika element som $(x, y)$ och $(x, z)$ i kartläggningens bild, så kommer dessa att tillhöra samma topologiska struktur. Detta förenklar mycket när vi tittar på avbildningar och de matematiska manipulationer vi kan göra med dessa topologiska objekt.

En viktig observation här är att alla kartläggningar som genereras på detta sätt kommer att bevara ett "generiskt" förhållande mellan de olika elementen, vilket gör det möjligt att undvika eller lösa dubbla punkter och andra singulariteter som annars skulle kunna orsaka problem i kartläggningens struktur.

Det är viktigt att förstå att detta sätt att tänka kring kartläggningar inte bara handlar om abstrakta teoretiska konstruktioner, utan även om praktiska tillämpningar där sådana kartläggningar kan användas för att lösa problem relaterade till exempelvis inbäddningar av polyhedra, trianguleringar och relaterade strukturer inom den algebraiska topologin.

Vidare kan en noggrann analys av dessa kartläggningar avslöja dolda topologiska egenskaper som kan användas för att förutsäga eller beskriva hur rum förändras under vissa topologiska operationer. Här spelar också begreppen som lyft och perturbation en central roll, då de gör det möjligt att påverka dessa strukturer på ett kontrollerat sätt.

För att på djupet förstå de strukturella förändringarna i ett topologiskt rum, är det också avgörande att ta hänsyn till de operationer som görs på dessa rum. Till exempel, genom att betrakta en PL-homotopi, där man ändrar en funktion genom att kontinuerligt justera dess värden utan att bryta topologins struktur, får vi ett nytt perspektiv på hur förändringar i kartläggningar kan hanteras i praktiken. Detta kan vara särskilt användbart i tillämpningar där vi vill studera eller manipulera komplexa geometriska objekt utan att förlora viktiga topologiska egenskaper.

Således ger den generiska kartläggningen och inbäddningen oss kraftfulla verktyg för att förstå och hantera komplexa topologiska strukturer. Genom att förstå dessa begrepp på djupet, kan vi tillämpa dem för att lösa praktiska problem och fortsätta utveckla teorin bakom topologiska rum.