Svetsade knutar och länkar, som hör hemma i topologi och knotteori, är en fascinerande kategori av geometriska objekt där man studerar förändringar av förhållanden mellan trådar eller kurvor när de korsas och vrids. Dessa objekt beskrivs ofta i termer av Gaussdiagram och relaterade begrepp. En av de mest centrala idéerna för att förstå dessa objekt är konstruktionen av svetsade grafer, eller "w-graphs", som ger ett kraftfullt sätt att beskriva och manipulera dessa knutna och länkade strukturer.

I ett svetsat graf, eller w-graph, representeras varje kanter genom element från en fri grupp genererad av grafens hörn. Dessa kanter bär också etiketter, som är ord från denna grupp. Detta gör det möjligt att beskriva komplexa knutna strukturer där de exakta positionerna för varje pil eller knut inte är lika viktiga som deras relativa ordning och relationer till varandra. Pilen i en Gaussdiagram kan sammanfattas med sin huvudposition samt en etikett som anger vilket intervall på objektet (M) som pilens svans tillhör. Detta skapar ett system där ett nätverk av sådana pilar kan kopplas samman med hjälp av orienterade bågar och ord som beskriver deras ordning.

En viktig observation här är att det genom så kallade TC-moves (topologiska omvandlingsrörelser) är möjligt att reducera mängden av information som behövs för att beskriva ett svetsat objekt. I stället för att beskriva varje pil och dess exakta placering i detalj, kan man använda ett förenklat system av etiketter och symboler som beskriver förhållandet mellan olika delar av objektet. Detta gör att svetsade grafer blir en mycket effektivare representation för dessa komplexa strukturer.

Svetsade knutar, länkar, och stränglänkar är alla exempel på hur sådana begrepp kan tillämpas på olika typer av 1-dimensionella manifoldstrukturer. En svetsad knut motsvarar det fall där M är en enkel kopia av en cirkel (S1), medan svetsade länkar relaterar till facklänkar i en union av flera kopior av cirkeln. Stränglänkar är kopplade till unioner av flera disjunkta intervall, och svetsade knotoider, å andra sidan, behandlar de kvotade versionerna av stränglänkar där man kan skapa eller ta bort pilar vid vissa positioner.

För att föra vidare denna konceptuella modell till ett grafiskt ramverk, kan vi använda en w-graph för att representera dessa strukturer. En w-graph består av hörn och kanter, där varje kant är dekorerad med ett ord från en fri grupp baserat på grafens hörn. De markeringar som finns på dessa hörn representerar fasta och fria ändpunkter av de knutna objekten, och grafen kan manipuleras med hjälp av olika typer av rörelser, som kontraktion, orienteringsvändning, stabilisering och Reidemeister-rörelser.

En av de mest intressanta egenskaperna hos svetsade grafer är att de ger ett effektivt sätt att arbeta med topologiska förändringar och knutna strukturer utan att behöva hantera alla de geometriska detaljerna som annars skulle vara nödvändiga. Genom att använda olika rörelser som kontraktion och stabilisering kan man förenkla och transformera dessa grafer utan att förlora den väsentliga informationen om de topologiska relationerna mellan de involverade elementen. Detta gör det möjligt att studera svetsade knutar och länkar på en mer abstrakt nivå, vilket kan vara särskilt användbart inom områden som knotteori och topologi.

Det är också viktigt att förstå att svetsade grafer är nära kopplade till andra typer av knutna och länkade strukturer, såsom stränglänkar och svetsade länkar. Dessa kan kartläggas till svetsade grafer av olika typer, beroende på deras topologiska egenskaper, vilket gör det möjligt att översätta mellan olika representationer av knutna och länkade objekt. Genom att använda svetsade grafer kan man på ett mer systematiskt sätt undersöka dessa objekt och deras relationer, vilket ger en starkare verktygslåda för att hantera problem inom knotteori och topologi.

För den intresserade läsaren, som vill förstå djupare de teoretiska och praktiska tillämpningarna av svetsade grafer, kan det vara användbart att bekanta sig med olika typer av rörelser som kan appliceras på w-graphs, såsom kontraktion och stabilisering. Dessa rörelser hjälper till att utveckla en bättre förståelse för hur topologiska transformationer fungerar och hur man kan använda dessa för att förenkla och analysera komplexa knutna strukturer.

Hur utvecklades teorin om fyrdimensionella mångfalder och dess koppling till fysik och topologi?

I slutet av 1959 uppstod en betydande teorem från de misslyckade försöken kring Poincaréhypotesen: det finns en kompakt fyrdimensionell mångfald M4, slät och kontraktibel, vars rand ∂M4 inte är enkelt sammanhängande, det vill säga π1(∂M4) ≠ 0. Detta innebär att M4 inte är en fyrdimensionell boll B4, men att M4 × I är diffeomorf med B5, en femdimensionell boll. Ett av många viktiga följdresultat är existensen av en slät involution på Sfären S4, där fixpunktsmängden är en tredimensionell homologisfär som inte är enkelt sammanhängande. Dessa insikter ledde till en djupare förståelse av hur högre dimensionella mångfalder kan ha mycket mer komplexa egenskaper än väntat.

Under denna period utvecklade jag, med stöd av framstående matematiker som Jean Leray och Georges de Rham, denna forskning som publicerades i Frankrike. Samtidigt upptäckte Barry Mazur oberoende samma resultat, vilket idag ofta refereras till som Mazur-Poénaru-teoremet. Resultatet fick ett brett genomslag och öppnade nya vägar inom topologin. Genom dessa studier och relaterade arbeten kunde jag också visa mer avancerade satser, exempelvis om hur homotopibollar i tre dimensioner, när de multipliceras med tvådimensionella bollar och kopplas samman med produktmångfalder av sfärer och bollar, kan beskrivas med femdimensionella konstruktioner. Dessa resultat förebådade svårare teorem inom fyrdimensionell topologi.

År 1962 inbjöds jag att presentera detta arbete vid det internationella matematikerkongressen i Stockholm, vilket markerade en viktig vändpunkt då jag kunde lämna Rumänien och fortsätta min forskning i Frankrike. Under min tid i Paris, med handledning av Charles Ehresmann, färdigställde jag min doktorsavhandling som koncentrerade sig på dessa banbrytande topologiska resultat. Parallellt utvecklade jag teorier om immersioner, där jag tog ett avgörande steg från immersioner med positiv kodimension till kodimension noll. Detta samarbete, bland annat med André Haefliger, har gett teorin om immersioner en fast form och har haft långtgående konsekvenser inom såväl PL-topologi som differentialtopologi.

Efter flytten till USA fortsatte jag att arbeta på Poincaréhypotesen, men de flera försök som inte ledde till fullständiga lösningar gjorde att jag under två decennier valde att arbeta i stort sett tyst kring ämnet. Under denna tid vid Harvard och IAS Princeton utvecklade jag också teorin om singulariteter i närvaro av symmetrier från kompakta Liegrupper, vilket har kopplingar till strukturell stabilitet och versal utveckling. Denna teori har bidragit till en djupare förståelse av C∞-singulariteter och deras beteende under symmetrier, och presenteras utförligt i en monografi.

På 1970-talet expanderade mitt intresse mot fysik, särskilt inom symmetribrott i kvantfältteori. Genom kontakter med fysiker som Louis Michel, Maurice Kleman och Gérard Toulouse började jag undersöka hur homotopigrupper kan klassificera defekter i kondenserade materiens system. Vi visade att den algebraiska strukturen hos homotopigrupper påverkar dynamiken hos defekter, särskilt att vissa defektlinjer inte kan korsas på grund av icke-kommutativiteten i den fundamentala gruppen av ordningsparameterns rum. Dessa teorier förklarade även experimentellt observerade fenomen som ”dubbelringar” i flytande kristaller, och utvidgades till högre dimensioner och samband med supersymmetri.

Samtidigt samarbetade jag med Albert Fathi och François Laudenbach kring William Thurstons teorem om ytföljder och diffeomorfismer, vilket ledde till viktiga bidrag till förståelsen av Teichmüllerrummet och dess kompaktifiering.

Inom kvantfältteorin drogs jag under slutet av 1970-talet till Geoff Chews ”topologiska bootstrap”-modell, där vi kombinerade topologiska metoder med fundamentala symmetrier i partikelfysik. Trots att samarbetet väckte kontrovers, var det en enorm inlärningsprocess för mig och gav upphov till nya matematiska problem som fortfarande utforskas.

Utöver de framlagda resultaten är det viktigt att inse att dessa teorier inte bara utgör abstrakta matematiska konstruktioner, utan har djup förbindelse med fysiska fenomen och symmetrier i naturen. Topologins roll i att beskriva och klassificera strukturer i flera dimensioner, samt dess tillämpningar i fysiken, exemplifierar den dynamiska interaktionen mellan matematik och vetenskap. Förståelsen av komplexiteten hos fyrdimensionella mångfalder och deras koppling till fysikaliska symmetrier är en grundpelare för modern matematik och teoretisk fysik.

Hur OMB:s politisering påverkade neutral kompetens under Trump-administrationen
Hur maskininlärning kan ersätta traditionell simulering för halvledare och materialforskning
Hur bildas dislokationer och vakuoler vid uppvärmning av Al/Ti/Al-laminat?