Hur man arbetar med polynom i flera obekanta och formella potensserier

För polynom över ett kropp K som har en grad ≤ n, finns ett viktigt resultat som kallas identitetssatsen för polynom. Om p och q är polynom i K, och de är lika för n + 1 distinkta värden a1, a2, ..., an+1 i K, så gäller att p = q. Detta följer från att skillnaden p − q är ett polynom vars grad är ≤ n och som har n + 1 nollor, vilket enligt en direkt följd från korollaren i teori 8.18 gör att p = q.

Ett ytterligare viktigt resultat är att om K är ett oändligt fält, då är en viss homomorfism injektiv. Detta innebär att om p och q är polynom i K[X] och p = q, då måste p(x) = q(x) för alla x ∈ K. Eftersom K är oändligt, följer p = q direkt från identitetssatsen.

När man går vidare till polynom i flera obekanta, såsom formella potensserier, sträcker sig dessa resultat över flera obekanta. Precis som i fallet med polynom i en obekant, definieras addition och multiplikation i R(Nm), en uppsättning funktioner från Nm till R. Här gör vi också en distinktion mellan formella potensserier och polynom i flera obekanta. En formell potensserie i m obekanta definieras som en serie där varje term är en funktion av flera variabler, men med en begränsad mängd icke-noll koefficienter.

Det är också viktigt att förstå att en polynom i flera obekanta kan ha olika grader beroende på kombinationen av exponenter i de obekanta. Gradens definition för ett polynom p = pαXα i m obekanta är given av den största summan av indexerna i den multi-index α, där pα är icke-noll. För att beskriva polynomet som homogent av grad k, måste alla termer som har en total grad som inte är lika med k vara lika med noll. Denna definition innebär att polynom som är av grad ≤ 0 kallas konstant, av grad 1 är linjära, och av grad 2 är kvadratiska.

För att analysera polynomens struktur ytterligare, definieras ett homogent polynom av grad k som ett polynom där alla termer med en grad som inte är lika med k saknas. I fallet med flera obekanta är det också relevant att förstå egenskaperna hos symmetriska polynom, som är invarianta under alla permutationer av de obekanta. Ett polynom p är symmetriskt om det förblir oförändrat under någon permutation av de obekanta. Symmetriska polynom är viktiga eftersom de ofta dyker upp i algebraiska sammanhang, såsom vid lösning av ekvationer som involverar symmetriska relationer mellan variabler.

Vidare är det nödvändigt att förstå att ringar av polynom i flera obekanta inte bara består av polynom i en obekant utan även att de är en understruktur av formella potensserier. En viktig egenskap är att polynomringen över ett fält, som i det här fallet är K[X1, ..., Xm], är en delmängd av ringen av formella potensserier. För att förstå denna struktur är det viktigt att betrakta hur olika funktioner inom dessa ringar beter sig vid tillämpning på specifika x-värden. Detta innebär att ett polynom p ∈ K[X1, ..., Xm] kan utvärderas för specifika värden på x genom att sätta in värden i varje obekant. På så sätt kan polynom också ses som funktioner av flera variabler, vilket gör att de kan studeras ur ett funktionellt perspektiv.

Slutligen är en viktig aspekt som bör beaktas i denna kontext att alla dessa algebraiska strukturer – oavsett om det handlar om polynom, formella potensserier eller symmetriska polynom – är djupt sammanlänkade med de underliggande egenskaperna hos det kropp eller den ring som de är definierade över. För att till fullo förstå dessa begrepp är det avgörande att förstå de fundamentala reglerna för algebraiska operationer som addition och multiplikation, samt hur dessa operationer påverkar strukturen hos de algebraiska objekt vi arbetar med.

Vad är slutenhet, inre och gränser för mängder inom metriska rum?

Inom den metriska rumtopologin är begreppen slutenhet, inre och gräns centrala för att förstå strukturen och egenskaperna hos mängder. Dessa begrepp definieras och analyseras ofta genom relationer mellan mängder och deras anslutna egenskaper, såsom ackumuleringspunkter och öppna eller stängda delar.

För att ge en precis beskrivning av slutenheten i metriska rum kan vi formulera följande proposition: Om $A$ är en mängd i ett metriskt rum $X$, så gäller $A = cl(A)$. För att bevisa detta måste vi visa att varje punkt i $A$ också tillhör $cl(A)$ och vice versa. För det första, eftersom $cl(A)$ är en sluten mängd och innehåller alla ackumuleringspunkter för $A$, så är $A \subseteq cl(A)$. För det andra, om $x$ inte tillhör $A$, så finns det ett öppet område $U$ runt $x$ som inte korsar $A$, vilket innebär att $x$ inte är en ackumuleringspunkt av $A$ och därför måste $x$ tillhöra $cl(A)$.

En viktig konsekvens av detta resultat är att funktionen som tar varje mängd $A$ till dess slutenhet är både växande och idempotent, vilket betyder att tillämpningen av denna funktion två gånger inte förändrar resultatet.

Därmed, i likhet med slutenhet, är funktionen som tar varje mängd $A$ till dess inre också växande och idempotent. Det innebär att $Å$ är både den största öppna mängden som kan ingå i $A$ och den mängd som består av alla de inre punkterna i $A$.

De här begreppen spelar också en viktig roll i att förstå hur olika mängder förhåller sig till varandra. Om till exempel $A \subseteq B$, så gäller att $Å \subseteq B̊$, vilket innebär att mängdens inre är bevarat under delmängdsrelationen. Motsvarande resultat gäller för slutenheten, där $cl(A \cup B) = cl(A) \cup cl(B)$, vilket innebär att unionen av mängdernas slutenheter är lika med slutenheten av unionen.

Slutligen, dessa begrepp leder till förståelsen av topologiska rum där metriska rum utgör en specifik och viktig kategori. Här kan vi använda metriska egenskaper, som Hausdorffvillkoret, för att förstå hur distinkta punkter i ett rum alltid kan skiljas åt med hjälp av disjunkta omgivningar. Denna egenskap är särskilt viktig för att studera rum där topologiska egenskaper som kontinuitet är väl definierade.