Hur Fouriertransformen påverkar deriverade funktioner och dess användning

Fouriertransformen är ett av de mest kraftfulla verktygen i analysen av funktioner och deras egenskaper, särskilt när det gäller att hantera derivator och operationer i frekvensdomänen. Genom att förstå hur den påverkar derivator och relaterade operationer kan vi dra nytta av dess struktur i olika matematiska och tillämpade sammanhang, inklusive signalbehandling och lösningar av differentialekvationer.

För att illustrera detta kan vi börja med att definiera vissa grundläggande begrepp. Anta att vi har en funktion $f$ som tillhör $GL_1$, vilket innebär att den är integrerbar. Om vi har en derivata $D^a f$, där $a \in \mathbb{N}^n$ är en multi-index, så har vi följande resultat från Fouriertransformen: om $f$ är en funktion som tillhör $L_1$ (den klass av integrerbara funktioner på $\mathbb{R}^n$), så gäller att dess derivata i frekvensdomänen kan uttryckas som:

Detta innebär att derivatan av $f$ i den vanliga (fysiska) domänen omvandlas till multiplikation med $(-i\xi)^a$ i frekvensdomänen, där $\xi$ är frekvensvariabeln. Detta resultat, som är en direkt konsekvens av Fouriertransformens egenskaper, visar på en fundamental koppling mellan derivator och multiplikation i frekvensdomänen. Denna egenskap är användbar för att lösa differentialekvationer genom att ta Fouriertransformen av både sidor av en ekvation, vilket ofta leder till enklare algebraiska uttryck som kan lösas mer direkt.

En annan intressant konsekvens av Fouriertransformen är den så kallade Riemann-Lebesgue lemma, som säger att för alla funktioner $f \in L_1$, dess Fouriertransformerade version $\hat{f}$ tenderar mot noll när $\xi$ går mot oändligheten:

Detta är en viktig egenskap som understryker att Fouriertransformen komprimerar information om $f$ till dess låga frekvenser och att högre frekvenser (som är relaterade till högre detaljer i funktionen) bidrar mindre och mindre när vi tar Fouriertransformen. För praktiska ändamål innebär detta att vi kan approximera en funktion $f$ med hjälp av en ändlig mängd av dess lågfrekventa komponenter, vilket är grundläggande i många tillämpningar som signalbehandling.

För att sammanfatta de centrala användningarna och förståelserna av Fouriertransformen i samband med derivator och deras användningar:

• Fouriertransformen omvandlar derivator av funktioner till multiplikation med polynomiska uttryck i frekvensdomänen, vilket gör det lättare att hantera deriverade funktioner i denna domän.

• Riemann-Lebesgue lemma innebär att Fouriertransformen av integrerbara funktioner tenderar mot noll för stora frekvenser, vilket indikerar att högre frekvenser har mindre betydelse i den praktiska analysen.

• Genom att tillämpa Fouriertransformen på differentialekvationer kan man förenkla och lösa dessa ekvationer genom att arbeta i frekvensdomänen istället för i den fysiska domänen.

Denna förståelse av Fouriertransformen och dess effekter på deriverade funktioner ger oss ett kraftfullt verktyg för både teoretiska och tillämpade studier i många områden av matematik och fysik.

Hur gäller Stokes sats för mångfalder med singulariteter?

Antag att B är en sluten delmängd av M med ett icke-tomt inre. Då betecknar vi med MB mängden av alla p i B för vilka det finns en öppen omgivning Vp av p i M sådan att B C Vp är en m-dimensionell delmångfald av Vp. Då är MB en m-dimensionell delmångfald av M, stödjande mångfalden av B. Mängden SB := B \ MB kallas singularmängden av B och B är en m-dimensionell delmångfald av M med singulariteter. Det är uppenbart att SB är sluten i M. Gränsen av B, betecknad dB, är då gränsen av MB, det vill säga dB := dMB. Det är viktigt att inte förväxla dB med den topologiska gränsen, Rd(B), för B i M. Slutligen förser vi MB med den orientering som induceras kanoniskt av M.

Låt Hs vara ett s-dimensionellt Hausdorffmått på M (där M bär den metriska struktur som induceras från Rm). Då säger vi att singularmängden SB av B är tunn när den är ett Hm-1-null-set. I detta fall är B en mångfald med tunn singularmängd. Om vi endast kräver att mängden MB är en delmångfald av klass Ck för något k tillhörande N, kallas B naturligtvis en Ck-delmångfald av M med singulariteter. Här räcker det att M är en Ck-mångfald.

Exempel på sådana mångfalder är många. En m-dimensionell delmångfald av M som är topologiskt sluten i M – och därmed i synnerhet M självt – har en tunn (i själva verket tom) singularmängd. Om den Hausdorff-dimensionella mätningen av SB är 0, kan konen K(rB) vara en (m+1)-dimensionell delmångfald av Rm+1 med tunn singularmängd. Mer precist har vi att SK(rB) = {0} U K(SrB) U d(rB), och gränsen dK(rB) är den inre delen av rB förenad med ett visst set som beskriver spetsiga delar.

Ett viktigt bevis i denna kontext är att om dimH(dB) < m-1, så är SB en Hm-null mängd, vilket innebär att singularmängden är tunn. För att ytterligare förstå dessa koncept kan det vara till hjälp att överväga det praktiska tillämpningsområdet för sådana objekt, där dessa mångfalder med singulariteter ofta dyker upp i olika områden av geometri och fysik, där exempelvis konform geometri eller komplexa analyser spelar en central roll.

Stokes sats kan tillämpas på sådana mångfalder med singulariteter, vilket utvidgar den vanliga satsen till dessa mer komplexa objekt. Det finns dock vissa fall där singulariteterna måste behandlas med särskild omsorg, vilket innebär att de måste vara tillräckligt "tunna" för att inte störa integrationens giltighet. Detta betyder att även om singulariteter finns i objektet, kan de i vissa fall inte påverka resultatet av integrationen, vilket gör att Stokes sats fortfarande kan tillämpas effektivt även på dessa mer generaliserade mångfalder.