När vi undersöker frågor om konvergens och funktionella på rum av funktioner, är det avgörande att förstå de bakomliggande teorem och verktyg som styr dessa begrepp. Ett sådant verktyg är Birkhoffs ergodiska sats, som säger att om vi har en stationär Markovkedja och E[ψ(X1)]<∞E[\psi(X_1)] < \infty, så konvergerar den tidsgenomsnittliga summan av funktioner ψ(Xk)\psi(X_k) enligt formeln:

1n∑k=1nψ(Xk)→∫ψ dρ\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \psi(X_k) \to \int \psi \, d\rho

Här kan samma argument som i föregående bevis användas för att etablera svag konvergens för måttet ρn\rho_n. Detta är en naturlig förlängning av ergodiska teorier där konvergens av en tidsmedelvärde speglar långsiktig stabilitet i systemet.

Men om vi lämnar det erodiska ramverket och riktar oss mot mer algebraiska aspekter av funktionella analys, kommer vi till Riesz och Daniell-Stone teorem, som hjälper oss att koppla linjära funktionaler till integrering med avseende på lämpliga mått. Rieszs sats, till exempel, säger att om SS är en kompakt metriskt rum och II är en linjär funktional på C(S)C(S) som är icke-negativ i den meningen att f≥0f \geq 0 implicerar I(f)≥0I(f) \geq 0, så existerar det ett unikt positivt Borelmått μ\mu på SS sådant att:

I(f)=∫f dμfo¨r allaf∈C(S)I(f) = \int f \, d\mu \quad \text{för alla} \quad f \in C(S)

Denna resultat kan användas för att visa att funktionaler kan representeras som integraler, vilket är centralt för att förstå hur olika funktional- och måttrum är relaterade till varandra inom integrationsteori.

Daniell-Stone-teoremet går längre genom att ge ett sätt att representera linjära funktionaler på en Stone vektor-lattice av funktioner som integraler med avseende på ett sannolikhetsmått. Villkoren som måste uppfyllas för att detta ska gälla är ganska strikta, men de säkerställer att sådana funktionaler kan representeras genom integrering på ett mycket systematiskt sätt. Om ett funktional II på en Stone vektor-lattice LL uppfyller de angivna villkoren, existerar det ett unikt sannolikhetsmått μ\mu på det måttbara rummet (S,σ(L))(S, \sigma(L)) sådant att:

I(f)=∫f dμfo¨r allaf∈LI(f) = \int f \, d\mu \quad \text{för alla} \quad f \in L

Dessa teorem ger viktiga verktyg för att förstå hur man kan representera och arbeta med funktionaler i samband med olika typer av funktioner och mått, och de har stor betydelse inom den funktionella analysen och sannolikhetsteorin.

Vidare, när vi undersöker finit-additiva mängdfunktioner, ser vi att dessa ger ett alternativt sätt att representera positiva linjära funktionaler på det rum av måttbara funktioner som saknar de kontinuitetskrav som Daniell-Stone-teoremet ställer. En finit-additiv mängdfunktion är en funktion μ:F→R\mu: F \to \mathbb{R} som uppfyller att:

μ(⋃i=1nAi)=∑i=1nμ(Ai)fo¨r alla disjunkta ma¨ngder A1,…,An∈F\mu(\bigcup_{i=1}^{n} A_i) = \sum_{i=1}^{n} \mu(A_i) \quad \text{för alla disjunkta mängder} \ A_1, \dots, A_n \in F

För sådana funktioner definieras total variation ∥μ∥var\|\mu\|_{\text{var}} som det största möjliga värdet av summan av μ(Ai)\mu(A_i) för alla möjliga partitioner av Ω\Omega. Detta leder till en intressant koppling mellan finit-additiva mått och linjära funktionaler, vilket belyses i flera viktiga teorem.

Enligt Theorem G.21, definierar integraloperatorn ℓ(F)=∫F dμ\ell(F) = \int F \, d\mu en en-till-en-koppling mellan kontinuerliga linjära funktionaler på rummet av funktioner och finit-additiva mått, vilket innebär att varje linjär funktional kan associeras med ett finit-additivt mått. Detta fördjupar förståelsen av hur olika typer av funktioner och mått relaterar till varandra när man arbetar med integrationsteori.

För att förstå dessa teorier på djupet är det viktigt att komma ihåg att även om finit-additiva funktioner erbjuder ett sätt att generalisera klassiska måttteoretiska resultat, så saknar de vissa egenskaper hos σ-additiva mått, särskilt när det gäller att hantera oändliga summor av disjunkta mängder. Detta innebär att det i många fall krävs ytterligare restriktioner eller förtydliganden för att säkerställa att den resulterande teorin förbli hanterbar och korrekt.

Hur man definierar funktionella och deras egenskaper i osäkerhetsmått

För att studera funktionella och deras relationer till osäkerhet, tar vi utgångspunkt i den funktionella formen U(X)=φ(u(X))U(X) = \varphi(u(X)), där φ:X→R\varphi: X \to \mathbb{R} är en funktionell och uu är en strikt ökande funktion. I denna ram måste vi förstå hur osäkerhetsmått, som till exempel U~(X)\tilde{U}(X), relaterar till dessa funktionella och vilka egenskaper som kännetecknar deras beteende.

För att illustrera detta, låt oss börja med att definiera en funktionell φ\varphi som uppfyller tre grundläggande egenskaper:

  1. Monotonicitet: Om Y(ω)≥X(ω)Y(\omega) \geq X(\omega) för alla ω\omega, så måste det gälla att φ(Y)≥φ(X)\varphi(Y) \geq \varphi(X).

  2. Konkavitet: Om λ∈[0,1]\lambda \in [0,1], då gäller att φ(λX+(1−λ)Y)≥λφ(X)+(1−λ)φ(Y)\varphi(\lambda X + (1-\lambda)Y) \geq \lambda \varphi(X) + (1-\lambda) \varphi(Y).

  3. Kassainvarians: För alla z∈Rz \in \mathbb{R} ska φ(X+z)=φ(X)+z\varphi(X + z) = \varphi(X) + z.

Med dessa antaganden visar Proposition 2.87 att det finns en unik funktionell φ\varphi som uppfyller ovanstående krav, givet att uu har ett strikt ökande beteende och att funktionen uu definierar ett mätutrymme där u(X)u(X) är definierad. Vi har här med en funktionell som kan ses som ett riskmått, där egenskaperna monotonicitet, konkavitet och kassainvarians gör det möjligt att modellera ekonomiska beslut under osäkerhet.

Monotonicitet innebär att om vi har två alternativ där ett alternativ är strikt bättre än det andra för alla möjliga utfall ω\omega, så ska det också vara att det funktionella värdet på det bättre alternativet är större eller lika med värdet på det sämre alternativet. Detta är en grundläggande egenskap hos preferenser som speglar rationella beslutsfattande under osäkerhet.

Konkavitet innebär att ett medelvärde av två alternativ inte kan ge ett högre funktionellt värde än de individuella alternativen. Detta speglar ett beteende där en beslutsfattare föredrar att inte "blanda" risker för mycket, utan hellre håller sig till ett av de två alternativen, vilket kan ses som ett mått på riskaversion.

Kassainvarians säger att förändringar i absolut värde av ett alternativ inte ska påverka dess relativa värde under osäkerhet. Detta innebär att en ökning av ett alternativs värde med ett konstant belopp ska ha samma effekt på det funktionella som det ursprungliga alternativet. Detta säkerställer att funktionalen är konsistent i sin hantering av finansiella enheter och liknande situationer.

När vi har definierat denna funktionella φ\varphi på mängden XX där u(X)u(X) är strikt ökande, och när vi har visat att den har egenskaper som monotonicitet, kassainvarians och konkavitet, kommer vi till den intressanta insikten att denna funktionella också kan kallas ett konkav monetärt nytta funktionell. Här spelar termen "nytta" en central roll i att beskriva hur en individ värderar olika ekonomiska alternativ under osäkerhet.

Vidare ser vi att om uu har ett obegränsat intervall, det vill säga att u(R)=Ru(\mathbb{R}) = \mathbb{R}, kan vi definiera en representativ funktionell φ\varphi genom att använda en strikt ökad transformation av XX. När u(R)u(\mathbb{R}) inte är lika med hela R\mathbb{R}, kan man använda en separat argumentation för positiva eller negativa kvantiteter. Detta gör det möjligt att generalisera och utvidga φ\varphi för att inkludera alla typer av begränsade mätbara funktioner.

En viktig aspekt som ofta glöms bort när man arbetar med sådana funktionella är att de inte alltid kan definieras på hela mängden av mätbara funktioner utan kan behöva begränsas till ett underområde där de uppfyller de ovanstående egenskaperna. Här kommer också frågan om hur dessa funktionella kan representeras. Ett intressant resultat som kan härledas från Teorem 2.88 är att varje konkav monetär nytta funktionell kan representeras som en minimeringsproblematik över ett givet antal marginala sannolikhetsmått, vilket ger oss ett sätt att kvantifiera preferenser under osäkerhet i ekonomiska modeller.

Slutligen, genom att kombinera de teoretiska representationerna och egenskaperna av dessa funktionella kan vi börja förstå de underliggande principerna för beslut under osäkerhet. Det handlar inte bara om att definiera funktioner utan om att förstå hur dessa funktioner agerar under olika antaganden om osäkerhet, risk och preferenser. Denna förståelse är viktig för att kunna modellera ekonomiska system på ett sätt som är både realistiskt och matematiskt konsistent.

Hur prissätts ett contingent krav utan arbitrage?

En genomsnittlig strike call motsvarar ett contingent krav (Si + T − Si av), medan en genomsnittlig strike put betalar ut beloppet (Si + av − Si T). En genomsnittlig strike put kan användas för att säkra risken vid försäljning av en tillgång vid tidpunkt T som köptes vid successiva tidpunkter under perioden 𝕋. Ett annat exempel är barrieroptionen, vars payoff beror på om priset på den underliggande tillgången når en viss nivå innan förfallodagen. De flesta barrieroptioner är antingen knock-out eller knock-in alternativ. En knock-in option betalar endast ut om barriären B uppnås. Ett enkelt exempel är en digital option, Cdig, som ger en enhetsutbetalning om det maximala priset Si når ett givet övre barriärvärde B > Si0. Ett annat exempel är en down-and-in put med strikepris K och lägre barriär B̃ < Si0, som betalar ut Cput {(K − Si + T) om min Si B̃ 0 t ≤ , d&i := ≤t≤T { {0 annars. En knock-out barrieroption har en noll-utbetalning när priset på den underliggande tillgången når den förutbestämda barriären. Till exempel motsvarar en up-and-out call ett contingent krav där utbetalningen blir noll om aktiekursen träffar barriären B innan tidpunkt T. I det andra scenariot ges utbetalningen som (ST − K +). Down-and-out och up-and-in optioner definieras på motsvarande sätt.

Med hjälp av en lookback-option kan man handla den underliggande tillgången till det maximala eller minsta priset som inträffade under optionens livstid. En lookback call har utbetalningen SiT − min Sit ,0≤t≤T medan en lookback put motsvarar det contingent krav som ges av max Si 0 t − SiT.

Det diskonterade värdet av ett contingent krav C när man använder numérairen S0 ges av H C := S0. T. Vi kommer att kalla H det diskonterade europeiska kravet eller helt enkelt det diskonterade kravet förknippat med C. Under resten av denna text kommer ”H” att vara den generiska beteckningen för det diskonterade utfallet av alla typer av contingent krav.

Läsaren kan undra varför vi arbetar samtidigt med begreppen contingent krav och diskonterade krav. Från ett strikt matematiskt perspektiv skulle det inte innebära någon förlust av allmängiltighet att anta att numérairen är lika med ett. Faktum är att hela teorin som utvecklas i del II kan ses som en diskret-tids "stokastisk analys" för den d-dimensionella processen X = (X1, ..., Xd) och dess "stokastiska integraler" t ∑ ξk ⋅ (Xk − Xk−1) k=1 av förutsägbara d-dimensionella processer ξ. Men en del ekonomisk intuition skulle gå förlorad om vi begränsade diskussionen till denna nivå. Till exempel har vi redan sett den ekonomiska relevansen av det särskilda valet av numéraire, även om detta val kan vara irrelevant från matematikerens synvinkel. Som en kompromiss mellan matematikerens preferens för korthet och ekonomens oro för att hålla reda på ekonomiskt relevanta kvantiteter utvecklar vi matematiken på nivån av diskonterade priser, men vi kommer fortsätta att diskutera definitioner och resultat i termer av odiskonterade priser när det verkar lämpligt.

Från och med nu kommer vi att anta att vår marknadsmodell är arbitragefri eller, ekvivalent, att P ≠ 0.

Definitionen av ett attainable (replicerbart) contingent krav är att det finns en självfinansierande handelsstrategi ξ vars terminalportföljvärde sammanfaller med C, det vill säga C = ξT ⋅ ST P-a.s. Sådana strategier kallas replicerande strategier för C. Klart är att ett contingent krav C är attainable om och endast om det motsvarande diskonterade kravet H = C/S0T är av formen T H = ξT ⋅ XT = VT = V0 +∑ ξt ⋅ (Xt − Xt−1), t=1 för en självfinansierande handelsstrategi ξ = (ξ0, ξ) med värdeprocess V. Om detta gäller säger vi att det diskonterade kravet H är attainable, och vi kommer att kalla ξ en replicerande strategi för H.

Den överraskande slutsatsen som ges av följande teorem är att ett attainable diskonterat krav automatiskt är integrerbart i relation till varje ekvivalent martingal-mått. Dock kan integrerbarhet vara otillräcklig för ett attainable contingent krav innan diskontering.

Teorem 5.25. Ett attainable diskonterat krav H är integrerbart i relation till varje ekvivalent martingal-mått, det vill säga E∗[ H ] < ∞ för alla P∗ ∈ P. Dessutom gäller att för varje P∗ ∈ P är värdeprocessen för varje replicerande strategi Vt = E∗[ H | Ft ] P-a.s. för t = 0, ..., T. I synnerhet är V en icke-negativ P∗-martingal.

För att tillämpa detta på ett attainable contingent krav C före diskontering, säger Teorem 5.25 att ξ C t ⋅ St = S0t E∗[ H | Ft ], t = 0, ..., T , T 󵄨 t P-a.s. för alla P∗ ∈ P och för varje replicerande strategi ξ. I synnerhet är den initiala investeringen som krävs för att replikera C given av ξ C 1 ⋅ S0 = S00E∗[ S0 ].

När det gäller prissättning av ett contingent krav, överväg först ett diskonterat krav H som är attainable. Då kan den (diskonterade) initiala investeringen ξ1 ⋅ X0 = V0 = E∗[ H ] tolkas som det unika (diskonterade) "fair price" för H. I själva verket skulle ett annat pris för H skapa en arbitrage-möjlighet. Om till exempel H kan säljas vid tidpunkt 0 för ett pris π̃ som är högre än (5.17), skulle försäljning av H och köp av den replicerande portföljen ξ ge vinsten π̃ − ξ1 ⋅ X0 > 0 vid tidpunkt 0, även om det terminala portföljvärdet VT = ξT ⋅ XT är tillräckligt för att reglera kravet H vid förfall.

För att formaliera detta begrepp av ett "arbitrage-free price" för ett generellt diskonterat krav H, definieras det som ett realtal πH ≥ 0, som kallas ett arbitrage-fritt pris för ett diskonterat krav H, om det finns en anpassad stokastisk process Xd+1 sådan att Xd+1 0 = πH, Xd+1 t ≥ 0 för t = 1, ..., T − 1, och (5.18) Xd+1 T = H, och sådan att den utvidgade marknadsmodellen med prisprocessen (X0, X1, ..., Xd , Xd+1) är arbitrage-fri.

Det arbitrage-fria priset πH av ett diskonterat krav H är med andra ord ett pris vid vilket H kan handlas vid tidpunkt 0 utan att introducera arbitrage-möjligheter i marknadsmodellen: Om H säljs för πH, kan varken köpare eller säljare hitta en investeringsstrategi som både eliminerar all risk och ger en möjlighet att göra en positiv vinst.

Det finns ytterligare viktiga insikter som kan berikas i denna diskussion. Det är viktigt att förstå att medan matematiska modeller ofta förenklar marknaderna genom att bortse från faktorer som osäkerhet och likviditetsrisk, så kan de ekonomiska konsekvenserna vara långt mer komplexa än vad som först verkar. Modellen för "arbitrage-free" priser bygger på antagandet att marknaden är perfekt och utan friktioner. I verkligheten kan olika marknader reagera på olika sätt på externa chocker och förändringar i riskviljan.

Hur man odlar och transplanterar blommor för att de ska blomma i tid i Florida
Vad ligger bakom Trump-väljarnas stöd? En psykologisk och demografisk analys
Hur kvantmekaniska fenomen och Aharonov–Bohm-effekten påverkar egenskaperna hos kvantringar
Hur val och ekonomi formar våra liv och värderingar
Hur fungerar Trumps kommunikationsstrategi i media?