Hur uppnå en arbitragefri prissättning genom martingalmesurer och superhedgingstrategier med likvida optioner

För att förstå hur vi kan tillämpa martingalmesurer på ett marknadsutrymme och därigenom få en arbitragefri prissättning av tillgångar, är det avgörande att förstå flera teoretiska begrepp och deras relationer inom den finansiella matematikens ramverk. I detta avsnitt undersöker vi en modell utan a priori definierad sannolikhetsmått, där vi utgår från den fundamentala satsen om tillgångsprissättning. Vårt fokus ligger på att analysera martingalprissättningsregler och hur dessa kan appliceras på likvida optioner för att erhålla arbitragefria priser.

Låt oss först formulera ett viktigt resultat som kan ses som en version av den fundamentala satsen om tillgångsprissättning utan att vi behöver definiera ett a priori sannolikhetsmått $P$ . Antag att $X$ är en process som representerar priser på derivat och $\Phi$ en linjär prissättningsregel definierad på rummet av derivat $X$ . Det finns en samling av alla sannolikhetsmått $P^*$ på $(\Omega, F)$ som överensstämmer med $\Phi$ på $X$ . För varje sådant mått gäller att $E^*[(X_t - X_s) \mathbf{1}_A] = 0$ för $s < t$ och $A \in F_s$ . Detta innebär att $P^*$ är en martingalmått för processen $X$ .

Med detta som bakgrund presenterar vi nu ett centralt teorem som visar att under vissa antaganden existerar ett sådant mått $P^*$ som uppfyller Markov-egenskapen. För alla $0 \leq s \leq t \leq T$ och för varje begränsad mätbar funktion $f$ , gäller att:

E^* [ f(X_t) | F_s ] = E^* [ f(X_t) | X_s ].

Denna egenskap innebär att framtida värden för $X_t$ beror enbart på de nuvarande värdena $X_s$ och inte på hur processen har utvecklats tidigare.

För att härleda ett sådant resultat definieras en stokastisk kernel $Q_{t+1}$ som relaterar de olika fördelningarna $\mu_t$ och $\mu_{t+1}$ . Resultatet är att $P^*$ kan definieras som en produktmätning av de olika $\mu_t$ -måtten för varje $t$ . Det innebär att varje $P^*$ -mått leder till en korrekt prissättning av derivat, inklusive call-optioner.

Vidare, om vi begränsar oss till en enklare uppsättning av derivat, nämligen call-optioner med en specifik löptid $T$ , kan vi definiera det minskade rummet $X_T$ , som inkluderar de linjära spåren av konstantfunktioner, forward-kontrakt och call-optioner. De observerade marknadspriserna för dessa derivat beskrivs genom en ny linjär prissättningsregel $\Phi_T$ , som är begränsad av samma antaganden som tidigare. Det följer då att $P^\Phi_T$ är en icke-tom mängd av martingalmått som uppfyller den fundamentala satsen om tillgångsprissättning.

Som ett konkret exempel på hur dessa teoretiska principer kan användas, undersöker vi digitaloptioner, som ger en enhetlig avkastning om den underliggande tillgången når en viss barriär $B$ före eller vid tidpunkt $T$ . Här definieras $\tau_B$ som den första tidpunkten då $X_t$ når $B$ . Betalningen av den digitala optionen är då $1_{\{\tau_B \leq T\}}$ , det vill säga 1 om barriären nås före eller vid tidpunkt $T$ , och 0 annars.

För att prissätta en sådan option utan att direkt anta ett sannolikhetsmått, härleder vi ett övre gränsvärde för det arbitragefria priset på den digitala optionen genom att använda den linjära prissättningsregeln $\Phi_T$ . Priset kan uttryckas som en funktion av den observerade marknadsprissättningen av call-optioner för olika strike-priser $K$ , där:

\max E^*[H_{dig}] = \min_{P^* \in P^\Phi_T} \int_0^B \frac{C_T(K)}{B - K}.

Detta resultat ger oss ett sätt att härleda en övre gräns för det digitala optionens pris genom att jämföra det med prissättningen av andra likvida optioner. Notera att detta tillvägagångssätt inte kräver någon explicit definition av ett sannolikhetsmått från början, utan bygger enbart på den linjära prissättningen och martingalens egenskaper.

För att få ytterligare insikter om marknaden och prissättningen av derivat, är det viktigt att förstå hur dessa teoretiska principer appliceras på mer exotiska optioner och hur superhedgingstrategier kan användas för att skapa arbitragefria prissättningar för dessa. Superhedging handlar om att bygga en portfölj av tillgångar som kan täcka alla möjliga utfall för en given option, vilket innebär att vi kan härleda nedre och övre gränser för prissättningen av exotiska optioner som digitaloptioner, barriäroptioner och liknande.

Hur fungerar den universella portföljen för att maximera långsiktig tillväxt?

Antag att vi har en sekvens av prestationer, $Y_1, Y_2, \dots$ , och vi vill förstå hur man bäst investerar för att maximera den långsiktiga tillväxten. En naturlig fråga är: Kan man uppnå en bättre tillväxt än genom att använda en strategi med konstant ombalansering? Här svarar vi på detta genom att analysera två olika typer av portföljstrategier: en konstant ombalanserad strategi och en adaptiv strategi.

För att börja, låt oss definiera den optimala tillväxttakten i ett konstant ombalanserat portfölj. Om vi antar att prestationsvektorerna $Y_1, Y_2, \dots$ är oberoende och identiskt fördelade (i.i.d.), och att varje portföljstrategi är förutsägbar, visar vi i Teorem 12.10 att den asymptotiska tillväxttakten för en portfölj under en konstant ombalanserad strategi inte kan överstiga ett visst värde, som vi betecknar som $F^*(\mu)$ , där $\mu$ är den gemensamma fördelningen av prestationsvektorerna. Detta resultat innebär att ingen adaptiv portföljstrategi, som använder en förutsägbar strategi för att anpassa sig till marknadsförhållanden, kan uppnå en tillväxttakt som överstiger $F^*(\mu)$ om prestationsvektorerna är i.i.d.

För att illustrera detta närmare, tänk dig att vi har en portfölj $\pi_t$ , som förvaltas med en strategi där vikterna $\pi_t$ beror på historiska prestationer. Enligt Lemma 12.12 är värdet på en sådan portfölj en supermartingal i relation till den filtrering $F_t$ , vilket innebär att den förväntade tillväxten av portföljen vid varje tidpunkt inte kan vara större än den initiala tillväxten. Det betyder att när vi använder någon form av förutsägbar strategi för att dynamiskt ombalansera portföljen, kommer den maximala tillväxttakten att vara begränsad av $F^*(\mu)$ .

Detta leder oss till frågan om det finns några alternativa portföljstrategier som kan uppnå denna optimala tillväxt. Svaret kommer i form av den "universella portföljen", som kan ses som en adaptiv portföljstrategi. Den universella portföljen konstrueras genom att använda en viktad genomsnitt av alla möjliga ombalanserade portföljstrategier, där vikterna beror på den historiska prestationen för varje strategi.

Den universella portföljen definieras som en strategi där vikterna för varje möjligt portföljval beror på en fördelning $\nu$ på den $(d-1)$ -dimensionella standardsimplexen $\Delta$ . Formellt definieras portföljens värdeprocess $V_t$ som ett genomsnitt av värdena $V_t(\pi)$ för varje strategi $\pi$ , där varje strategi $\pi$ är en konstant ombalanserad strategi. Det visar sig att denna strategi, i många fall, asymptotiskt kommer att uppnå den optimala tillväxttakten $F^*(\mu)$ , vilket gör den universella portföljen till en effektiv strategi för långsiktig tillväxt.

Det viktiga att förstå här är att den universella portföljen inte är beroende av några specifika antaganden om fördelningen av prestationsvektorerna. Den är modellfri, vilket innebär att den kan tillämpas utan att behöva anta någon särskild sannolikhetsmodell för framtida prestationer. Detta gör den mycket flexibel och potentiellt effektiv under olika marknadsförhållanden.

Det är också värt att notera att medan den universella portföljstrategin i teorin kan uppnå den bästa möjliga tillväxttakten på lång sikt, innebär det inte att den alltid kommer att överträffa andra strategier på kort sikt. Under perioder med stor volatilitet eller oväntade marknadsrörelser kan portföljen tillfälligt prestera sämre än andra mer specialiserade strategier. Därför är det viktigt att förstå att långsiktig framgång bygger på att acceptera kortsiktiga fluktuationer och att portföljens prestanda på lång sikt är det som verkligen räknas.

Således, för att maximera tillväxten på lång sikt, är den universella portföljen ett kraftfullt verktyg. Dess förmåga att balansera mellan olika möjliga strategier gör den till ett robust val, även utan specifika förutsägelser om marknadens framtid.

Hur Robust Preference och Osäkerhet Kan Förstås Genom Förväntad Nyttomaximering

I en värld av finansiella beslut och riskhantering konfronteras vi ofta med osäkerhet snarare än risk. Detta innebär att vi inte kan basera våra beslut på förutbestämda sannolikheter utan istället måste beakta ett spektrum av möjliga scenarier och deras inverkan på våra beslut. För att hantera denna typ av osäkerhet introducerar vi ett ramverk för att definiera robusta preferenser som går utöver den traditionella modellen för förväntad nytta.

När vi betraktar tillgångar som funktioner som associerar verkliga utbetalningar till möjliga scenarier, arbetar vi med en uppsättning av funktioner, $X$ , som representerar alla möjliga payoffs under osäkra förhållanden. Vi förutsätter att dessa tillgångar inte är förknippade med en a priori sannolikhetsmått, vilket innebär att vi inte kan applicera den vanliga modellen av risk utan istället måste hantera osäkerhet. Ett preferensförhållande, $\succ$ , definieras över dessa tillgångar, och det naturliga antagandet är att detta förhållande är monotont: Om tillgången $Y$ ger högre utbetalningar än $X$ för alla möjliga scenarier, så föredras $Y$ framför $X$ .

Denna typ av preferensrelation kan representeras numeriskt genom den förväntade nyttomaximeringsprincipen. Enligt Savage’s teori om förväntad nytta, skulle en agent som accepterar en sådan representation använda en sannolikhetsfördelning $Q$ och en utilityfunktion $u$ för att beräkna den förväntade nyttan, där $U(X) = E[ u(X)]$ . Här är $Q$ en subjektiv sannolikhetsfördelning som representerar agentens syn på osäkerheten i de olika scenarierna. För varje sådan fördelning $Q$ existerar en utilityfunktion $u$ som garanterar en numerisk representation av preferenser.

Det är dock viktigt att förstå att denna subjektiva fördelning $Q$ kan skilja sig från en objektiv fördelning $P$ som kanske används i vissa ekonomiska modeller. Ett exempel på detta är om en agent, även om de accepterar att objektiva sannolikheter kan definieras genom en Lebesgue-mått på ett visst intervall, ändå kan ha en preferens där de betonar ogynnsamma scenarier mer än vad som skulle vara objektivt korrekt. Ett sådant förhållande innebär att agenten ersätter objektiva sannolikheter med en subjektiv fördelning $Q$ som betonar värdet av vissa resultat, vilket leder till en distorsion av den ursprungliga sannolikhetsfördelningen. Denna distorsion av sannolikheter kan påverka agentens preferenser över lotterier eller investeringar.

Denna subjektiva distorsion kan vara helt förenlig med observationer av ekonomiska beteenden som går emot traditionella förväntade nyttomodeller. Ett exempel på detta är det välkända Ellsberg-paradoxet. Om en person står inför valet mellan två urnor, där den ena urnan har en känd sannolikhet för att dra en röd boll och den andra urnan har en okänd sannolikhet, kommer många individer att föredra den urna där sannolikheten är känd. Detta val är inte förenligt med den förväntade nyttoteorin, eftersom agenten borde vara indifferent mellan urnorna, oavsett hur den okända sannolikheten för den andra urnan definieras. Detta visar på ett fundamental problem med att applicera en enskild subjektiv fördelning för att representera alla möjliga preferenser under osäkerhet.

För att lösa detta problem föreslår vi en mer robust version av den förväntade nyttoteorin, där vi inte bara använder en enda sannolikhetsfördelning $Q$ , utan istället en uppsättning av möjliga fördelningar. Detta innebär att agenten beaktar hela spektrumet av möjliga sannolikhetsmått och använder en worst-case-metod för att maximera den förväntade nyttan. Denna metod kallas för en "robust förväntad nytta"-modellen. Här betraktas varje preferensrelaterad funktion över möjliga tillgångar som ett minimumvärde över alla möjliga fördelningar från mängden $Q$ . Det innebär att den beslutande agenten agerar som om den värsta möjliga sannolikhetsfördelningen gäller, vilket skapar en mer robust och mindre känslig modell för osäkerhet.

Vidare, genom att utvidga denna ram till en ny uppsättning funktioner, $\tilde{X}$ , som representerar stochastiska kärnor snarare än fasta tillgångar, kan vi också inkludera situationer där agenten inte bara gör val baserade på konkreta utbetalningar utan också på sannolikhetsfördelningar (lotterier) som tillhandahåller mer komplexa riskbedömningar.

En sådan modell, där agenten överväger alla möjliga sannolikheter, tillåter en mer sofistikerad förståelse av riskaversion och preferenser över osäkra resultat. För att verkligen förstå hur dessa preferenser fungerar under osäkerhet, måste vi erkänna att den subjektiva synen på sannolikheter kan variera avsevärt beroende på individens psykologiska faktorer och omständigheter, vilket gör den robusta modellen förväntad nytta användbar i praktiska tillämpningar som exempelvis riskbedömning och finansiella beslut.

I praktiken innebär detta att agenten inte bara agerar på basen av en enkel förväntad nytta, utan med en metod som beaktar en hel mängd olika sannolikhetsmått, vilket gör det möjligt att bättre hantera osäkerhet och potentiella risker i beslut.

Hur reflektionsteorin används för att bestämma sannolikheter och priser för exotiska derivat

Reflektionsteorin är ett kraftfullt verktyg inom sannolikhetsteori och används här för att analysera sannolikheter i samband med dynamiska arbitrageproblem. Genom att definiera specifika mängder och koppla dem till sannolikheter som rör den maximala positionen av en enkel slumpvandring (random walk), får vi viktiga resultat som är nödvändiga för att bestämma priser för exotiska derivat.

Vi kan börja med att definiera mängden $A_{k,l}$ som består av alla $\omega \in \Omega$ för vilka $Z_T(\omega) = k - l$ och $M_T \geq k$ . Här definieras $M_T$ som den maximala positionen för den slumpmässiga vandringen vid tidpunkt $T$ , och $Z_T$ är värdet av vandringen vid samma tidpunkt. Reflektionsteorin visar att det finns en bijektion $\varphi$ mellan $A_{k,l}$ och mängden $\{M_T \geq k \text{ och } Z_T = k + l\}$ , vilket innebär att dessa två mängder har samma sannolikhet enligt en enhetlig sannolikhetsfördelning $\mathbb{P}$ .

Från denna bijektion får vi den första viktiga formeln för sannolikheten:

\mathbb{P}[M_T = k, Z_T = k - l] = \mathbb{P}[M_T \geq k, Z_T = k - l] - \mathbb{P}[M_T \geq k + 1, Z_T = k - l] \,.

Denna formel uttrycker förhållandet mellan sannolikheter för olika nivåer av den maximala positionen och vandringens värde. Med hjälp av denna ekvation kan vi vidare härleda relationer för andra sannolikheter som är relevanta för att beräkna priser för derivat som beror på maximalpositioner.

För att förstå dessa samband måste vi också beakta att sannolikheterna för $M_T \geq k$ och $Z_T = k + l$ ger oss en förståelse för hur olika barrierer påverkar priset på en finansiell derivat. Reflektionsteorin tillåter oss att bryta ner dessa sannolikheter till enklare termer, som kan användas för att beräkna priser för olika typer av optioner.

Ett intressant exempel är ett up-and-in call option (en typ av exotisk derivat) vars payoff definieras som $(S_T - K)^+$ , där $K$ är strike-priset och $B$ är barriären som måste överträdas för att optionen ska aktiveras. För att beräkna det arbitragefria priset för en sådan option, använder vi den reflekterade sannolikheten för att maximera den stokastiska processen och applicerar den på payoff-formeln för optionen. Detta leder till en formel som inkluderar förväntningar baserade på binomialfördelningen och reflekterade sannolikheter, vilket ger oss ett exakt pris utan arbitrage.

Liknande tillvägagångssätt kan användas för andra exotiska optioner, såsom up-and-out call optioner, där barriären fungerar som en gräns för att payoff ska utlösas. Genom att förstå relationerna mellan sannolikheter för de maximala positionerna $M_T$ och den faktiska positionen $Z_T$ kan vi härleda priser för dessa derivat.

Vidare innebär reflektionsteorin också att vi kan hantera olika typer av medelvärdes- och barriärer genom att använda reflekterade processer. Till exempel kan vi beräkna priser för lookback-optioner, där payoff beror på den maximala eller minsta positionen under en viss tidsperiod. Här används samma reflektionsteori för att omvandla de komplexa sannolikheterna för maxima eller minima till enklare termer, vilket gör det möjligt att beräkna det exakta priset för sådana optioner.

En annan viktig aspekt att förstå är hur sannolikheterna $\mathbb{P}[Z_T = k]$ och $\mathbb{P}[Z_T = k + 1]$ påverkar dessa beräkningar. Eftersom minst en av dessa sannolikheter alltid är noll för vissa $k$ , ger detta oss ytterligare insikter i hur olika barrierer och maximala positioner påverkar derivatens prissättning.

Genom att använda den reflekterande sannolikheten och binomialfördelningen kan vi beräkna priset för olika exotiska derivat, inklusive down-and-in put optioner och lookback call optioner. Beräkningen av dessa priser kräver att vi använder en sammansättning av tidigare härledda formler och sannolikhetsfördelningar som återspeglar marknadens dynamik.

Det är också viktigt att förstå att när vi arbetar med en martingalmått $P^*$ som definieras genom ett binomiskt ramverk, måste de reflekterade sannolikheterna justeras enligt detta mått. Detta innebär att de matematiska förhållandena mellan $M_T$ och $Z_T$ förändras när vi byter från en enhetlig sannolikhetsfördelning $\mathbb{P}$ till martingalmåttet $P^*$ .

Sammanfattningsvis är reflektionsteorin ett viktigt verktyg för att härleda sannolikheter och beräkna priser för exotiska derivat. Genom att använda denna teori kan vi effektivt hantera barrierer, maxima och minima inom den stokastiska processen och härleda exakta arbitragefria priser för olika typer av optioner.

Hur Black-Scholes-modellen och upp-och-in-optioner konvergerar mot varandra

I den här diskussionen behandlas hur en upp-och-in call-option, som är en typ av finansiell derivat, kan prissättas och hur man kan förstå den i relation till Black-Scholes-modellen, som är en grundläggande modell inom finansiell matematik. Specifikt fokuserar vi på hur dessa priser konvergerar när man går från en diskret modell, som exempelvis en binomialmodell, till den kontinuerliga modellen som Black-Scholes beskriver.

En upp-och-in call-option är en derivatprodukt som aktiveras när det underliggande tillgångens pris stiger över en viss barriär under en viss tidsperiod. Den här typen av option har en specifik payoff-struktur, som ges av uttrycket $C_{call}(T) = \max(S_T - K, 0)$ om $S_T \geq B$ , där $K$ är lösenpriset och $B$ är barriären som måste passeras för att optionen ska träda i kraft. Om barriären inte nås, får innehavaren ingen betalning.

För att närma oss prissättningen använder vi här ett approximativt tillvägagångssätt som baseras på binomialmodellen, närmare bestämt den CRR (Cox-Ross-Rubinstein) modellen, som är en diskret tidsmodell för optioner. Modellen använder parametrar som beskriver det underliggande tillgångspriset i varje tidssteg, och genom att analysera denna modell kan vi härleda ett uttryck för den förväntade betalningen på slutet av optionens löptid.

När vi applicerar detta på en upp-och-in option och tar gränsvärdet när antalet tidssteg går mot oändligheten, ser vi att de diskreta modellerna konvergerar mot Black-Scholes-priset. Förväntningarna som dyker upp i denna process kan explicit beräknas, då de följer en log-normalfördelning, vilket innebär att vi använder den stokastiska differentialekvationen för den geometriska Brownian motion som modellerar prisrörelserna på den underliggande tillgången. Denna process leder oss till att prissättningen för en upp-och-in call-option i det kontinuerliga fallet kan skrivas på samma sätt som den Black-Scholes-modellen, där den förväntade betalningen beror på att det underliggande tillgångens pris överstiger barriären vid löptidens slut.

Det är också viktigt att förstå att den här konvergensen inte är enbart en teoretisk förenkling. Den innebär att de diskreta modellerna faktiskt ger en mycket nära approximation av Black-Scholes-priset när antalet tidssteg är tillräckligt stort. En grundläggande förutsättning för detta är att de diskreta modellerna är arbitragefria, vilket innebär att det inte finns någon möjlighet till riskfri vinst i systemet. Vidare innebär det att det finns en unik martingalema, ett koncept från sannolikhetsteori, som säkerställer att priset på optionen förblir rättvist även i diskreta modeller.

Det är också av vikt att observera att när vi talar om prissättning av derivat i kontinuerlig tid, ställer vi oss inför problem som kan uppkomma om volatiliteten inte är konstant. Om volatiliteten är stokastisk, dvs. om den följer en process som också är beroende av tidsförloppet, blir marknaden ofullständig. Detta innebär att det inte längre finns någon fullständig hedgingstrategi, och problemen med prissättning och hedging återkommer på nytt i en kontinuerlig tidsram.

Därför måste modellerna justeras för att hantera dessa ofullständigheter. Detta kan göras genom att introducera mer komplexa stokastiska processer, såsom Poisson-processer eller Lévy-processer, där priserna rör sig diskontinuerligt. För sådana modeller kan det vara svårt eller till och med omöjligt att exakt replikera en given payoff, vilket innebär att vi inte kan skapa en perfekt hedge i traditionell mening.

Ytterligare en aspekt som är viktig att förstå i sammanhanget är att prissättningen av amerikanska optioner, till skillnad från de europeiska, kräver en annan syn på dynamik och beslut. För amerikanska optioner har köparen rätt att utnyttja optionen när som helst innan kontraktets löptid går ut. Detta medför att prissättningen måste ta hänsyn till optimering av tidpunkten för utnyttjande av optionen, vilket ofta innebär att lösningen blir ett optimeringsproblem för att hitta den bästa tiden att utöva optionen baserat på den information som är tillgänglig vid varje given tidpunkt.

I en fullständig marknad är denna optimala utnyttjandeprocess tillräcklig för att maximera köparens förväntade nytta. I en ofullständig marknad, där volatiliteten är stokastisk eller priserna kan hoppa, är det dock nödvändigt att använda stabila mätbara processer, såsom de som beskrivs med hjälp av Doob-dekompositionen, för att skapa rättvisa hedgingstrategier.

Hur påverkar moderna injektionssystem och turboladdare dieselmotorns prestanda?
Hur implementeras policies och löses problem i skolor: En detaljerad genomgång
Hur kan vi använda Mirror API för att serialisera objekt i Swift?