Hur påverkar axiom om valet och vektorbaser över rationella tal Lebesgue-måttet och mätbarhet i Rn\mathbb{R}^nRn?

Genom att betrakta mängder i $\mathbb{R}^n$ modulo delgruppen $\mathbb{Q}^n$ och använda axiom om valet, kan vi välja representanter ur varje koset för att skapa en uppsättning $R \subset \mathbb{R}^n$ . Denna konstruktion definieras genom en avbildning $p : \mathbb{R}^n / \mathbb{Q}^n \to \mathbb{R}^n$ som väljer ut en unik representant från varje koset, och avbildningens bildmängd är just $R$ .

En viktig egenskap hos denna konstruktion är att om två element $x, y \in R$ skiljer sig med ett element från $\mathbb{Q}^n$ , måste de vara identiska. Detta innebär att skillnadsmängden $(B - B) \cap \mathbb{Q}^n = \{0\}$ för varje delmängd $B \subseteq R$ . Denna egenskap används i ett teorem som säger att för varje Lebesgue-mätbar mängd $A$ med positivt mått finns en delmängd $B \subseteq A$ som inte är Lebesgue-mätbar. Genom att definiera $B = \{ b \in R : [b] \subseteq A \}$ , där $[b]$ är koseten som innehåller $b$ , visas att om $B$ vore mätbar, skulle dess mått vara noll. Men då skulle $A$ också ha mått noll, vilket strider mot antagandet om positivt mått.

Detta leder till insikten att Borel-Lebesgue-måttet på $\mathbb{R}^n$ inte är komplett, eftersom det finns mängder som inte är Borel-mätbara men som blir mätbara när man kompletterar måttet. Ett konkret exempel är avbildningen av Cantormängden genom Cantorfunktionen, där en mängd av mått noll transformeras till en mängd med positivt mått som innehåller icke-mätbara delmängder.

Vidare fördjupar sig resonemanget i sambandet mellan vektorrum över rationella tal $\mathbb{Q}$ och reella tal $\mathbb{R}$ . Varje vektorrum över ett fält har enligt Zorns lemma en bas, och $\mathbb{R}$ som vektorrum över $\mathbb{Q}$ har därmed en sådan bas. Om man tar en bas $B \subset \mathbb{R}$ och bortser från ett element $b_0$ , så bildar mängden $M = \mathrm{span}(B \setminus \{b_0\})$ en mängd som inte är Lebesgue-mätbar. Antagandet om att $M$ vore mätbar leder till en motsägelse med dess linjära oberoende, eftersom $M$ plus rationella multipler av $b_0$ täcker hela $\mathbb{R}$ .

Dessa resultat bygger på axiom om valet och visar att det är omöjligt att explicit konstruera icke-mätbara mängder utan detta axiom. Det framträder också en djup koppling mellan algebraiska strukturer (som baser över $\mathbb{Q}$ ) och analytiska egenskaper i måttteorin.

Det är avgörande att förstå att måttteori och mätbarhet inte bara handlar om längd, area eller volym, utan att det även finns underliggande algebraiska och logiska principer som styr vilka mängder som kan mätas. Kompletteringen av Lebesgue-måttet utvidgar dess tillämpning, men även då finns begränsningar i vilka mängder som kan få ett väldefinierat mått.

Att belysa hur axiom om valet är nödvändigt för att säkerställa existensen av vissa mängder och baser, visar på komplexiteten i att fullt ut beskriva reella talens struktur ur ett måttteoretiskt perspektiv. Det är också viktigt att notera att utan axiom om valet, är det inte möjligt att på samma sätt specificera icke-mätbara mängder, vilket har konsekvenser för både teori och praktik inom analys.

Hur Bochner-Lebesgue-integralen definieras och dess användning i analysen

Bochner-Lebesgue-integralen är en grundläggande konstruktion inom måttteori och funktionalanalys, och den spelar en central roll i teorin om integrerbara funktioner. Om $f \in L^1(X, \mathcal{P}, E)$ , där $X$ är ett mätt rum och $E$ är ett Banachrum, finns det en sekvens av L¹-Cauchy-funktioner $(f_n)$ , som konvergerar till $f$ i L¹-normen. Detta innebär att funktionen $f$ är L¹-integrerbar, vilket betyder att den Bochner-Lebesgue-integralen existerar och är väldefinierad.

För att visa detta, börja med att för varje $\varepsilon > 0$ välja en $N \in \mathbb{N}$ så att för alla $m, n \geq N$ , gäller att $\| f_m - f_n \|_1 < \varepsilon$ . Detta ger en L¹-Cauchy-sekvens i den underliggande rummet av funktioner, vilket leder till att $f$ är p-integrerbar, och därmed existerar integralen $\int_X f d\mathcal{P}$ .

Bochner-Lebesgue-integralen kan då definieras som den gräns som sekvensen $\{ f_n \}$ konvergerar till, och detta definieras som:

\int_X f d\mathcal{P} = \lim_{n \to \infty} \int_X f_n d\mathcal{P}.

Denna definition är särskilt viktig för funktioner som tar värden i ett Banachrum, där standardteorier för Lebesgue-integraler inte direkt gäller. För dessa funktioner är det centralt att säkerställa att funktionen inte bara är integrerbar i en strikt meningsfull mening, utan också att dess integral är väldefinierad och konvergent i den norm som definieras på Banachrummet.

Vidare, om $f \in L^1(X, \mathcal{P}, E)$ , finns det också en sekvens av enkla funktioner $(f_n)$ som konvergerar till $f$ nästan överallt, dvs. $f_n \to f$ $\mathcal{P}$ -nästan överallt. Detta innebär att $f$ kan approximera genom sekvenser av enklare funktioner, vilket underlättar beräkningen av integralen i praktiska tillämpningar.

För att förstå detta bättre, överväg sekvensen av funktioner $(f_n)$ som är definierade på mängder $A_n$ som konvergerar till den ursprungliga funktionen på mängden $X$ . Då gäller det att för varje $\varepsilon > 0$ , kan man hitta en $A_n$ sådan att mängden $A_n$ tillhör $\mathcal{A}$ och $\mathcal{P}(A_n) < \varepsilon$ , vilket gör att integralen över $A_n$ kan beräknas på ett kontrollerat sätt.

För att säkerställa att integralen är väldefinierad och korrekt, använder vi oss av Weierstrass kriterium för att visa att serien av funktioner konvergerar uniformt över $A_n$ . Detta gör att vi kan bevisa att Bochner-Lebesgue-integralen är oberoende av den specifika sekvensen $(f_n)$ , vilket garanterar att integralen är entydig.

En ytterligare viktig aspekt är att $L^1(X, \mathcal{P}, E)$ är ett Banachrum. Detta innebär att rummet av integrerbara funktioner är komplett med avseende på L¹-normen, vilket i sin tur gör att varje Cauchy-sekvens av funktioner i detta rum konvergerar till en funktion som också tillhör rummet $L^1$ . Detta säkerställer att de funktioner vi arbetar med är "bra" på det sätt att vi kan utföra operationer som integration och seriekonvergens utan att lämna det definierade rummet.

Det är också viktigt att förstå de elementära egenskaperna hos integraler inom L¹-rummet. Integralen är linjär, kontinuerlig och i fallet med $E = \mathbb{R}$ också monoton. Detta innebär att om vi har två funktioner $f$ och $g$ som tillhör $L^1(X, \mathcal{P}, E)$ , så gäller:

\int_X (f + g) d\mathcal{P} = \int_X f d\mathcal{P} + \int_X g d\mathcal{P},

och

\int_X \alpha f d\mathcal{P} = \alpha \int_X f d\mathcal{P},

för varje konstant $\alpha \in \mathbb{R}$ .

Dessa egenskaper gör att integralen är ett mycket användbart verktyg i olika tillämpningar inom funktionalanalys och sannolikhetsteori. Genom att arbeta med $L^1$ -rum och Bochner-Lebesgue-integralen kan vi formulera och lösa problem som involverar funktioner med värden i Banachrum, vilket inte är möjligt med de traditionella integralbegreppen för funktioner med reella värden.

Det är också värt att notera att den Bochner-Lebesgue-integralen för enkla funktioner över $X$ överensstämmer med den traditionella Lebesgue-integralen. För mer komplicerade funktioner som tar värden i ett Banachrum kan Bochner-Lebesgue-integralen tolkas som ett sätt att förlänga konceptet av integral från enkla funktioner till mer generella funktioner, vilket är avgörande för att kunna arbeta med funktioner som inte är enkla men som ändå är tillräckligt "välbetecknade" för att vara integrerbara i denna ram.

Hur man skapar submanifolds genom inmersioner och inbäddningar

En grundläggande egenskap inom differentialgeometri är förmågan att identifiera och arbeta med submanifolds i olika mångfalder. Dessa submanifolds är centrala för att förstå strukturen hos en manfold och för att tillämpa matematiska tekniker som inmersioner och inbäddningar. I denna del av texten ska vi utforska några viktiga teorem och definitioner som behandlar dessa objekt och ge exempel på hur de kan uppstå.

Först och främst, en inmersion $f: M \to N$ är en funktion som bevarar tangentvektorer. Det innebär att för varje punkt $p \in M$ , deriveringen av $f$ i $p$ är en injektiv avbildning från tangentrummet $T_pM$ till tangentrummet $T_{f(p)}N$ . Detta är en mycket strängare egenskap än att bara vara en kontinuerlig funktion. Inmersioner spelar en central roll i skapandet av submanifolds, eftersom de ger oss ett sätt att "lyfta" lokala egenskaper från en manfold till en annan.

Teoremet om inmersioner ger oss viktiga insikter. Om $f: M \to N$ är en inmersion och $M$ har dimension $m$ medan $N$ har dimension $n$ , då är det ett krav att $m \leq n$ . Dessutom, om $f$ är en inmersion, finns det alltid en öppen delmängd $U \subset M$ där $f|_U$ är en inbäddning, det vill säga att $f|_U$ inte bara är en inmersion utan också en bijektion mellan $U$ och $f(U)$ , vilket gör $f(U)$ till en submanifold av $N$ .

Vidare, om $f$ är en inbäddning, innebär detta att bilden av $f$ , det vill säga $f(M)$ , är en submanifold av $N$ . En sådan inbäddning är en bijektiv diffeomorfism mellan $M$ och $f(M)$ , vilket innebär att både $f$ och dess inversa funktion är smidiga avbildningar. Detta är en starkare egenskap än inmersionen, eftersom det inte bara garanterar att tangentvektorer bevaras utan också att topologin på $M$ motsvarar topologin på $f(M)$ .

Det finns också en viktig variant när $f: M \to N$ är en injektiv inmersion och $M$ är kompakt. I detta fall kan vi använda kompaktheten hos $M$ för att visa att $f$ är en inbäddning. Detta är en särskilt användbar egenskap eftersom den gör det möjligt att sluta sig till att bilden av $f$ är en submanifold, vilket ger oss en starkare förståelse av dess geometriska struktur.

För att illustrera dessa teorem och deras tillämpningar, överväg ett exempel där $L$ är en submanifold i en manfold $M$ , och $K$ är en submanifold i en annan manfold $N$ . Om $f$ är en funktion mellan dessa två manfolder som bevarar strukturen på tangentvektorer, det vill säga att $f$ är en inmersion, då kan vi undersöka hur tangentvektorer i $L$ relaterar till tangentvektorer i $N$ genom $f$ . Detta leder till att tangentrummen på de respektive manfoldarna också kan kopplas på ett naturligt sätt, vilket är en kraftfull metod för att förstå och konstruera submanifolds.

För att skapa en submanifold från en inmersion är det viktigt att förstå att en sådan funktion inte nödvändigtvis producerar en submanifold om den inte är en inbäddning. En injektiv inmersion på en kompakt manfold ger oss däremot en garanti för att vi får en inbäddning, och därmed en submanifold, som är både diffeomorf med $M$ och har de strukturer som krävs för att vara en del av den omgivande manfolden $N$ .

För att förstå dessa begrepp djupare är det också viktigt att känna till olika exempel på submanifolds. Till exempel kan man överväga en cirkel $S^1$ i det tvådimensionella planet $R^2$ . Denna cirkel är en submanifold av $R^2$ , eftersom det finns en naturlig inbäddning av $S^1$ i $R^2$ som bevarar både den geometriska och topologiska strukturen. På samma sätt kan man betrakta mer komplexa submanifolds som finns i mångfalder som $S^m$ , där olika dimensioner av submanifolds kan utforskas genom inmersioner och inbäddningar.

För att verkligen förstå submanifolds är det också avgörande att kunna beräkna tangentrum och förstå deras relationer. Tangentvektorer ger oss den lokala geometrin för varje punkt i en manfold, och genom att analysera tangentrummen för olika inmersioner kan vi förstå hur dessa rum förändras när vi "rör oss" genom manfolden.

Fördjupning i dessa ämnen kräver en noggrann förståelse av både de algebraiska och topologiska egenskaperna hos manfolden. Det är också viktigt att notera att medan många teorem och definitioner är väl etablerade för mjuka funktioner (Ck-funktioner), kan det finnas nyanser och detaljer som gör att vissa resultat bara gäller under specifika förhållanden, till exempel när funktioner är Ck-diffeomorfismer eller när manfolden är kompakt.

Hur Rm representerar en modell av Hm i polära koordinater

För att förstå hur Rm kan användas som en modell för Hm, måste vi börja med att titta på metrikens form. Om vi definierar metrikens uttryck som $(dr)^2 + r^2 + r g_{S^{m-1}}$ , där koordinaterna $(r, \alpha)$ ligger i $\mathbb{R}^+ \times S^{m-1}$ , så kan Rm tolkas som en modell av Hm.

För att bevisa detta, låt oss överväga en funktion $u: Rm \to R^{m+1}$ , definierad av $u(x) = \frac{x}{1 + |x|^2}$ , där $Mm = \text{graph}(u)$ . Funktionen $u$ inducerar en graf av $u$ i $R^{m+1}$ , vilket innebär att vi kan definiera en avbildning $p : Mm \to R^m$ genom att sätta $p(h(x), x) = x$ . Denna avbildning är en diffeomorfism från den hypersfäriska ytan $Mm$ i $R^{m+1}$ till det vanliga rummet $R^m$ .

Vidare måste vi visa att den bilineära formen $g_{Hm}(0)$ , som induceras på $M$ av produkten $(\cdot | \cdot)_{1,m}$ , är positiv definit. Det innebär att den definierar en positiv geometri på ytan och ger oss en väl definierad metrik.

För att ytterligare fördjupa förståelsen, bör man beakta att denna struktur är inte bara matematisk utan också en geometrisk tolkning av hur Rm kan fungera som en modell för Hm. Den geometriska tolkningen av dessa koordinater hjälper oss att förstå de underliggande egenskaperna hos rummet, där $r$ kan ses som en skalär som definierar avståndet från origo i den polära koordinatsystemet, medan $\alpha$ representerar vinklar i $S^{m-1}$ , vilket är en m-dimensionell enhetssfär.

För att fullt ut förstå hur dessa modeller förhåller sig till varandra, måste vi även ta hänsyn till att skillnader i dimensionerna på dessa objekt kan ge oss olika typer av metriska strukturer, där metrikens positiva definithet spelar en central roll för att definiera rummet korrekt.

Det är viktigt att läsaren förstår att denna typ av metrik och avbildningar mellan olika rum är inte bara abstrakt teori utan också har tillämpningar inom både teoretisk fysik och differentialgeometri. Inom dessa områden är förståelsen av rum som Rm och Hm avgörande för att utveckla modeller av rum-tid, exempelvis inom relativitetsteorin, där det är viktigt att kunna hantera metrikens egenskaper på olika nivåer och dimensioner.

För den som vill fördjupa sig vidare, kan det vara bra att läsa mer om hur dessa metrikstrukturer kan användas för att modellera olika fysiska fenomen, samt hur dessa bilineära former hjälper till att beskriva krökning och geometri i högre dimensioner.

Hur man designar system som är säkra och robusta i komplexa tekniska miljöer
Hur man navigerar förändringar och arbetar med tillverkare vid PCB-produktion
Vad är mätbarhet och varför är det avgörande för integrabla funktioner?
Hur kan fysikbaserade simuleringar användas för att utveckla svärmrobotar i blandad verklighet?
Vad händer när överlevnad hänger på en skör tråd?