Hur definieras kanoniska divisorer och rationella differentialer på en projektiv kurva?

För en irreducibel slät projektiv kurva $C$ med aritmetisk genus $pa(C) = 0$, gäller att $C$ är isomorf med $\mathbb{P}^1$. Detta resultat grundas i den kraftfulla Riemann-Roch-teoremet, som bland annat tillhandahåller verktyg för att relatera divisorer, differentierbara funktioner och genus på kurvor. För att utforska dessa relationer, låt oss börja med att titta närmare på divisorer och deras egenskaper.

Vidare introduceras ett nytt begrepp, $g^*$, som betecknar det minsta heltalet så att $\ell(D) \geq \deg D + 1 - g^*$ för alla divisorer $D$ på $C$. Det har visats att $0 \leq g^* \leq pa(C)$, och att $g^*$ faktiskt är lika med det aritmetiska genus $pa(C)$. Detta innebär att genus för $C$ inte beror på inbäddningen och att $g^*$ också sammanfaller med det geometriska genuset för en planmodell av $C$, när $C$ har endast ordinära singulariteter.

Det visade sig att $\Omega(C)$ är ett 1-dimensionellt $K(C)$-vektorutrymme. Detta bevisas genom att använda koordinater från den affina planet $V(f) \subset A^2$, där $K(C)$ genereras av koordinaterna $x$ och $y$ på $C$. Differentialer $dx$ och $dy$ genererar $\Omega(C)$, vilket innebär att $\Omega(C)$ har dimension 1 som vektorrum över $K(C)$.

När vi definierar kanoniska divisorer, är det också avgörande att förstå att de relaterar till rationella differentialformer. Om $\omega = g \, dh \in \Omega(C)$ är en rationell differentialform, definieras divisor $W$ för $\omega$ som

Om $\omega$ är regelbunden, innebär det att $vp(\omega) \geq 0$ för alla punkter $p \in C$, vilket innebär att $W$ är en kanonisk divisor på $C$. En rationell differentialform med $vp(\omega) \geq 0$ kallas regelbunden. Det är också viktigt att notera att en kanonisk divisor alltid är en finit summa av punkter på $C$, vilket innebär att den endast har ett ändligt antal icke-nollvärden för $vp(\omega)$.

För att förstå dessa samband fullt ut, måste läsaren ha en solid grund i algebraisk geometri och den djupare strukturen hos rationella funktioner och deras olika typer av divisorer, inklusive kanoniska divisorer.

Hur Riemann-Roch-formeln och adjunktionsformeln definierar genus och särdrag på algebraiska ytor

Formeln härstammar från den exakta kohomologisekvensen 0 → OX → OX(D) → OD(D) → 0, Riemann-Roch för kurvor och adjunktionsformeln 2g - 2 = D.(D + KX). Vi har att χ(X, OX(D)) = χ(D, OD(D)) + χ(X, OX) = D² + 1 - g + χ(OX) = 1 = D.(D - K) + (X, 2X χ OX). Riemann-Roch-formler för ytor upptäcktes av den italienska skolan inom algebraisk geometri på 1800-talet. De kunde förstå h²(X, OX(D)) = `(KX - D) i termer av divisorer, men h¹(X, OX(D)), som de kallade indexet för D:s specialitet, förblev mystiskt innan införandet av sheaf-kohomologi.

De kallade pg = h²(X, OX) = h⁰(X, ωX) och q = h¹(X, OX) = h¹(X, ωX) för det geometriska genuset och oregelbundenheten för X. Dessa visade sig vara birationala invarianta enligt sats 12.2.2, och deras invarians under blow-ups bekräftades i Övning A.4.20.

Sats A.4.14 (Castelnuovos kontraktionskriterium) fastslår att om X är en slät projektiv yta och E ⊂ X är en irreducibel kurva med E² = E.KX = -1, så finns det en slät projektiv algebraisk yta Y och en morfism π: X → Y där π(E) = p, en punkt, så att π är en blow-up av Y vid p. En irreducibel kurva E med E.KX = E² = -1 kallas en (-1)-kurva på X. Notera att E har genus 0 enligt adjunktionsformeln: degωE = E.(E + KX) = -2, och därmed är E en P¹. Bevis finns i [42, Theorem V.5.7].

Vidare belyses olika topologiska egenskaper genom övningarna som involverar divisorernas linjära ekvivalens och deras unika bestämning i förhållande till blow-ups. I övningarna A.4.19 och A.4.20 ses effekterna av blow-ups på divisorer och hur de resulterande kohomologiska klasserna bevaras. Detta är grundläggande för förståelsen av ytor med singulariteter och deras geometriska transformationer.

För att förstå de algebraiska och geometriska implikationerna av dessa formler är det också väsentligt att studera hur singulariteter och divisorer samverkar vid olika topologiska transformationer, särskilt i samband med blow-up-processen och kontraktioner av (-1)-kurvor. Dessa aspekter av algebraisk geometri är avgörande för att förstå inte bara egenskaper hos projektiva ytor, utan också hur man effektivt kan konstruera och analysera algebraiska strukturer genom morfismens olika transformationer.

Hur konstruerar man en slät plan kurva med givna singulariteter och genus?

För att börja med ett konkret exempel: kurvan definierad av $w^3 + u^4$ representerar ett isolerat singularitetsfall av analytisk typ, vilket används som modell för att förstå mer komplexa konfigurationer. Genom att definiera en mängd punkter i projektivplanet och konstruera tillhörande ideal via syzygyer, kan man skapa ett snittideal $\Gamma$ som innehåller gemensam information om punkterna. Generatorerna för $\Gamma$, begränsade till en specifik grad, multipliceras med slumpmässiga koefficienter för att erhålla ett ideal $C$ som definierar en plan kurva med genus 3.

I en mer avancerad konstruktion beaktas familjer av kurvor som deformeras med en parameter $t$. En konkret funktion $f_t$, som innehåller termer upp till $t^2$, homogeniseras med avseende på en variabel $z$, vilket gör det möjligt att arbeta i det projektiva planet. Singulariteterna till den deformerade kurvan bestäms genom att differentiera med avseende på de inblandade variablerna. Ett pennsystem av ideal, vars snitt genererar ett vektorrum av rätt dimension, används för att konstruera en karta från den deformerade kurvan till ett projektivt rum i högre dimension.

I ett avslutande exempel behandlas ett fall där genus $g = 10$, dimension $r = 2$ och grad $d$ uppfyller villkoren för att säkerställa icke-negativ Brill–Noether-talfunktion $\rho$. Punkter väljs slumpmässigt men med avsikt att uppfylla villkoren för att de ska vara distinkta. De konstruerade idealen upphöjs till kvadrater och snittas för att skapa ett ideal vars generatorer används för att bygga en kurva $C$. Det visas att kurvan har exakt de önskade vanliga dubbelpunkterna som singulariteter.

Konstruktionen av den kanoniska modellen för kurvan sker genom att projicera via en karta $\phi$, där den resulterande kärnan ger ett ideal i ett projektivt rum av dimension $g-1$. Den fria resolutionen av detta ideal ger insikt i de algebraiska egenskaperna hos den kanoniska inbäddningen.

Det är viktigt att förstå att bakom varje algebraisk konstruktion står ett djupt samspel mellan geometri, kombinatorik och kommutativ algebra. Betti-tabellerna, till exempel, är inte bara tekniska artefakter utan kodar väsentlig information om frihetsgrader, restriktioner och geometriska egenskaper hos kurvan. Singulariteter är inte bara defekter, utan bärare av rik information om kurvans lokala och globala struktur. Att manipulera dem kräver inte bara teknisk skicklighet utan även ett konceptuellt grepp om hur algebraiska objekt deformerar och organiserar sig i familjer.