Hysteretiska krafter uppstår när material eller system inte följer en exakt återgångsbana efter att ha utsatts för en påverkande kraft. Dessa fenomen är avgörande inom många ingenjörsdiscipliner, särskilt inom mekanik och dynamiska system där material ofta uppvisar icke-linjära egenskaper. Flera modeller har utvecklats för att beskriva dessa krafter, bland vilka Bouc-Wen, Duhem och Preisach-modellerna är de mest framträdande.

Den Bouc-Wen-modellen beskriver hysteretiska effekter genom en differentialekvation där ett hysteretiskt kraftuttryck z(x,x˙)z(x, \dot{x}) bestäms av en relation mellan systemets displacement och hastighet. För att approximera de verkliga hysteretiska systemen kan parametrarna γ\gamma, β\beta, nn och AA justeras. Genom att integrera ekvationen får man en funktionell relation som beskriver återkopplingen mellan de olika variablerna i systemet. Det är den glatta kurvan som kontrollerar systemets respons, medan parametrarna bestämmer både lutningen och formen på hysteresisloopen. För att få fram det hysteretiska området kan detta beräknas genom att integrera kraften över displacementets område.

I Duhem-modellen tillåts ett mer flexibelt och mångsidigt sätt att beskriva hysteresis. Här delas kraften i två delar beroende på riktningen på hastigheten. Modellen beskriver den stigande och fallande delen av kraften, där de två inte nödvändigtvis är symmetriska. Ett exempel på en sådan modell är den icke-linjära elastiska och anti-symmetriska Duhem-modellen som kombinerar elastiska och hysteretiska krafter. Det är också möjligt att definiera specifika parametrar för att kontrollera hur systemet svarar på olika krafter och hastigheter, vilket gör det möjligt att efterlikna verkliga materialbeteenden.

Preisach-modellen, som används för mer komplexa hysteretiska fenomen, beskriver hysteresis med hjälp av en icke-lokal minnesfunktion. Den kan uttryckas som en integral där hysteretiska reläer, som växlar mellan två tillstånd, används för att representera systemets beteende. I denna modell är hysteretiska krafters respons beroende inte bara på den nuvarande displacementen utan också på tidigare förlopp och minnen från systemet. Denna typ av minnesberoende gör modellen särskilt användbar för att hantera system där tidigare påverkan har långvarig effekt på deras respons.

För att tillämpa modellen på praktiska system kan en viktad funktion μ(α,β)\mu(\alpha, \beta) användas, där parametrar som α\alpha och β\beta definierar specifika områden på det så kallade Preisachplanet. Genom att använda denna funktion kan man simulera systemets beteende genom att integrera över de relevanta områdena i detta plan. Detta gör det möjligt att exakt beskriva återkopplingen och effekterna av icke-lokal minnespåverkan i systemen.

När det gäller att beräkna det hysteretiska området för sådana system kan det uttryckas som en geometri där kraften integreras över de relevanta områdena som definieras av hysteretiska parametrar. I vissa fall kan denna beräkning utföras med hjälp av en ny funktion som representerar det område som påverkas av de specifika parametrarna. För den klassiska Iwan–Jenkins-modellen kan till exempel en exakt funktion bestämmas genom att definiera övergångskurvor som representerar specifika hysteretiska element.

Modellering av hysteretiska krafter är avgörande för att förstå och förutsäga beteendet hos många dynamiska system, från byggnadsstrukturer till fordonsdynamik och materialvetenskap. För att skapa realistiska och pålitliga modeller är det viktigt att noggrant välja parametrarna och förstå hur dessa påverkar systemets respons. Detta gör att ingenjörer och forskare kan använda dessa modeller för att utveckla bättre och mer hållbara lösningar inom en rad tekniska områden.

Hur beskriver man viskoelastiska material med hjälp av krypning och återhämtning?

Viscoelastiska material uppvisar både elastiska och viskösa egenskaper, vilket gör att deras respons på belastningar inte är omedelbar, utan beroende av tidsförloppet. En viktig aspekt för att beskriva denna respons är krypning och återhämtning, som kan förstås genom begrepp som krypningens kompliance J(t)J(t) och återhämtningens modulus G(t)G(t). Genom att använda inverse Laplac-transformer kan man beräkna J(t)J(t) utifrån J(s)J(s), vilket gör att man kan överföra mellan domänerna och analysera materialets beteende både i tid och frekvens.

För exempelvis Kelvin-Voigt-modellen och Maxwell-modellen, ges J(t)J(t) som:

  • För Kelvin-Voigt-modellen: J(t)=1−exp⁡(−Eth)EJ(t) = \frac{1 - \exp\left(\frac{ -Et}{h}\right)}{E}

  • För Maxwell-modellen: J(t)=tη+1EJ(t) = \frac{t}{\eta} + \frac{1}{E}

En viktig relation mellan återhämtningens modulus och krypningens kompliance kan härledas som:

1J(s)G(s)=1eller∫0t∫0tJ(t−τ)G(τ)dτ=t\frac{1}{J(s)G(s)} = 1 \quad \text{eller} \quad \int_0^t \int_0^t J(t - \tau)G(\tau) d\tau = t

Detta uttrycker kopplingen mellan dessa två funktioner och deras betydelse för att beskriva det viskoelastiska materialets beteende.

Boltzmanns superpositionsprincip gör det möjligt att beskriva viskoelastiska material genom att betrakta spänningen som en ackumulering av många individuella belastningar. När stressen σ(t)\sigma(t) appliceras på materialet under en tidsperiod kan den totala deformationen ϵ(t)\epsilon(t) beskrivas som summan av individuella svar på varje belastning enligt formeln:

ϵ(t)=∑i=1nJ(t−τi)σi\epsilon(t) = \sum_{i=1}^n J(t - \tau_i) \sigma_i

Denna linjära superposition förenklar analyser av materialets respons utan att ta hänsyn till eventuella icke-linjära effekter eller interaktioner mellan de olika belastningarna. För att få den totala deformationen kan man använda den integrerade formen av det viskoelastiska konstitutiva lagarna, som ger relationen:

ϵ(t)=J(t)σ0+∫0tJ(t−τ)dσ(τ)\epsilon(t) = J(t)\sigma_0 + \int_0^t J(t - \tau) d\sigma(\tau)

Här beskriver den integrerade termen minnet i materialet – med andra ord, den totala deformationen beror inte bara på aktuell stress utan även på den historik av tidigare belastningar.

För att utföra en mer exakt beskrivning av viskoelastiska material, kan man använda en metod som involverar Maxwell-modeller, där materialets återhämtningsegenskaper beskrivs som summan av flera Maxwell-komponenter, vilket ger en bättre överensstämmelse med experimentella resultat för många icke-degraderande viskoelastiska material. Formeln för detta tillvägagångssätt är:

G(t)=∑i=1Mβiexp⁡(−λit)G(t) = \sum_{i=1}^{M} \beta_i \exp(-\lambda_i t)

där λi\lambda_i är avkopplingstiden för varje viskoelastisk komponent och βi=G(0)\beta_i = G(0).

I vissa fall, för att beskriva material med ännu mer komplexa egenskaper, kan man använda fractional calculus (fraktionell kalkyl), som tillåter en mer exakt modellering av material där stress-strain-relationen inte följer en strikt linjär eller viskös form. Ett exempel på detta är Abel glue pot-modellen, där man använder en fraktionell derivata för att beskriva materialets respons:

σ(t)=ηdβϵ(t)dtβ(0≤β≤1)\sigma(t) = \eta \frac{d^\beta \epsilon(t)}{dt^\beta} \quad (0 \leq \beta \leq 1)

Därför får man för krypningens kompliance J(t)J(t) och återhämtningens modulus G(t)G(t) för Abel glue pot-modellen uttrycken:

J(t)=tβη(1+β)ochG(t)=t−βη(1−β)J(t) = \frac{t^\beta}{\eta(1 + \beta)} \quad \text{och} \quad G(t) = \frac{t^{ -\beta}}{\eta(1 - \beta)}

Fraktionella komponentmodeller, som fraktionell Kelvin-Voigt och fraktionell Maxwell-modell, möjliggör en mer exakt beskrivning av viskoelastiska material med färre komponenter och parametrar, vilket gör dem särskilt användbara för material som inte kan modelleras med traditionella modeller.

Det är också viktigt att förstå att dessa modeller inte bara är matematiska abstraktioner utan har praktisk betydelse i materialteknik och ingenjörsvetenskap, där de används för att förutsäga materialbeteende under långvarig belastning och för att förutsäga livslängden på komponenter som utsätts för upprepade påfrestningar.

Hur appliceras stokastiska genomsnittsmetoder på quasi-Hamiltoniska system?

Stokastiska genomsnittsmetoder är kraftfulla verktyg när det gäller att analysera quasi-integrerbara och quasi-icke-integrerbara Hamiltoniansystem. För att förstå hur dessa metoder tillämpas, behöver vi först granska de två domäner som dessa system kan befinna sig i beroende på värdet av Hamiltonianen, H. När H är mindre än Hc, betraktas systemet som quasi-integrerbart. När H däremot överstiger Hc, blir systemet quasi-icke-integrerbart.

I det första fallet, när H ≤ Hc, tillämpas metoden för stokastiskt genomsnitt för att få fram en icke-normaliserad stationär sannolikhetsdensitet, Cinpin(q, p). Detta gäller för det område där systemets rörelse är stabil och integrerbar. För det andra fallet, när H > Hc, används samma metod för att erhålla en annan icke-normaliserad stationär sannolikhetsdensitet, Coutpout(q, p), som beskriver systemets rörelse i ett quasi-icke-integrerbart tillstånd.

Det intressanta sker vid gränsen H = Hc, där de två stationära sannolikhetsdensiteterna vanligtvis är olika. För att minimera skillnaden mellan dem används en metod för minstakvadrater. Genom att välja typiska punkter på gränsen H = Hc och applicera minstakvadratsmetoden, kan en gemensam sannolikhetsdensitet definieras som en funktion av både Cinpin(q, p) och Coutpout(q, p), vilket leder till en kombinerad stationär sannolikhetsdensitet p(q, p). Detta gör det möjligt att bättre förstå och kvantifiera systemets beteende vid gränsen mellan integrerbart och icke-integrerbart tillstånd.

Vidare, genom att definiera den gemensamma stationära sannolikhetsdensiteten i den här mellanliggande effektdomänen, kan marginalsannolikhetsdensiteterna för olika systemkomponenter, som för de enskilda displacementsvariablerna, beräknas. Dessa sannolikheter spelar en viktig roll för att förstå den statistiska fördelningen av systemets dynamik.

För specifika system, som till exempel ett dubbelväggssystem eller ett högerväggssystem, där parametrarna för systemets väggar och externt tryck är definierade, kan denna metod appliceras för att exakt beräkna och jämföra stationära sannolikhetsdensiteter för displacement Q2. Resultaten som erhålls från denna metod jämförs ofta med Monte Carlo-simuleringar för att säkerställa noggrannheten. Det har visats att när medelvärdet av stötar eller kollisionseffekter är närvarande, ger den kombinerade stokastiska genomsnittsmetoden mer precisa resultat.

Detta är särskilt relevant i system som är föremål för vibrationer och stötar, där den stokastiska naturen i dynamiken innebär att vi måste beakta de olika tillståndssystemet kan befinna sig i. För att uppnå en mer exakt beskrivning av systemets respons är det också viktigt att förstå det roll som externa excitationer och dämpning har för att modulera de dynamiska egenskaperna.

En annan aspekt som kan vara intressant är kopplingen till Markov-processer, där parametrarna för hopp mellan tillstånd kan variera över tid. Markov-hopp-processer används för att modellera ständiga förändringar i systemets tillstånd och kan införlivas i systemet för att analysera hur plötsliga förändringar i tillstånd kan påverka systemets långsiktiga beteende. Här används en Markov-process för att hantera tidkontinuerliga hopp i diskreta tillståndsrum, vilket gör att systemets dynamik kan beskrivas mer realistiskt när det gäller verkliga tillämpningar som är utsatta för stötar och vibrationer.

Det är också värt att nämna att i dessa system, där de stokastiska processerna spelar en central roll, är det inte bara de stationära tillstånden som är av intresse utan också de övergångsprocesser som styr systemets utveckling från ett tillstånd till ett annat. Genom att analysera dessa övergångar kan man få en djupare förståelse för hur systemet beter sig under olika förhållanden och hur man kan optimera dess prestanda genom att justera systemparametrar eller externa excitationer.

Hur kan stokastiska genomsnittsmetoder appliceras på quasi-integrerbara Hamiltonsystem under kombinerad Gaussisk och Poisson vit brus-excitation?

För att förstå de komplexa dynamiska beteendena i quasi-integrerbara Hamiltonsystem under olika typer av excitation, är det avgörande att använda stokastiska genomsnittsmetoder. Denna metod tillåter oss att reducera högdimensionella och icke-linjära system till enklare former där deras statistiska egenskaper kan analyseras och förstås. Specifikt i fallet med Hamiltonsystem som är påverkas av både Gaussisk och Poisson vit brus-excitation, erbjuder denna metod ett kraftfullt verktyg för att förenkla den ursprungliga modellen och göra det möjligt att hitta stationära fördelningar och deras moment.

För att beskriva hur dessa metoder fungerar i praktiken, betraktas ett system där de dynamiska ekvationerna för systemets koordinater och momenta kan skrivas på en form som inkluderar stokastiska komponenter. Dessa komponenter tillför systemet en slumpmässig variation som påverkar dess långsiktiga beteende. Genom att använda stokastiska genomsnittsmetoder kan vi ersätta de exakta lösningarna av de stokastiska differentialekvationerna med ett genomsnitt, vilket förenklar beräkningarna och gör det möjligt att analysera systemets statistiska egenskaper.

När vi applicerar dessa metoder på ett quasi-integrerbart Hamiltonsystem, där vissa av systemets koordinater och momenta är nära att vara konservativa eller periodiska, kan vi se hur de externa störningarna (som representeras av det Gaussiska och Poisson bruset) påverkar systemets långsiktiga fördelning. Denna fördelning är avgörande för att förstå systemets stabilitet och beteende på längre tidsperioder. Genom att använda Monte Carlo-simuleringar och stokastisk genomsnittsmetod kan vi få fram stationära sannolikhetsfördelningar (PDF) för systemets variabler, vilket ger insikt i hur systemet kommer att bete sig under lång tid.

Vid simuleringarna observeras att resultaten från Monte Carlo-simuleringarna och de teoretiska beräkningarna med stokastisk genomsnittsmetod är i överensstämmelse, vilket validerar de förenklade metoderna. Till exempel, i det primära resonansfallet där flera frekvenser interagerar med varandra, ser vi att sannolikhetsfördelningarna för de olika variablerna som p(I1,I2)p(I_1, I_2), p(I1,h3)p(I_1, h_3), och p(ψ)p(\psi) visar signifikanta korrelationer, som bekräftas genom både de analytiska och simulerade metoderna. Denna överensstämmelse är inte bara en bekräftelse av metodens noggrannhet utan ger också fördjupad förståelse för de komplexa dynamiska processerna i dessa system.

Det är också viktigt att förstå att dessa metoder, trots deras kraft och precision, förutsätter vissa approximationer, särskilt när det gäller att hantera brusens påverkan. Till exempel, när systemet är utsatt för Poisson-brus eller andra typer av icke-Gaussiskt brus, krävs ytterligare anpassningar av genomsnittsmetoderna för att korrekt fånga dessa effekter. Sådana anpassningar gör det möjligt att hantera de unika egenskaper som dessa brustyper tillför systemets dynamik och resultat.

Vidare är det avgörande att beakta systemets parametrar vid användningen av stokastiska genomsnittsmetoder. Förändringar i systemets frekvenser, amplituder och kopplingar kan radikalt förändra resultatet av de teoretiska beräkningarna. Därför måste varje system analyseras individuellt, och metoder som Monte Carlo-simuleringar kan användas för att säkerställa att de statistiska resultaten är representativa för det verkliga systemet under olika driftsförhållanden.

Det som är särskilt intressant för läsaren är hur de stokastiska genomsnittsmetoderna kan tillämpas på både quasi-integrerbara och icke-integrerbara system. För det senare fallet krävs mer komplexa justeringar och kanske till och med ytterligare statistiska metoder för att fånga de dynamiska egenskaperna på ett tillförlitligt sätt. I många verkliga applikationer, där system kan vara utsatta för både deterministiska och stokastiska störningar, är det viktigt att förstå hur dessa störningar interagerar och påverkar systemets långsiktiga fördelningar.

Hur behandlas termiska och dissipativa effekter i ferromagnetiska material?
Hur kan ChatGPT förbättra din produktivitet, kreativitet och problemlösning?
Hur klimatförändringar påverkar temperatur, nederbörd och havsnivåer i Gulfregionen fram till 2100
Hur kan termiska material och solceller revolutionera energiproduktion?