När en normal matris A har flera egenvärden med motsvarande icke-ortogonala egenvektorer, måste man gå igenom en specifik procedur för att hitta en uppsättning ortogonala egenvektorer. Låt λ vara ett egenvärde med multiplicitet m. Då kan egenvärdena och de tillhörande egenvektorerna ordnas som λ, λ, ..., λ, λm+1, ..., λn, v1, v2, ..., vm, vm+1, ..., vn. De vektorer som tillhör λm+1, ..., λn är ortogonala mot varandra och även mot de övriga vektorerna.

För att skapa en ny uppsättning ortogonala vektorer {v′1, v′2, ..., v′m} där varje vektorer är ortogonala mot de övriga, samt samtidigt egna vektorer, används Gram-Schmidt-algoritmen. Anta att v′1 = v1 och v′2 = v2 + αv1. Då är v′2 en egenvektor av A eftersom den är en linjärkombination av egenvektorer som hör till samma egenvärde λ. Dessutom är v′2 ortogonal mot vm+1, ..., vn, eftersom dessa vektorer är ortogonala mot v1 och v2.

För att göra v′2 ortogonal mot v′1 (det vill säga mot v1) måste man lösa för α, vilket ges av formeln:

α=−⟨v1,v2⟩⟨v1,v1⟩.\alpha = -\frac{\langle v1, v2 \rangle}{\langle v1, v1 \rangle}.

Därefter sätts v′3 = v3 + αv1 + βv2, och α och β bestäms med samma metod. Denna process kan upprepas tills vi har alla ortogonala egenvektorer v′m. Gram-matrisen för dessa ekvationer är icke-singulär, eftersom egenvektorerna för en Hermitisk matris är linjärt oberoende.

Låt oss ta ett exempel: Betrakta en symmetrisk matris över ℝ:

A=(5−2−4−222−425).A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -4 \\ -2 & 2 & 2 \\ -4 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

Egenvärdena för A är λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 10. Här ser vi att egenvärdet λ = 1 är tvåfaldigt. Egenvektorerna som motsvarar dessa egenvärden är:

v1=(−1−1−2),v2=(20−1),v3=(0−1−2).v1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad v2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad v3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}.

Här ser vi att 〈v1, v2〉 = 1, vilket innebär att v1 och v2 inte är ortogonala. För att göra vektorerna ortogonala använder vi Gram-Schmidt-algoritmen.

För att skapa ortogonala vektorer, definierar vi:

v′1=v1,v′2=v2−〈v1,v2〉〈v1,v1〉v1=(2/5−1/5−5/5).v′1 = v1, \quad v′2 = v2 - \frac{〈v1, v2〉}{〈v1, v1〉} v1 = \begin{pmatrix} 2/5 \\ -1/5 \\ -5/5 \end{pmatrix}.

Efter att ha normaliserat egenvektorerna får vi:

v1=12(−1−1−2),v′2=15(21−5),v3=(0−1−2).v1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad v′2 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}, \quad v3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}.

Därmed kan matrisen A skrivas som en spektral representation:

A=λ1v1v1∗+λ2v′2v′2∗+λ3v3v3∗.A = λ1v1v1^* + λ2v′2v′2^* + λ3v3v3^*.

Genom att kombinera dessa egenvektorer och deras motsvarande egenvärden, kan vi uttrycka A i en diagonalform, där de diagonala elementen är egenvärdena.

Denna metod för att hantera egenvärden och egenvektorer är fundamentalt för att förstå och manipulera matriser inom linjär algebra och tillämpningar som omfattar maskininlärning, signalbehandling och kvantmekanik. Genom att förstå dessa grundläggande principer och tillämpa Gram-Schmidt-algoritmen kan vi effektivt dekomponera matriser och hitta deras egenvektorer i många olika sammanhang.

Vidare, när det gäller att förstå matrisers egenskaper, är det viktigt att beakta att matriser med flera egenvärden av samma värde (som λ = 1 i vårt exempel) kan ha ett stort antal linjärt oberoende egenvektorer, vilket gör att det finns flera sätt att konstruera ortogonala uppsättningar av vektorer. Denna flexibilitet innebär att det kan finnas olika sätt att dekomponera och rekonstruera matriser, beroende på de specifika förhållandena i varje enskilt fall.

Hur beräknas representationsmatriser för SU(2) och permutionsgrupper med SymbolicC++?

I programmering av representationer för SU(2)-gruppen är det centralt att kunna konstruera matriser för olika spinnvärden jj. Genom att använda symboliska variabler och faktoriella uttryck definieras element i matriser DjD^j med hjälp av summor som involverar potenser av element uiju_{ij}. Denna metod ger en explicit form för representationerna av SU(2), vilket bland annat inkluderar specialfall som identitetsmatrisen och Pauli-matriserna, där j=12j = \frac{1}{2} och j=1j = 1 ger tydliga exempel på matriser med komplexa och reella komponenter.

Beräkningarna utgår från att för varje jj konstrueras en kvadratisk matris vars element definieras genom en summa över ett intervall beroende av mm och m′m'. Summan multipliceras med en faktor innehållande roten ur en produkt av faktorialer, vilket säkerställer korrekt viktning av varje term i matrisen. Vidare förenklas uttrycken genom substitution av kända exakta värden för rötter av symboliska konstanter, som 4=2\sqrt{4} = 2.

Exempel på sådana representationer inkluderar även matrixuttryck för olika operatorer inom kvantmekanik, som u=iσku = i \sigma_k där σk\sigma_k är Pauli-matriserna. Dessa representationer är essentiella för att förstå rotationssymmetrier och spinnsystem.

En annan aspekt är användningen av Dimino’s algoritm för att generera element i ändliga grupper från en given mängd generatorer. Algoritmen bygger på att successivt konstruera subgrupper och sedan kombinera element för att finna hela gruppen. I exemplet med 4×4 permutationsmatriser visar algoritmen att tre specifika generatorer, som motsvarar vissa permutionsmatriser, genererar hela symmetriska gruppen S4S_4 med 24 element. Denna algoritm illustrerar hur gruppteoretiska strukturer kan programmeras effektivt och symboliskt.

Vidare visas exempel där matriser med komplexa egenvärden och normaliserade egenvektorer används för att rekonstruera en enhetsmatris genom spektralteoremet. Genom att kombinera egenvärden och egenvektorer kan man visa att matrisen är unitär och att potenser av denna matris följer givna relationer, exempelvis V4=IV^4 = I. Sådana konstruktioner är grundläggande inom kvantmekanik och linjär algebra.

Slutligen behandlas matrisrelationer mellan generatorer som uppfyller specifika kommutator- och braid-relationer. Dessa relationer utgör fundamentet för representationer av braid-grupper och andra algebraiska strukturer. Genom att använda Kroneckerprodukter och direkt summa av matriser kan man konstruera mer komplexa representationer och verifiera deras algebraiska egenskaper.

Viktigt är att förstå hur symbolisk beräkning kombineras med linjär algebra för att ge exakta och generella uttryck för representationer och gruppstrukturer. Att använda symboliska bibliotek som SymbolicC++ möjliggör utforskning av dessa strukturer på en analytisk nivå utan approximativa numeriska metoder. Det är också viktigt att ha klart för sig kopplingen mellan de abstrakta algebraiska begreppen och deras konkreta matrisrepresentationer, vilket är avgörande vid tillämpningar inom fysik och matematik.

Det är avgörande att vid hantering av representationer för komplexa grupper även ha förståelse för begrepp som egenvärden, egenvektorer, och hur dessa kopplas till unitära och normala matriser. Dessutom bör man kunna hantera och bevisa gruppegenskaper via generering av element och deras kombinationer, samt förstå betydelsen av operatorrelationer såsom kommutatorer och braid-relationer. Den symboliska hanteringen kräver även noggrannhet vid förenklingar och substitutioner av algebraiska uttryck, något som påverkar precisionen i beräkningarna och tolkningen av resultaten.

Hur kan mikrogap och porösa ytor påverka flödeskokning av utspädda emulsioner?
Varför FBI och andra myndigheter inte stoppade Trump: En koppling till organiserad brottslighet och maktens tysta stöd
Hur kan en enkel födelsedagsannons bli ett livsförändrande ögonblick?
Hur Piezomagnetiska och Magnetostriktiva Effekter Påverkar Material i Magnetfält och Elastiska Strukturer